数学：第十七章实数复习教案（冀教版八年级上）

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第十七章 实数
回顾与反思
〖教学目标〗
（－）知识目标
1用对比的方法复习概念
2.熟练实数的运算
（二）能力目标
1．引导学生梳理和归纳本章内容，把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系
2.通过典型问题的分析，对重点知识有进一步的认识.
（三）情感目标
通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果,对学生进行爱国主义教育.
〖教学重点〗
1． 无理数、实数 概念的理解
2． 实数的运算
〖教学难点〗
无理数的概念的理解
〖教学过程〗
一、课前布置
1.阅读P121~P122回顾与反思，自己尝试着归纳本章的内容. 整理出本章的难点、重点，找出自己的疑点，盲点，出错点.
2.查阅“圆周率π”有关资料
圆周率π趣闻
　　在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。
　　当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”
　　中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。
　　根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为π==3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。
　　三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。他还特别声明：“此率尚微少”，意思是这只是π的不足近似值。
　　刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π=3.14这个数值叫做“徽率”。
　　到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算，达到了空前的高峰，他算出3.1415926＜π＜3.1415927。
　　在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。
　　“祖率”这个纪录保持了近一千年，后才被16世纪的阿尔卡西(Al——Kashi)打破。祖冲之还同时得出了π的分数形式的近似值：约率是，密度是。这两个分数，是分母小于7和113的一切分数中，最接近π值的最佳分数，德国人奥托(Valentius Otto)在1573年才获得这个值。
　　在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。
　　π是一个什么样的数呢？
　　π是一个无限不循环的小数。也就是说，π是一个无理数。
　　法国数学家勒让德(Legendre，1752-1833)曾猜测说：“π不是有理系数方程的根”。后来，人们把有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。
　　在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如π和e是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。
　　e=2.718…，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。1873年，法国数学家埃尔米特(Hermite，1822-1901)给出了e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难。他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明π的超越性。如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了。但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”1882年，英国数学家林德曼(F.Lindemann，1852-1939)证明了π是超越的，从而解决了一些几何作图问题。
　　关于π，有许多形式美观、俊俏的公式，例如
　　π=2···…；
　　=
=1++++……
特别值得一提的是，当代著名的数论专家Atle Selberg(1917-)曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下公式：
　　=1-+－++……　　大家看，这个公式多美呀！
　　π=3.1415926…又是一个神秘的数字。
　　有人发现，π的前1位小数、前3位小数、前7位小数和分别是前1个自然数、前3个自然数、前7个自然数之和。
　　1=1；
　　1+4+1=1+2+3=6
　　1+4+1+5+9+2+6=1+2+3+4+5+6+7=28。
　　这真是惊人的巧合！
　　π的前6个有效数字314159是一个素数，也是一个逆素数(倒过来读951413也是一个素数)。314159的补数是796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于10)，它也是一个素数！
　　有趣的是，把前6个有效数字分成三个两位数：31、41、59，这三个数都是孪生素数中的一个(孪生素数是指相差为2的两个素数)：29与31，41与43，59与61是三对孪生素数。
　　深入研究，还会发现一些奇特的现象。例如，π的小数点后从13位数字开始，连续的十八个数字具有相当的对称性：其中79，32，38是关于26对称的。
　　79，32，38这三个数的所有数字之和7+9+3+2+3+8=32.32是一个很特殊的数，一系列现象可以与它联系起来：水在华氏32°结冰，水晶体分32类，人的牙齿有32颗，32个电子可充满原子的第四级轨道，基本粒子有32种长命粒子，……
　　这又是惊人的巧合！
　　更有趣的是，π的小数点后一百个数字：
π=3.1415926535897932384626433832795028841971
　 6939931510582097494459230781640628620899
　 86280348253421170679…
　　有人把它谱成了曲子，演奏起来还蛮悠扬动听呢！
二、教学过程
典型例题（鼓励学生讲解教师提供的例题.例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）
(一)无理数、实数概念的理解（概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数）
1．下列各数、、、、、、、、,其中无理数的个数是 ( )
A. 1 　　　　　 B. 2 　　　C.　 3 　　　D. 4
2．一个长方形的长与宽分别时6、3，它的对角线的长可能是 ( )
A. 整数 　　　B. 分数 　　　C. 有理数 　　　D. 无理数
3.下列说法中不正确的是 ( )
A. 的立方是，的平方是.
B. 两个有理之间必定存在着无数个无理数.
C.在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有.　
D. 如果，则一定不是有理数.
4.　下列语句中正确的是 （ ）
A. 任意算术平方根是正数 B. 只有正数才有算术平方根
C. 因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D. 是1的平方根
5.　的绝对值等于（　　）
A． B． C． D．　
解： 1.Ｄ　 2.Ｄ　　3. C 　　　4.D　　5.C
(二)实数的运算
1.设，，用含的式子表示，则下列表示正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
A.8 B.　　　　C. D.
3．(06枣庄)下列计算正确的是( )
A . B.
C. D.
4. 可以借助计算器探究下列几道题的计算结果，，……
则___________
5.如图面积为30cm2的正方形的四个角是面积为2cm2的小正方形，现将四个角剪掉以后，制作成一个无盖的长方体，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm）
解：1.Ａ 2. B 3. A
4.
5.　解：因为小正方形的面积是2cm2，所以小正方形的边长为cm,所以长方体的底面边长为（）≈2.6 cm，高为≈1.4 cm.
三、补充练习
作业：P123～125习题
第十七章实数整章水平测试
一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数、、、、、、、、,其中无理数的个数是 ( )
A. 1 　　　　　 B. 2 　　　C.　 3 　　　D. 4
2．一个长方形的长与宽分别时6、3，它的对角线的长可能是 ( )
A. 整数 　　　B. 分数 　　　C. 有理数 　　　D. 无理数
3.　下列运算中，不是总能进行的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
A．平方　　　　　　 B．立方　　　　　　 C．开平方　　　　　 D．开立方
4.下列说法中不正确的是 ( )
A. 的立方是，的平方是.
B. 两个有理之间必定存在着无数个无理数.
C.在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有.　
D. 如果，则一定不是有理数.
5.　已知一个正方形的边长为，面积为，则 （ ）
A. 　B. 的平方根是 　C.是的算术平方根　　D.
6.　下列语句中正确的是 （ ）
A. 任意算术平方根是正数 B. 只有正数才有算术平方根
C. 因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D. 是1的平方根
7．下列运算中，错误的有 （ ）
①，②，③，④
A. 4个 　　 　B. 3个 　　　　　C. 2个 　 D. 1个
8.　若，则的平方根是 （ ）
A. 　　　B. 　　　C. 　　D.
9.　如果＝3－k，那么k的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
A．k≤3　　　　　　　B．k≥3　　　　　　C．0≤k≤3　　　　　D．k为任意数
10．若、为实数，且，则的值为 （ ）A. 　　　　　　B. 　　　　　C. 或 　　D.
二、填空题（本大题共5个小题；每小题4分，共20分．把答案写在题中横线上）
11.请你举出两个无理数，它们的和为有理数.这两个无理数为_______________.
12．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 ；
13.　计算：＝___________;；
14.　某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐．如果储气罐的体积是原来的8倍，则它的半径是原来的__________倍. (已知球的体积V＝πr3)
15．在棱长为的正方体木箱中，想放入一根细长的铁丝，则这根铁丝的最大长度是 .
三、解答题（本大题共5个小题；共50分）
16. 计算
（1）　　　　　　　（2）
17．求
（1） （2）
18.　已知，
求的值；
19.　如图面积为30cm2的正方形的四个角是面积为2cm2的小正方形，现将四个角剪掉以后，制作成一个无盖的长方体，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm）
20.　探索：
①
②
③
……
由此猜想
＝ .
参考答案
一、 1.Ｄ　2.Ｄ　　3.C　　4.　　5. C　　6.D　　7.A　　　8.　B　　9.D　　10.D
二、11.答案不唯一.如： .　　12.　-1，9.　13. 72，. 14. 2 15.
三、
16.(1) 4 (2)143.提示：
17.（１）　　（２）
18.因为，且
所以a-1=0且ab-2=0.解得a=1， b=2.
所以原式可化为
＝＝1
19.　解：因为小正方形的面积是2cm2，所以小正方形的边长为cm,所以长方体的底面边长为（）≈2.6 cm，高为≈1.4 cm.
20.解： 121(1+2+1)=112×22=（11×2）2=222
12321(1+2+3+2+1)=1112×32=（111×3）2=3332
1234321(1+2+3+4+3+2+1)=11112×42=44442
……
由此猜想
1234567654321（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1）＝77777772
因此
取算术平方根
输出y
是有理数
是无理数
输入x
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