河南省实验中学2024——2025学年下期期中试卷
高二 数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A．平均数 B．相关系数 C．决定系数 D．方差
2. 下列运算正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 若函数的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A B C D
4. 设，若，则的值为（ ）
A．14 B．84 C．34 D．204
5. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A． B． C． D．
6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种.
A．24种 B．36种 C．72种 D．120种
7. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已为随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 对于随机事件，若，则（ ）
A． B． C． D．
11. 设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答）
13. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______．
14. 已知函数的最小值为0，则______．
四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
研发投入（亿元） 1 2 3 4 5
产品收益（亿元） 3 7 9 10 11
（1）计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
（2）求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
16.（15分）已知函数（）．
（1）若是函数的极值点，求a的值；
（2）讨论的单调性．
17.（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
18.（17分）设.
（1）求的最小值；
（2）对于，有恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明：当时，.河南省实验中学2024——2025学年下期期中试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C 2．A 3. B 4．C 5. A 6．A 7. C 8. D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ACD 10. ABD 11．AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
13. 14.
四.解答题:本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）由表中数据可知，，，
，，，………………3分
则，………………5分
因为，故相关程度较高；………………6分
（2），，则，………………8分
，
故，………………11分
令，解得，故研发投入至少9.3亿元.……………………13分
16.（1）由题意可得的定义域为，且，…………2分
∵是函数的极值点，
∴，即．………………5分
当时，，由得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
∴满足是函数的极值点，因此.…………7分
(2)，
当时，因为，所以，则，在上单调递增；…………10分
当时，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
则函数的单调增区间为，单调减区间为；…………14分
综上可知：当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.………15分
17. （1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．
……………………4分
的分布列为
0 1 2
的数学期望．……………………6分
（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．……………………10分
（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，………………12分
，则（万元）
即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．………………15分
18. （1）的定义域为，，…………2分
令，可得，令，可得，
故在单调递减，单调递增.………………5分
即在处取得最小值.…………………………6分
由题可知，对恒成立.
设，………………9分
令在单调递减，…11分
故，故在单调递减，而，……13分
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，………………15分
故.则.又因为
因此的取值范围为. ………………17分
19.（1）当时，，所以，…………2分
所以，所以曲线在点处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，即.………………4分
（2）的定义域为，
因为有两个极值点，意味着有两个不同的变号正根.设，其导数.
若，，在递增，不会有两个正根.………………7分
当，令，得.在，递增；在，递减.
要使有两个正根，需，即，解得.
所以当时，有两个极值点.………………10分
思路2：（参变分离）转化为，结合的图象可得，即.
（3）的定义域为，
因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根.
所以，且，
所以，所以，………………12分
所以，当时，
，
令，即证当时，对恒成立.………………14分
令，则.
因为，所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以当时，恒成立.………………17分
