河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试 数学试题（含详解）

卓越联盟2024-2025学年高一第二学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第八章8.5。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则复平面内复数之对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（ ）
A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B
3．已知点，向量，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（ ）
A． B．4 C． D．
6．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体有6个面是正方形 B．该几何体有8个面是正三角形
C．该几何体恰有26条棱 D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小
7．一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线与NM是异面直线 B．
C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复数，则（ ）
A．
B．
C．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为
D．若，则|之的最大值为
10．如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ）
A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为
11．奔驰定理：已知O是内一点，的面积分别为，则．设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，若，且O为的垂心，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．正三棱柱的底面边长为1，高为4，在棱上分别任取点E，F，则的最小值为_________．
13．若某圆锥的侧面积为，母线长是底面圆半径的倍，则该圆锥的体积是_________．
14．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量满足．
（1）设，求；
（2）若，求实数k的值．
16．（15分）已知在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为．
（1）当时，设，求的值；
（2）若点与点为同一点，求的取值范围．
17．（15分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）若的面积为S，求的取值范围．
18．（17分）如图，在正四棱锥中，O，G分别是线段AC，PA的中点，E，F分别在线段BP，BC上，且．
（1）证明：O，G，E，F四点共面．
（2）证明：平面BDG．
（3）若点H在线段PD上，且满足，试问侧棱PC上是否存在一点K，使得平面HAC 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切．
（1）求这两个球的半径之和．
（2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值．
卓越联盟2024-2025学年高一第二学期期中考试
数学试卷参考答案
1．C 因为，所以复数z对应的点位于第三象限．
2．D 因为DF与EG相交，所以平面平面．
3．B 在方向上的投影向量是．
4．A 取AB的中点Q（图略），，
因为，所以AB边上的高为，所以，从而．
5．D 因为，所以，所以的面积是．
6．C 因为正方体截去八个正三棱锥，所以比原正方体多出八个正三角形，所以A，B正确．
因为原正方体每个表面均有四条棱，所以该几何体共有24条棱，C不正确．
因为截去的每个正三棱锥的侧面面积比它的底面面积大，所以D正确．
7．B 作正四棱台的中截面，如图所示，AB，DC，FE分别为丰水、枯水、井底的水面边长，则．
因为，所以，
所以枯水时节的水量为．
8．C 连接（图略）．点B，，M均在平面上，点N不在平面上，所以与NM是异面直线，A正确．
连接（图略）．因为，所以，B正确．
因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误．
连接AP（图略）．由，知M，P，A，C共面，且平面平面，如图1，因为，所以。如图2，因为，所以，则H，I两点重合，所以CP，，AM相交于一点，D正确．
9．ABD 因为，所以A正确．
因为，所以B正确．
，所以对应的向量与对应的向量的夹角为，所以C错误．
设复数z在复平面内对应的点为Z，因为，即，所以点Z的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以的最大值为3，D正确．
10．BD 边长为6的正三角形的内切圆半径为，A错误．
被挖掉的圆柱的侧面积为，B正确．
该几何体的表面积为，体积为，C错误，D正确．
11．AC 因为O为的垂心，所以，A正确，B错误．
由上知，
同理，．
因为，所以，
所以，同理，
所以．
因为，所以．
设，因为，所以，
所以，解得，以，C正确，D错误．
12．5 将三棱柱的侧面沿展开得到一个长与宽分别为4与3的长方形，所以．
13． 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，由，得，又，所以，则该圆锥的体积为．
14．由，得，解得．
因为，所以，所以．
，
所以．因为，所以，
则，从而．
15．解：（1）因为，
所以． 1分
又，
所以， 3分
解得， 4分
所以， 5分
所以． 6分
（2）因为，
所以， 8分
因为，所以， 11分
解得． 13分
16．解：（1）因为，所以， 2分
代入，得， 6分
所以． 7分
（2）由已知得消去m得， 10分
令，则， 12分
所以， 14分
所以，即的取值范围为． 15分
17．解：（1）因为，
所以， 2分
整理得， 4分
所以． 5分
因为，所以． 6分
（2）因为的面积， 7分
所以． 9分
又，所以，则． 12分
又所以， 13分
所以， 14分
故，即的取值范围是． 15分
18．（1）证明：如图，连接OG．
因为O，G分别是线段AC，PA的中点，所以． 2分
又，所以， 4分
所以， 5分
所以O，G，E，F四点共面． 6分
（2）证明：由（1）得． 7分
因为平面BDG，平面BDG， 8分
所以平面BDG． 9分
（3）解：如图，在线段PH上取一点M，使得，作，交PC于点K，连接BM，BK，OH．
因为，所以． 10分
因为平面HAC，平面HAC， 11分
所以平面HAC． 12分
同理可证平面HAC． 13分
因为，平面BMK，平面BMK，所以平面平面HAC，
又平面BMK，所以平面HAC． 14分
因为，所以， 16分
因为，所以．
故在棱PC上存在一点K，使得平面HAC，且． 17分
19．解：（1）由题知ABCD为过球心和对棱AB，CD的截面， 2分
则． 4分
设球的半径分别为r，R，
则． 8分
由，解得． 10分
（2）设这两个球的表面积之和为S，则， 12分
所以． 13分
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以， 15分
所以，
当且仅当时，等号成立． 17分