湖南省部分校2024-2025学年高一下学期期中联考 数学试题（含详解）

湖南省高一年级四月考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至必修第二册第八章8.3。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ）
A.三棱锥 B.四棱柱 C.三棱台 D.五棱锥
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量与单位向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
5.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，分别是，的中点，，，与的夹角为，则（ ）
A.3 B. C.4 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A.的值域为
B.的图象关于点对称
C.的图象关于直线对称
D.在上单调递减
10.的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
11.如图，正方体的棱长为6，是的中点，是正方体的表面及其内部一动点，则下列说法正确的是（ ）
A.正方体内切球的表面积为
B.若，则动点的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为
C.若点是的外心，则
D.若动点满足，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点，，且，则点的坐标为________.
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为________.
14.某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知复数，.
（1）若为实数，求；
（2）若为虚数，求的取值范围；
（3）若为纯虚数，求.
16.（15分）如图，在中，，，为的边上的高所在的直线，延长与相交于点，且，将绕着旋转一周得到一个几何体.
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积.
17.（15分）如图，在平行四边形中，，，.
（1）用，表示，；
（2）若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论.
18.（17分）已知的内角，，所对的边分别为，，，.
（1）已知外接圆的面积为.
①求；
②求的最大值.
（2）若是锐角三角形，为的垂心，为的高，且，求.
19.（17分）设为非空数集，实数满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）对任意给定的，总存在，使得.这时，称为集合的上确界.
（1）直接写出集合的上确界.
（2）在函数与（，）的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为.
①求；
②求集合的上确界，并证明你的结论.
湖南省高一年级四月考试
数学参考答案
1．C 三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成．
2．A 因为，所以．
3．B 在上的投影向量为．
4．A 由题意得，则，所以在复平面内对应的点位于第四象限．
5．D 因为，，，所以．
6．C 由正弦定理得，设，则，，得，，，所以．
7．D 易知是偶函数，当时，令，则可转化为，因为函数在上单调递增，函数是上的增函数，所以在上单调递增．由，得，解得．
8．A 由题意得两式相加得，即，所以．
9．AC 依题意可得，A正确．，，B错误，C正确．由，得，则在上先增后减，D错误．
10．BC 由满足，的有两解，可得，即．
11．ACD 因为正方体的棱长为6，所以该正方体内切球的半径为3，表面积为，A正确．由，可知动点的轨迹是以为球心，3为半径的球面在该正方体内部的部分，其与该正方体围成的较小部分的体积为，B不正确．是边长为的正三角形，点是的外心，则，，C正确．由，可知在线段上，如图，将翻折至与共面，可知当，，三点共线时，最小．在中，，，，则，则，D正确．
12． 由题意得，则，所以点的坐标为．
13． 因为，，梯形的面积为30，所以梯形的高为，则梯形的高为．
14．20 如图，由题意得，，则．由正弦定理，得，所以乙船的航行速度是．
15．解：（1）由题意得，2分
得或5．4分
（2）由题意得，6分
得且．8分
（3）由题意得10分
得故，．13分
16．解：由，，可得，1分
则，，，3分
则该几何体是由一个底面半径为3，高为的圆锥体内挖去一个底面半径为1，高为的圆锥后所得的．4分
（1）该几何体的体积为．9分
（2）由题可得，10分
则该几何体的表面积为．15分
17．解：（1）由题意得，，1分
则．3分
．6分
（2）是直角三角形．7分
证明如下：
由题意得，9分
，11分
则，14分
所以．故是直角三角形．15分
18．解：（1）①设外接圆的半径为，由，得．2分
由正弦定理得，得．4分
②由余弦定理得，得，6分
得，得，8分
当且仅当时，等号成立．9分
故的最大值为．10分
（2）如图，建立平面直角坐标系，则，，．11分
由，得，12分
则，，13分
由，得，14分
得．15分
由余弦定理得，得，16分
得，即．17分
19．解：（1）的上确界为3．3分
（2）①由，得，则．5分
不妨假设距离最短的这两个交点为，，
则，6分
两式相减得，即．7分
由，8分
得．9分
由，得．10分
②由题意得
．11分
由，得，12分
所以，即．13分
（i），；14分
（ii）对任意给定的，若，则可取，使得，15分
若，则可取，使得．16分
故的上确界为．17分