山东省济南市商河弘德中学2024-2025学年高一下学期阶段性教学质量检测（第二次） 数学试题（含详解）

商河弘德中学高中2024级高一阶段性教学质量检测（第二次）
数学试题
第I卷（选择题 共58分）
注意事项：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在本卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若复数满足,则的虚部为( )
A． B． C． D．
2．在中,设,,若,,则( )
A． B． C． D．
3．已知,与同向的单位向量为,,,的夹角为,则向量在向量方向上的投影向量为( )
A． B． C． D．
4.如图,在长方体中,已知,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
5．已知三棱锥是球的内接三棱锥,其中是等腰直角三角形,平面ABC,AD=4,,
则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
6.桂林日月塔又称金塔银塔 情侣塔,日塔别名叫金塔,月塔别名叫银塔,所以也有金银塔之称.如图1,这是金银塔中的金塔,某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度,在塔底的同一水平面上的两点处进行测量,如图2.已知在处测得塔顶的仰角为,在处测得塔顶的仰角为,米,,则该塔的高度( )
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（ ）
A．5 B． C．1 D．
8．如图,在三棱锥中,点分别为棱的中点.若点在线段上,且满足平面,则的值为( )
A． B． C． D．
二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数,,则下列结论正确的是( )
A．当,时,在复平面内对应的点在第一象限 B．当且仅当时,为纯虚数
C．当时, D．表示在复平面内对应的点的轨迹是圆
10．在中,角的对边分别为,且,则下列说法正确的是( )
A． B．若的周长为,内切圆半径为,则
C．若,,则有两解 D．若，则外接圆的面积为
11．如图,已知在长方体中,,,点为棱上的一个动点,平面与棱交于点,则下列命题正确的是( )
A．当点在棱上的移动时,恒有 B．在棱上总存在点,使得平面
C．四棱锥的体积为定值 D．四边形的周长的最小值是
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
注意事项：第Ⅱ卷所有题目的答案，考生必须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在区域外答题或在试卷上答题均无效。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量,,与的夹角为钝角,则实数的取值范围是__________.
13．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是梯形(如图所示),已知,,,将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台,则该圆台的侧面积为__________.
14．正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量.
(1)若,求的值.
(2)设,向量与的夹角为,求的大小.
16．当实数取什么值时,复数分别满足下列条件
(1)实数;
(2)纯虚数;
(3)在复平面内表示的点位于第四象限.
17．如图,直三棱柱内接于一个圆柱,,为底面圆的直径,圆柱的体积是,底面直径与圆柱的高相等.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)求三棱柱的体积.
(3)求直三棱柱的外接球的体积.
18．已知,,分别是的内角,,的对边,且.
(1)求;
(2)若的面积为,求的周长.
19.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
(1)证明：；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
数学试题答案
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1．若复数满足,则的虚部为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,可得,所以,所以,
所以的虚部为.
故选:A.
2．在中,设,,若,,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中,设,,因为,,
所以,即得,即,
则.故选:B.
3．已知,与同向的单位向量为,,,的夹角为,则向量在向量方向上的投影向量为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知,
又因为与同向的单位向量为,所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选:D.
4.如图,在长方体中,已知,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,为的中点,
所以,
所以,
假设异面直线与所成的角为,
则.
故选:D.
5．已知三棱锥是球的内接三棱锥,其中是等腰直角三角形,平,,,则该球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面,平面,平面,
所以,,
又因为是等腰直角三角形,,所以,
所以可将三棱锥补成长方体,如图:
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球,
长方体外接球的直径等于长方体的对角线,
即,
所以外接球的表面积为,
故选:A.
6．桂林日月塔又称金塔银塔 情侣塔,日塔别名叫金塔,月塔别名叫银塔,所以也有金银塔之称.如图1,这是金银塔中的金塔,某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度,在塔底的同一水平面上的两点处进行测量,如图2.已知在处测得塔顶的仰角为,在处测得塔顶的仰角为,米,,则该塔的高度( )
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】由题意可知,,,
设米,则
在中,米,
在中,米.
由余弦定理可得,即,解得.
因为米,所以米.
故选:B.
7．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，则点C到平面的距离为（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】求点面距离、锥体体积的有关计算
【分析】利用等体积转化求点到平面的距离.
【详解】由条件可知，平面，平面，所以，
，
设点到平面的距离为，由，
所以，解得：.
故选：D
8．(22广西玉林期中联考)如图,在三棱锥中,点分别为棱的中点.若点在线段上,且满足平面,则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接,交于,连接,如图,
平面,平面平面,
,
点,分别为棱,的中点.
是的重心,
.
故选:C.
二、多选题（每小题5分，共3小题15分）
9．已知复数,,则下列结论正确的是( )
A．当,时,在复平面内对应的点在第一象限
B．当且仅当时,为纯虚数
C．当时,
D．表示在复平面内对应的点的轨迹是圆
【答案】A,C,D
【解析】A选项,因为在复平面内对应的点的坐标为,,,所以对应的点在第一象限,因此A正确;
B选项,为纯虚数,则且,因此B错误;
C选项,,而,因此,因此C正确;
D选项,,因此,即轨迹是圆心为,半径为的圆,因此D正确;故选:ACD.
10．在中,角的对边分别为,且,则下列说法正确的是( )
A．
B．若的周长为,内切圆半径为,则为正三角形
C．若,,则有两解
D．在C选项的条件下,的取值范围为
【答案】A,B,C
【解析】由,可得,
所以,
所以,
所以,
因,所以,所以,
所以,所以,
因为,所以,所以,所以,故A正确;
若的周长为6,内切圆半径为,所以,所以,
在中,由余弦定理可得,
所以,所以,解得,
所以,又,解得,所以为正三角形,故B正确;
当时,满足,有两解,所以,即,有两解,故C正确;
故D不正确;
故选:ABC.
11．如图,已知在长方体中,,,点为棱上的一个动点,平面与棱交于点,则下列命题正确的是( )
A．当点在棱上的移动时,恒有
B．在棱上总存在点,使得平面
C．四棱锥的体积为定值
D．四边形的周长的最小值是
【答案】A,C,D
【解析】对于A,当点为棱上的移动时,平面,由于平面,故,故A正确;对于B,当点在时,平面,故B错误;对于C,在长方体中,平面平面,
平面平面,平面平面,
故,同理,则四边形为平行四边形;
故,
由于,故,故,故C正确;对于D,如图,将长方体展开,使四个侧面在同一个平面内,
连接(左侧)交于点,由于,则为的中点,同理为的中点,则四边形的周长的最小值是,则D正确,故选:ACD.
三、填空题（每小题5分，共3小题15分）
12．若向量,,与的夹角为钝角,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为向量,,与的夹角为钝角,
所以且,即且,
即实数的取值范围是.
故答案为:.
13．某水平放置的平面图形的斜二测直观图是梯形(如图所示),
已知,,,
将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台,则该圆台的侧面积为__________.
【答案】
【解析】由题可得,,,,
则所得圆台上底面为以为半径的圆,下底面为以为半径的圆,高为,
其母线为,故其侧面积.
故答案为:.
14.正三棱锥中，，，则直线和平面所成的角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】取正中心为O，连接并延长交于D，连接，
则D为中点，平面，
则为直线和平面所成的角，
中，，，，则，
中，，，，
则，则.
则直线和平面所成的角的正弦值为.
四、解答题（每小题12分，共4小题48分）
15．已知向量.
(1)若,求的值.
(2)设,向量与的夹角为,求的大小.
【答案】见解析
【解析】【小问1详解】
由可得,解得,;
【小问2详解】
由可得,,即,解得,
此时,,,
则,因,故.
16．当实数取什么值时,复数分别满足下列条件
(1)实数;
(2)纯虚数;
(3)在复平面内表示的点位于第四象限.
【答案】见解析
【解析】(1)若为实数,则,解得或.
(2)若为纯虚数,则,解得.
(3)若复数在复平面内对应的点位于第四象限,
则,解得.
17．如图,直三棱柱内接于一个圆柱,,为底面圆的直径,圆柱的体积是,底面直径与圆柱的高相等.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)求三棱柱的体积.
【答案】见解析
【解析】(1)设底面圆的直径为,则其高也为;
由题可知,圆柱的体积,解得,
因此圆柱的侧面积为;
(2)因为是等腰直角三角形,底面圆的半径为,因此边长,
所以三棱柱的体积.
（3）
18．已知,,分别是的内角,,的对边,且.
(1)求;
(2)若,的面积为,求的周长.
【答案】见解析
【解析】(1)在中,,
由正弦定理得:,则,
即,即,
由正弦定理得,即;
(2)由,得,
则,得,
由余弦定理得,
即,整理得,
即,解得,
则,
所以的周长为.
19.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
(1)证明：；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）设交AC于点O，由题意可得PO⊥AC，，可证得平面，进而证得结论.
（2）在线段PE取一点G，使得，由题意可得，可证得平面，进而可得平面平面，再证得，可得的值.
【详解】（1）设交于点O，连接，正方形中，则，，
又，则，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）侧棱上存在一点F，满足条件，
证明如下：如图，正方形中，，
在线段取一点G，使得，由，得，
连接，则，而平面，平面，
则平面，由平面，，平面，
得平面平面，而平面平面，平面平面，
于是，，
所以＝.