山东省枣庄市滕州市第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含详解）

山东省滕州市第二中学2024 2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．0或2
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，已知，则的面积为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．在锐角中，角所对的边分别为.若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的是（ ）
A．在中，若，则
B．若，，，则有两个解
C．在中“”是“”的必要不充分条件
D．若，则角
10．已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则
11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在（单位：s）时相对于平衡位置（图中处）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，，.小球从最高点出发，经过0.5s后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．小球在内经过的路程为10cm D．时，小球正在向上运动
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 .
13．设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 .
14．如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数.
(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；
(2)若，试求实数、的值.
16．已知向量，，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求.
17．已知函数．
(1)求函数在上的单调递增区间；
(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值．
18．在平行四边形中，是的中点，交于点，，，的夹角为.
(1)若，求的值：
(2)当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围.
19．如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.
(1)问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值.
(2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求.
(3)求面积的最大值.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选B.
2．【答案】D
【详解】因为，故，
故.
故选D.
3．【答案】A
【详解】.
故选A.
4．【答案】A
【详解】因为，所以，
则.
故选A.
5．【答案】D
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】如图所示，过点A作于点D，

则，
同理可证，
因为，所以，
整理得，因为为锐角三角形，所以，
所以，即，
故选D.
7．【答案】C
【详解】因为，
所以
故选C．
8．【答案】B
【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解.
【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，

所以，，设，
则
，
又是的外心，所以
，
所以.
故选B.
【关键点拨】本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出.
9．【答案】BD
【详解】对于A，在中，由正弦定理知，，
结合大边对大角可得，故A正确；
对于B，因为，，，
由正弦定理，得，
由知，只有一解，所以有一个解，故B错误；
对于C，若，由正弦定理得：，
则，
因为，可知或，即或，
所以“”是“”的不充分条件，
若，则，，所以，
所以“”是“”的必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，因为，
由余弦定理得：，即，
因为，所以或，故D错误.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确，
对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，
对于C, 若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，
对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，
故选ABD
11．【答案】ABD
【详解】由题意，，，，
当时，小球位于最高点，则，，，故A，B正确；
对于C，由题意，当，小球经过一个周期，则其路程为，故C错误；
对于D，当时，由周期性，等价于，
此时，
由正弦函数的图像可知，图像自下而上穿过轴，小球正在向上运动，故D正确，
故选ABD.
12．【答案】0
【详解】，由于，
所以.
13．【答案】/
【详解】由，得，
由三点共线，得，而，
则，又不共线，因此，解得，
所以实数的值为.
14．【答案】
【详解】
过点作,垂足为,过作,垂足为，
在直角中，,可得,
在直角中，,可得：,
在直角中，,可得：,
所以可得：,
,即,
所以,再由,
再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以,
即.
15．【答案】(1)复数的实部为、虚部为、模长为，坐标为
(2)
【详解】（1）因为.
则复数的实部为，虚部为，模长为，
表示复平面上的点的坐标为.
（2）将代入方程得：，
∴，∴.
16．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题意得，即，
则，即，，
因为，所以，
故，，
；
（2），
，
，
故
，
故，所以，，
又，，故，
，
则
.
17．【答案】(1)单调递增区间为，
(2)
【详解】（1）已知函数，
则，
令，
则，
因为，令，则；令，则，
即函数的单调递增区间为，.
（2）已知，即，即，
又，则，即，
又，
由余弦定理可得，
又，则，则，.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）

如图，由题意，因为，所以，
且是的中点，即,
即,
.
（2）

当在上运动时，设，则,
，
，
，
又，.
当在上运动时，设，则，
，
又，
综上所述，的取值范围是
19．【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为
(2)
(3)
【详解】（1）在中由余弦定理得
，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为.
（2）因为，
且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以.
（3）设，（，所以为锐角），
在中，由正弦定理得，，
，
当，即时，的面积取得最大值为.