山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高一下学期第二次月考（3月） 数学试题(含详解)

山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024 2025学年高一下学期第二次月考（3月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在矩形中，为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（ ）
A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
5．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．把函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍（纵坐标不变），再将函数图象向左平移个单位长度后，所得的图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知幂函数的图象关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．函数的最小值为
11．已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则
B．若的图象关于点中心对称，则
C．若在上单调递增，则的取值范围是
D．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
13．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中的弧长为的弧长为，则该扇环的面积为 .
14．．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算；
（2）计算．
16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程恰有两个实数根，求的取值范围．
17．（1）若，，求的值；
（2）已知，，， ，求的值.
18．已知函数是奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
19．已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值；
(3)记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意知，又，
所以．
故选D．
2．【答案】A
【详解】由于当时，有，但，故条件不是必要的；
当时，有，故条件时充分的.
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
3．【答案】D
【详解】在矩形中，为的中点，
故选D.
4．【答案】B
【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得，
∴，
取可确定终边在第一或第三象限角.
故选B．
5．【答案】B
【详解】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选B.
6．【答案】A
【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标变为原来的两倍后，得到，
再将函数图象向左平移个单位长度后，得到．
故选A．
7．【答案】C
【详解】设， ，
若对任意的，都有，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，在上递增，且，
所以，解得，即的取值范围是.
故选C.
8．【答案】D
【详解】因为，
由所以，
即；
又，
故；
因为，所以，
又，
又，所以.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】因为，所以，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C错误；
，又，所以，即，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A选项，因为为幂函数，有，解得或．
当时，，函数为奇函数，不符合题意；
当时，，函数为偶函数，函数图象关于轴对称．
由上知，，故A正确；
对于B选项，由，故B错误；
对于C选项，因为，
由，有，故C正确；
对于D选项，由（当且仅当或时取等号），
可得函数的最小值为，故D正确．
故选ACD．
11．【答案】AC
【详解】因为函数的图象经过点，
所以，而，所以，即，
选项A，的最小正周期是，则，A正确；
选项B，的图象关于点中心对称，
则（因为），B错误；
选项C，时，，
则，，解得，C正确；
选项D，时，，
方程在上恰有两个不同的实数解，
即方程在上恰有两个不同的实数解，
则，解得，D错误．
故选AC．
12．【答案】
【详解】令，解得，此时，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
13．【答案】384
【详解】设该扇形内弧半径为，由弧长公式和已知可得：，解得，
则外弧半径为，所以该扇环的面积为.
14．【答案】
【详解】由题意知
.
15．【答案】（1）；（2）1
【详解】（1）
；
（2）
．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
当时，；
当时，，所以，
综上，；
（2）函数的图象如图所示：
所以且，解得或，
故的取值范围是．
17．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，，
所以；
（2）因为，，所以，
又，，且，
所以，因为，
所以，
又，而在上单调递减，则，
所以，
由
，
又，所以.
18．【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
所以，解得或．
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，满足题意，
综上，；
（2）在上单调递增，
不妨设，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上单调递增，
又是奇函数且定义域为，所以在上单调递增；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，
即，
又是奇函数，所以，
又在上单调递增．所以对任意实数恒成立，
又，
所以当时，取得最大值，所以，
解得，即的取值范围是.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，所以，
所以，所以，
故，
解得，
所以；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
再向上平移1个单位长度，得到的图象，
所以，
又，所以当时，，
又，所以，
要使最大，则最大，最小．
所以当最大，最小时，
即取得最大值，
最大值为；
（3）因为，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为；
当时，在上单调递减，
所以，，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为，
综上，函数的值域为．