陕西省咸阳市乾县第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题(含详解)

陕西省咸阳市乾县第一中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于（ ）
A．(4，3) B．(－4，－3)
C．(－4，3) D．(4，－3)
2．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走
3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
4．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，当最小时，，则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题正确的有( )
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．同向且等长的有向线段表示同一向量
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．若是平面内不共线的四点，且，则四边形是平行四边形
10．已知不共线的两个单位向量的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．若，则
11．在中，内角所对的边分别为，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等腰直角三角形
C．若是锐角三角形，则
D．若，，分别表示，的面积，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则 ．

13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则等于 .
14．在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图所示，在中，分别是，的中点，，，.
（1）用，表示向量，，；
（2）求证：，，三点共线.
16．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，求周长的最大值．
17．已知向量．
(1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
(2)若，求向量在上的投影向量的坐标．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求C；
(2)若，，求的面积．
19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．

(1)当时，求四边形ABCD的面积；
(2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】
故选A.
2．【答案】C
【详解】
如图，分别作出，
则利用向量加法的交换律可得，故.
易知为等腰直角三角形，故,且,
于是所表示的意义为向西南走.
故选C.
3．【答案】C
【详解】解：因为向量与向量共线，
所以，即，
因为，是两个不共线的向量，
所以，解得 ，
故选C.
4．【答案】B
【详解】因，由正弦定理，，即,
因,则，故, ,即，故是等腰三角形.
故选B.
5．【答案】D
【详解】因关于的方程无实根，则，
设向量与的夹角为，则，
又，代入整理得：，因，故.
故选D.
6．【答案】A
【详解】在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
相加得，又，解得，
故选A.
7．【答案】D
【详解】设的夹角为，由，
由二次函数的图象可知，当且仅当时，取最小值，此时值最小，
将代入即得：，因，故.
故选D.
8．【答案】D
【详解】设的中点为A，
则，
所以.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】方向相反的两个非零向量必定平行，∴方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；
同向且等长的有向线段表示的向量方向相同且大小相等，故为同一向量，故B正确；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；
是不共线的点，，即模相等且方向相同，即四边形对边平行且相等，反之也成立，故D正确．
故选ABD．
10．【答案】ABC
【详解】对于，因为是单位向量，所以，
所以，故A正确；
对于，因为是单位向量，
所以在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，因为，所以，
又因为，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
所以，所以，故D错误，
故选ABC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A中，因为，设外接圆的半径为,可得，
又由，所以A正确；
对于B中，因为，由正弦定理得，即，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C中，由是锐角三角形，可得，即，
因为是锐角三角形，可得，
又因为在为单调递减函数，所以，所以C正确；
对于D中，如图所示，设的中点为，的中点为，
因为，即，
可得，即，所以点是上靠近的三等分点，
所以点到的距离等于到的，
又由到的距离为点到的距离的倍，
所以到的距离等于点到距离的，
由三角形的面积公式，可得，即，所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】/0.5
【详解】

依题意，以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系.
则，设点，则，
于是，解得，
即.
13．【答案】
【详解】因为，且，
所以，，，
所以.
14．【答案】
【详解】

因为，所以，因为，
所以，且三点共线，
则，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
15．【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）∵，，，分别是，的中点，
∴，
，
∴；
（2）由（1）知，，
∴，
∴与共线，又∵与有公共点，
故，，三点共线.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)6
【详解】（1）证明：由余弦定理知和，
得，
又，则，
结合正弦定理得，
；
（2）由（1）知，又，
故，即，
，所以，
则，故，当且仅当，即时取等号，
故，即周长的最大值为6.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因，要使与的夹角为钝角，需使，
解得：且，即实数的取值范围为.
（2）由可得，解得，
故，则，
因向量在上的投影向量为，故投影向量坐标为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
得．
因为，所以，所以，即．
（2）由余弦定理得，得，
所以，故的面积为．
19．【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）连结，则
四边形的面积为

（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5