四川省泸州市合江县中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题(含详解)

四川省泸州市合江县中学校2024 2025学年高一下学期3月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是奇函数，且最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知扇形的周长是8cm，该扇形的圆心角是2弧度，则该扇形的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
6．设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ）
A． B． C． D．
8．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
11．（多选）已知函数（，）的图象，如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在上单调递减
三、填空题（本大题共3小题）
12． .
13．若，，则的取值范围是 .
14．已知函数（），若存在，，使得，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量与的夹角为，且，.
(1)求，；
(2)求在上的投影向量（用表示）.
16．已知函数.
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求在区间上的值域.
17．已知函数，对，有.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，时，求.
18．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的图象的对称中心的坐标；
(3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.
19．已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)求的单调递增区间；
(3)将图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，故D正确.
故选D
2．【答案】C
【详解】是奇函数，最小正周期为，故不符合题意；
是偶函数，最小正周期为，故不符合题意；
是奇函数，最小正周期为，故符合题意；
，得，
所以的对称中心为，
故不是奇函数，
的最小正周期为，故不符合题意；
故选.
3．【答案】B
【详解】由题意知，
则原式.
故选B.
4．【答案】B
【详解】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，则，
所以弧长，扇形周长，解得，
所以扇形面积.
故选B.
5．【答案】D
【详解】易知，
又因为，
因此只需将图象上所有的点向右平移个单位即可.
故选D
6．【答案】B
【详解】由题知，则，
因为，所以
所以
易知的最小值为.
故选B
7．【答案】B
【详解】依题意，.
故选B
8．【答案】D
【详解】如图所示：
．
连接，设，作，，垂足分别为，
由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，，
于是，．
因此四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，而，则当时，，
所以.
故选D.
9．【答案】CD
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误，
对于C，
，故C正确.
对于D，，故D正确.
故选CD.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误；
对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，则或时， 与的方向不是相同或相反，故B错误；
对于C，当时，若，与是任意向量，故选项C不正确；
对于D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，
所以是的一个单位向量，故选项D正确；
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】由题图知的最小正周期，则，所以．将代入得，
则（），得（）．
因为，所以，故A，B正确．
，当时，，不满足对任意的都有，C错误．
因为，所以，故在上单调递减，D正确．
故选ABD．
12．【答案】/
【详解】.
13．【答案】
【详解】由题意知，，且，
当，同向时，取得最小值，；
当，反向时，取得最大值，；
当，不共线时，，
故的取值范围是.
14．【答案】/
【详解】.
因为存在，，使得，
所以，解得.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，，
所以，
；
（2）因为向量与的夹角为，且，.
所以在上的投影向量为
16．【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【详解】（1）分别令，可得，
（2）因为，所以，
所以，
所以的值域为.
17．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1），
对，有，则，
则，因，解得，故；
（2）因，由，可得，
则，
故
.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由图可知，函数的最小正周期满足：，解得，
因，故，
依题意，把点代入，可得，
因函数图象在附近呈上升趋势，故得，又，则，
故函数的解析式为；
（2）对于，由，可解得：，
故函数的图象的对称中心的坐标为；
（3）对于，因，则，
由函数在区间上的值域为，可得在区间上的值域为，
作出其图象，可知需使，解得，
即实数的取值范围是.
19．【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【详解】（1）由
，
由图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，
得最小正周期，所以，.
（2）由，得，
所以的单调递增区间为.
（3）由（1）及已知，将图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
得的图象，
再将所得图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得，
由，得，则，令，
由函数在上存在零点，得在有解，
而函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
即，解得，
所以的取值范围是.