微专题9 不规则图形的面积的计算（含答案）

微专题9 不规则图形的面积的计算
1.[2024 辽宁大连三模]如图，在半径为2的⊙O中，AB 为⊙O 的一条弦，将AB 所对的劣弧沿AB 翻折后恰好经过圆心，连接AO 并延长交⊙O 于点 C，则图中阴影部分的面积为 ( )
A.
2.[2024 山东泰安二模]如图,在菱形ABCD 中,∠D=60°,AB=4,以B为圆心、BC长为半径画弧AC,点 P 为菱形内一点,连接PA,PB,PC.当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为 ( )
C.8π
3.[2024 河北遵化二模]如图，将含60°角的直角三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转45°后得到△AB'C',点 B 经过的路径为弧 BB',若∠BAC=60°,AC=3,则图中阴影部分的面积是 ( )
B. D.3π
4.[2024 山东临沂一模]如图，两个半径均为1，圆心角均为直角的扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形 CFD 的圆心 C 是 的中点，将扇形CFD 绕着点 C 旋转，两扇形半径AE、CF交于点G，半径BE、CD 交于点H，则图中阴影部分的面积等于 ( )
C.π-1 D.π-2
5.[2024 广东汕头校级模拟](1)【问题探究】如图1,在正方形ABCD 中,点 E 是边 BC 延长线上一点,AC=CE,连接AE交CD于点 O,以点O为圆心,OD长为半径作⊙O.求证:AC 是⊙O的切线.
(2)【知识迁移】
如图2,在菱形ABCD中,点 E 是边 BC 延长线上一点,AC=CE,连接AE交CD于点 O,以点O为圆心的⊙O 与AD 相切于点 M.
①AC与⊙O 的位置关系为 ;
②若 求阴影部分的面积.
微专题9 不规则图形的面积的计算
1. B 解析:如图,作O 关于AB 的对称点D,连接OD 交AB 于E,连接OB、DB,由折叠知,OB=DB=2,OD⊥AB,
∵OD=OB=2,
∴OB=OD=BD,
∴ △OBD 是等边三角形,∠DOB =∠ODB=60°.
∵OA=OB,
∴∠AOB=2∠DOB=120°,
∴∠BOC=60°.
∵OB=OC,
∴ △OBC 是等边三角形,
∴OC=OB=OD=BD=BC=2,
∴四边形ODBC 是菱形,
∵O是 所在圆的圆心，点D 为O关于AB 的对称点,∴ D 是 所在圆的圆心，
2B 解析:如图,连接AC,延长AP 交 BC于E,
在菱形ABCD中,∠D=60°,AB=4,
∴∠ABC=∠D=60°,AB=BC=4,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC,
∵△BPC为等腰三角形,∴PB=PC,
∴AE⊥BC,
∴∠PAB=∠PAC,BE=CE=2,
∵△BPC为等腰直角三角形，
在 Rt△ABE中
∴AP=AE-PE=2 -2,
3. C 解析:在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=3,
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6,
根据旋转的性质知△ABC≌△AB'C',则
4. A 解析:如图,过点 C 分别作 CM⊥AE于M,CN⊥BE于 N,连接EC,则四边形CMEN是矩形,∴∠MCN=90°,
∵两个扇形的半径均为1，圆心角均为直角，
∴两个扇形面积和为
∵C 是AB的中点,
∴∠AEC=∠BEC,即EC平分∠AEB,
∴CM=CN,
∴四边形 CMEN是正方形，
∵∠MCN=∠GCH,
∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN,
∴∠MCG=∠NCH,
又∵∠CMG=∠CNH,CM=CN,
∴△CMG≌△CNH(ASA),
∴空白部分的面积等于对角线的长为1的正方形 CMEN的面积，
∴空白部分面积为
∴阴影部分面积为
5.(1)见解析 (2)①相切
解析:(1)证明:如图1,过点 O 作 OK⊥AC于点K,
∵AC=CE,
∴∠OAK=∠E,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD∥BE,AD⊥OD,
∴∠OAD=∠E.
∴∠OAD=∠OAK,即AO为∠DAK的平分线，
∵AD⊥OD,OK⊥AC,
∴OD=OK,
又∵OD为⊙O的半径,
∴点K在⊙O上,
∴AC是⊙O 的切线.
(2)①如图2,过点O作OG⊥AC于点G,连接OM,
∵⊙O与AD 相切于点M,
∴OM⊥AD,
∵AC=CE,
∴∠OAG=∠E,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AD∥BE,
∴∠OAD=∠E,
∴∠OAD=∠OAG,
又∵OG⊥AC,OM⊥AD,
∴OG=OM,∴点G在⊙O上,
∴AC与⊙O 相切.
②如图2,过点A作AH⊥BC于点 H,在Rt△ABH中,
设BH=7x,则AB=9x,
由菱形的性质可得BC=AD=AB=9x,
∴CH=BC-BH=2x,
在 Rt△AHC中,由勾股定理得.
解得x=1(负值舍去)，
解得