微专题8 全等相似模型（含答案）

微专题8 全等相似模型
1.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD 交于点 M,连接 OM.下列结论:①AC = BD;②∠AMB=40°;③OM 平分∠BOC;④MO 平分∠BMC.其中正确结论的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D为BC边中点,DE⊥AB 于E,作∠EDC 的平分线DF交AC于点 F、过点E作DF的垂线交DF于点 G,交BC于点H.
(1)依题意补全图形；
(2)求证:DH=BE;
(3)判断线段 FD，HC与BE之间的数量关系，并证明.
3.在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,M 为 AB 的中点，D为线段AB上的动点，连接CD，将线段CD绕点 C 逆时针旋转60°得到线段 CE，连接AE,CM.
(1)如图1,点D 在线段AM上,求证:AE=MD;
(2)如图2,点D 在线段 BM上,连接DE,取 DE的中点 F，连接AF并延长交CD 的延长线于点G,若∠G=∠ACE,用等式表示线段AE,AF,FG的数量关系，并证明.
微专题8 全等相似模型
LB 解析:∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠AOB+∠AOD =∠COD+∠AOD,即∠BOD=∠AOC,
在△AOC 和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴∠OCA=∠ODB,AC=BD,故①正确;
∵△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD,由三角形的外角性质得，∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD,
∴∠AMB=∠AOB=40°,故②正确;
作OG⊥MC于G,OH⊥MB于H,
則∠OGC=∠OHD=90°,
在△OCG和△ODH中,
∴△OCG≌△ODH(AAS),∴OG=OH,
∴MO平分∠BMC,故④正确;
∵△AOC≌△BOD,∴∠CAO=∠DBO,在△AOC中,∵OA>OC,
∴∠ACO>∠CAO,
∴∠ACO>∠DBO,∵MO平分∠BMC,
∴∠CMO =∠BMO,∵ ∠COM= 180°-∠ACO-∠CMO,∠BOM=180°-∠DBO-∠BMO,∠ACO>∠DBO,
∴∠COM<∠BOM,
∴OM 不是∠BOC的平分线,故③错误.综上，正确的结论有3个.故选 B.
2(1)见解析 (2)见解析 =FD ；证明见解析
解析：(1)补全图形如图所示.
(2)证明:∵DF平分∠EDC,
∴∠EDG=∠HDG,
∵EH⊥DF,∴∠EGD=∠HGD=90°,
又∵DG=DG,∴△EDG≌△HDG(ASA),
∴DE=DH,
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°,
又∵DE⊥AB,即∠DEB=90°,
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE=DH.
(3)证明:过点 F作FP⊥CD于点 P,则△CFP为等腰直角三角形，
∵∠DEB=∠CAB=90°,
∴DE∥AC,
∴∠EDF=∠CFD,
∵DF平分∠EDC,
∴∠EDF=∠CDF,
∴∠CDF=∠CFD,
∴CD=CF,
又∵D为BC的中点，
∴BD=CD,
∴CD=CF=BD,∴CP = FP=BE=DE=DH,
∴CD-DH=CD-CP,即CH=DP,
在Rt△DFP中，由勾股定理得
3.(1)见解析
(2)FG=AE+AF;证明见解析
解析:(1)证明:∵将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转60°得到线段CE，
∴CD=CE,∠ECD=60°,
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∵M为AB的中点,
∴△ACM 为等边三角形,
∴∠ACM=60°,CA=CM,
∵∠ECA=∠ECD-∠ACD=60°-∠ACD,∠DCM=∠ACM-∠ACD=60°-∠ACD,
∴∠ECA=∠DCM,
∵CE=CD,CA=CM,
∴△CEA≌△CDM(SAS),
∴AE=MD.
(2)证明:在 FG上截取 FH=AF,连接DH,如图,
∵F 是DE的中点,
∴EF=DF.
∵AF=HF.∠AFE=∠HFD.
∴△EAF≌△DHF(SAS).
∴AE=DH,∠EAF=∠FHD.
∴AE∥DH,
∵△ACM为等边三角形.
∴∠AMC=∠ACM=60°.
∴∠CMD=120°,
由(1)同理得△CAE≌△CMD,
∴ ∠CAE = ∠CMD = 120°, ∠ACE=∠MCD,
∴∠CAE+∠ACM=180°.
∴AE∥CM,
∴CM∥DH,
∴∠MCD=∠HDG,
又∵∠G=∠ACE,
∴∠G=∠HDG,
∴GH=DH=AE,
∴FG=GH+FH=AE+AF.