微专题4 反比例函数中k的几何意义（含答案）

微专题4 反比例函数中k的几何意义
1.[2024 黑龙江龙东地区]如图，双曲线 0)经过A、B 两点,连接OA、AB,过点 B 作 BD⊥y轴,垂足为D,BD 交OA 于点 E,且E为AO的中点，则△AEB 的面积是 ( )
A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5
2.[2024 黑龙江牡丹江]矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数 的图象与AB 边交于点D，与AC边交于点 F，与OA交于点 E,OE=2AE,若四边形ODAF 的面积为2，则k的值是 ( )
A. B. C. D.
3.[2024 内蒙古呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(5,0),(2,6),过点B作BC∥x轴交y轴于点C,点 D 为线段AB上的一点，且BD=2AD.反比例函数 的图象经过点 D 交线段 BC 于点 E，则四边形ODBE 的面积是 .
4.[2024 广东广州]如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC 的顶点 B 在函数 的图象上,A(1,0),C(0,2).将线段AB 沿x轴正方向平移得线段A'B'(点A 平移后的对应点为A')、A'B'交函数 的图象于点 D，过点 D 作DE⊥y轴于点 E,则下列结论:
①k=2;
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③A'E的最小值是
④∠B'BD=∠BB'O.
其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号)
5.[2024 江苏苏州]如图,△ABC 中,AC = BC,∠ACB=90°,A(-2,0),C(6,0),反比例函数y 的图象与AB交于点D(m,4),与BC交于点E.
(1)求m,k的值;
(2)点P 为反比例函数 图象上一动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合),过点P作PM∥AB,交y轴于点 M,过点 P作PN∥x轴,交BC于点N,连接MN,求△PMN面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标.
微专题4 反比例函数中k的几何意义
1. A 解析:过点 A 作AM⊥y轴,垂足为M,连接OB,
则
∵E是OA的中点,∴OE=AE,
∵DE⊥y轴,∴DE∥AM,
即
∴BD=2AM,
2. D 解析:过点 E作 EM⊥OC 于点 M,则EM∥AC,
∴△OME∽△OCA,∴OC=AN=CDE.设E(a, ),
即 解得 k
3.12
解析:过点 B作 BM⊥x轴于 M,过点 D作DN⊥x轴于N,
∵BC∥x轴,∠COM=90°,
∴四边形OMBC 为矩形,
又∵A(5,0),B(2,6),
∴BC=OM=2,OC=MB=6,OA=5,
∴AM=OA-OM=5-2=3,
∵BD=2AD,∴AD:AB=1:3,
∵ BM⊥x轴,DN⊥x轴,
∴BM∥DN,∴△ADN∽△ABM,
∴ DN:BM=AN:AM=AD:AB,即 DN:6=AN:3=1:3,
∴DN=2,AN=1,
∴ON=OA-AN=5-1=4,
∴点 D 的坐标为(4,2),
∵反比例函数 的图象经过点D,∴k=8,
根据反比例函数比例系数的几何意义得
=5,
4-5=12.
4.①②④
解析:∵A(1,0),C(0,2),四边形OABC是矩形，
∴B(1,2),∴k=1×2=2,故①正确.
设OD与AB的交点为K，
易得
四边形AKDA',
即△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，故②正确.
易证四边形A'DEO为矩形，
∴A'E=OD,
∴当OD的值最小时，A'E 的值最小.
设
又OD>0,∴OD≥2.
∴A'E的最小值为2，故③不正确.
设平移距离为n，
又∠BB'D=∠OA'B',
∴△B'BD∽△A'OB',
∵B'C∥A'O,
∴∠B'BD=∠BB'O,故④正确.
故答案为①②④.
5.(1)m=2;k=8 (2)△PMN面积的最大值为 ；此时，
解析:(1)∵A(-2,0),C(6,0),∴AC=8.又∵AC=BC,∴BC=8.
∵∠ACB=90°,∴点B(6,8).
设直线AB的函数表达式为 y=ax+b，将A(-2,0),B(6,8)代入 y= ax+b,得 解得
∴直线AB的函数表达式为y=x+2.
将D(m,4)代入y=x+2,得m=2.
∴D(2,4).
将D(2,4)代入 得 解得k=8.
(2)延长 NP 交 y轴于点 Q,交 AB 于点L.
∵AC=BC,∠BCA=90°,
∴∠BAC=45°,
∵PN∥x轴,
∴∠BLN=∠BAC=45°,∠NQM=90°,
∵AB∥MP,
∴∠MPL=∠BLP=45°,
∴∠QMP=∠QPM=45°,
∴QM=QP,设点 P的坐标为 则 PQ=t,PN=6-t、MQ=PQ=1、
∴当t=3时，S△MN有最大值，最大值为 此时P(3, ).