第6课时 指数与指数函数
[考试要求] 1．掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
1．根式
(1)如果xn＝a，那么_叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*．
(2)式子叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝_．
当n为奇数时，＝___；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝_____；(ar)s＝___；(ab)r＝____(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是R，_是底数．
(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
(3)指数函数的图象与性质
项目 a>1 0
图象
定义域 R
值域 _________
性质 过定点________，即x＝0时，y＝_
当x>0时，____； 当x<0时，_______ 当x<0时，____； 当x>0时，_______
在(－∞，＋∞)上是__函数 在(－∞，＋∞)上是__函数
[常用结论]
指数函数图象的特点
(1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a． ( )
(2)函数y＝a－x是R上的增函数． ( )
(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． ( )
(4)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P107练习T2改编)将写成分数指数幂的形式为( )
A． B．
C． D．
2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝( )
A．1 B．2
C． D．3
3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．＞
C．1.70.3＞0.93.1 D．＜
4．(人教A版必修第一册P110习题4.1T8(1)改编)已知+＝5，则x＋x-1的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
考点一 指数幂的运算
[典例1] (多选)下列计算正确的是( )
A．＝
B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
指数幂运算的一般原则
(1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
[跟进训练]
1．(1)已知x<0，y>0，化简得( )
A．－x2y B．x2y
C．－3x2y D．3x2y
(2)(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________．
考点二 指数函数的图象及应用
[典例2] (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，则下列式子可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0(2)(多选)(2025浙江杭州模拟)已知函数f (x)＝|ax－1|(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的图象恒过定点(0，1)
B．函数f (x)的值域为[0，＋∞)
C．函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增
D．若直线y＝2a与函数f (x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是( )
A B
C D
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________．
考点三 指数函数的性质及应用
比较指数式的大小
[典例3] (1)(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
(2)若2x＋5y2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y0 B．x＋y0
C．x－y0 D．x－y0
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解简单的指数方程或不等式
[典例4] (2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
指数函数性质的综合应用
[典例5] (1)(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2023全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则( )
A．不等式<的解集是(－1，1)
B． x∈R，都有f (－x)＝f (x)
C．f (x)是R上的减函数
D．f (x)的值域为(－1，1)
(2)若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________．
第6课时 指数与指数函数
梳理·必备知识
1．(1)x (2)根式 (3)a a
2． 0
3．ar＋s ars arbr
4．(1)指数x a (3)(0，＋∞) (0，1) 1
y>1 01 0激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)√
二、1．B [将写成分数指数幂的形式为．故选B.]
2．C [依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝，所以f(－1)＝.]
3．BCD [因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为为减函数，所以，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝为减函数，所以，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以，所以，故D正确．]
4．B [因为＝5，所以2＝52，即x＋x-1＋2＝25，所以x＋x-1＝23.]
考点一
典例1 BC [对于A，，所以A错误；
对于＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于C，，所以C正确；
对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误．]
跟进训练
1．(1)B (2)－ [(1)由题意得 ＝x2y.
－0＋.]
考点二
典例2 (1)ABD (2)BCD [(1)如图，观察易知，a(2)f(x)＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．分a>1和01时，如图①，直线y＝2a与f(x)的图象只有一个交点，不合题意；当0]
跟进训练
2．(1)AC (2)[－1，1] [(1)当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
]
考点三
考向1 典例3 (1)D (2)B [(1)由y＝在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故选D.
(2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．
又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.]
考向2 典例4 A [函数f(x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3－x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f(x)＝2x－3－x是R上的增函数，由f(x2)考向3 典例5 (1)D (2)D (3)(1，＋∞) [(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D.
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C.故选D.
(2)法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.故选D.
法二：f(x)＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.故选D.
(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对任意x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1.]
跟进训练
3．(1)AD (2)(－∞，－1] [(1)对于A，f(x)＝，由<，得1－＜，即<<，
得<2x＋1<3，解得－1对于B，f(－x)＝1－≠f(x)，故B错误；
对于C，f(1)＝1－<＝f(2)，所以f(x)在R上单调递减不成立，故C错误；
对于D，由0<<2知－1<1－<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)，故D正确．故选AD.
(2)∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].]
7 / 7(共85张PPT)
第二章
函数的概念与性质
第6课时 指数与指数函数
[考试要求] 1．掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质．
2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．
3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
链接教材·夯基固本
1．根式
(1)如果xn＝a，那么__叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*．
(2)式子叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝__．
当n为奇数时，＝__；
当n为偶数时，＝|a|＝
x
根式
a
a
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂，＝______(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂，＝＝______(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义．
0
3．指数幂的运算性质
aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中______是自变量，定义域是R，__是底数．
(2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
ar＋s
ars
arbr
指数x
a
项目 a>1 0图象
定义域 R
(3)指数函数的图象与性质
值域 ___________
性质 过定点________，即x＝0时，y＝_
当x>0时，_____； 当x<0时，________ 当x<0时，_____；
当x>0时，________
在(－∞，＋∞)上是__函数 在(－∞，＋∞)上是__函数
(0，＋∞)
(0，1)
1
y>1
0y>1
0增
减
[常用结论]
指数函数图象的特点
(1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝()n＝a． ( )
(2)函数y＝a－x是R上的增函数． ( )
(3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． ( )
(4)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． ( )
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P107练习T2改编)将写成分数指数幂的形式为( )
A． B．
C． D．
B [将写成分数指数幂的形式为．故选B．]
√
2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝( )
A．1 B．2
C． D．3
C [依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f (x)＝，所以f (－1)＝＝．]
√
3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．＞
C．1.70.3＞0.93.1 D．＜
√
√
√
BCD [因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为＝，y＝为减函数，所以＞＝，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝为减函数，所以＜，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，所以＜＜，故D正确．]
4．(人教A版必修第一册P110习题4.1T8(1)改编)已知+＝5，则x＋x-1的值为( )
A．5 B．23
C．25 D．27
B [因为+＝5，所以(＋)2＝52，即x＋x-1＋2＝25，所以x＋x-1＝23．]
√
考点一 指数幂的运算
[典例1] (多选)下列计算正确的是( )
A．＝
B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0)
C．＝
D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2
典例精研·核心考点
√
√
BC [对于A，＝＝＝＝，所以A错误；
对于B， ( )÷( ) ＝－9＝
－9a(a>0，b>0)，所以B正确；
对于C，＝＝＝＝，所以C正确；
对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误．]
名师点评 指数幂运算的一般原则
(1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一．
[跟进训练]
1．(1)已知x<0，y>0，化简得( )
A．－x2y B．x2y
C．－3x2y D．3x2y
(2)(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________．
√
－
(1)B (2)－ [(1)由题意得 ＝＝x2|y|＝x2y．
(2)＋－(－1)0＋＝＋－1＋＝－4＋3－1＋＝－．]
考点二 指数函数的图象及应用
[典例2] (1)(多选)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，则下列式子可以成立的是( )
A．a＝b＝0 B．aC．0√
√
√
(2)(多选)(2025浙江杭州模拟)已知函数f (x)＝|ax－1|(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的图象恒过定点(0，1)
B．函数f (x)的值域为[0，＋∞)
C．函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增
D．若直线y＝2a与函数f (x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是
√
√
√
(1)ABD (2)BCD [(1)如图，观察易知，a(2)f (x)＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．分a>1和01时，如图①，直线y＝2a与f (x)的图象只有一个交点，不合题意；当0]
名师点评 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系．
(3)定点与渐近线是作图的关键．
[跟进训练]
2．(1)(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是( )
A B C D
√
√
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是___________．
[－1，1]
(1)AC (2)[－1，1] [(1)当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应
满足的条件是b∈[－1，1]．]
【教用备选题】
1．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点的横坐标的取值范围是( )
A．
C．
√
A [由题干图象知函数为减函数，则0＜a＜1，
二次函数y＝ax2＋x图象的顶点的横坐标为x＝－，
∵0＜a＜1，∴＞，－＜－，
即横坐标的取值范围是．故选A．]
2．在同一平面直角坐标系中，指数函数y＝，二次函数y＝ax2－bx的图象可能是( )
A B C D
√
B [指数函数y＝的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y＝ax2－bx＝(ax－b)x有零点，0．A，B选项中，指数函数y＝在R上单调递增，故>1，故A错误，B正确．C，D选项中，指数函数y＝在R上单调递减，故0<<1，故C，D错误．故选B．]
考点三 指数函数的性质及应用
考向1 比较指数式的大小
[典例3] (1)(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
(2)若2x＋5y2－y＋5－x，则有( )
A．x＋y0 B．x＋y0
C．x－y0 D．x－y0
√
√
(1)D (2)B [(1)由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，
由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c．故选D．
(2)设函数f (x)＝2x－5－x，易知f (x)为增函数．
又f (－y)＝2－y－5y，由已知得f (x)f (－y)，所以x－y，所以x＋y0．故选B．]
【教用备选题】
已知函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (0)＝3，则f (bx)与f (cx)的大小关系为( )
A．f (cx)f (bx) B．f (cx)f (bx)
C．f (cx)>f (bx) D．f (cx)＝f (bx)
√
A [根据题意，函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (x＋1)＝f (1－x)，则有＝1，即b＝2．
又由f (0)＝3，得c＝3，
所以bx＝2x，cx＝3x．
若x<0，则cx而f (x)在(－∞，1)上单调递减，
此时有f (bx)若x＝0，则cx＝bx＝1，
此时有f (bx)＝f (cx)；
若x>0，则有1而f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
此时有f (bx)综上可得f (bx)f (cx)．]
考向2 解简单的指数方程或不等式
[典例4] (2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式
f (x2)A．(－1，3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
√
A [函数f (x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3－x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f (x)＝2x－3－x是R上的增函数，由f (x2)【教用备选题】
已知实数a≠1，函数f (x)＝若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为________．
[当a<1时，41-a＝21，解得a＝；
当a>1时，2a－(1-a)＝4a-1无解，故a的值为．]
考向3 指数函数性质的综合应用
[典例5] (1)(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
√
(2)(2023全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是____________．
√
(1，＋∞)
(1)D (2)D (3)(1，＋∞) [(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝1，解得a2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．
(2)法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝
f (－x)，即＝，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋
e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2．故选D．
法二：f (x)＝＝，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2．故选D．
(3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对任意x∈R恒成立，
令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝＋11，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1．]
【教用备选题】
已知函数f (x)＝x3(a2x－2－x)是偶函数，则a＝________．
1 [法一(定义法)：因为f (x)＝x3(a2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以f (－x)＝f (x)对任意的x∈R恒成立，
所以(－x)3(a2－x－2x)＝x3(a2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1．
1
法二(取特殊值检验法)：因为f (x)＝x3(a2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．
法三(转化法)：由题意知f (x)＝x3(a2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a20－2-0＝0，解得a＝1，经检验，f (x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1．]
名师点评 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则( )
A．不等式<的解集是(－1，1)
B． x∈R，都有f (－x)＝f (x)
C．f (x)是R上的减函数
D．f (x)的值域为(－1，1)
√
√
(2)若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是____________．
(－∞，－1]
(1)AD (2)(－∞，－1] [(1)对于A，f (x)＝＝1－，由<，得－＜1－＜，即<<，
得<2x＋1<3，解得－1对于B，f (－x)＝1－＝1－≠f (x)，故B错误；
对于C，f (1)＝1－＝<＝1－＝f (2)，所以f (x)在R上单调递减不成立，故C错误；
对于D，由0<<2知－1<1－<1，即函数f (x)的值域为(－1，1)，故D正确．故选AD．
(2)∵y＝是减函数，且f (x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，
则a>0且＝2，解得a＝1，
因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，
故f (x)的单调递增区间是(－∞，－1]．]
【教用备选题】
设＜＜＜1，那么( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
√
C [∵＜＜＜1且y＝在R上是减函数，
∴0＜a＜b＜1．
当0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上是减函数，
∴ab＜aa．
当0＜a＜1时，幂函数y＝xa在[0，＋∞)上单调递增，
∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024广西河池期末)已知指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点，则＝( )
A．
C．2 D．4
13
课后作业(十二) 指数与指数函数
√
A [由指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点，得解得a＝b＝2，
所以＝＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2025广东广州模拟)函数f (x)＝的单调递增区间是
( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－2)
C．(4，＋∞) D．(1，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
A [函数f (x)＝的定义域为R，函数u＝x2－2x－8在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
而函数y＝在R上单调递减，因此函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f (x)＝的单调递增区间是(－∞，1)．
故选A．]
3．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，则函数y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为( )
A．16 B．15
C．12 D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
C [∵函数y＝ax在定义域上是单调函数，且y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，∴1＋a＝，解得a＝，∴函数y＝3a2x-1＝3＝12，∵函数y＝在定义域上为减函数，∴y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为x＝0对应的函数值12．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2024黑龙江大庆二模)已知a>0且a≠1，若函数f (x)＝为偶函数，则实数a＝( )
A．3 B．9
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B [已知a>0且a≠1，若函数f (x)＝为偶函数，则有f (－x) ＝
f (x)，
即＝，化简得＝3x，所以a＝9．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025河南郑州模拟)若a，b∈R，则“a>b”是“3a－3b>2b－2a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C [构造函数f (x)＝3x＋2x，则f (x)在R上单调递增，所以3a－3b>2b－2a 3a＋2a>3b＋2b f (a)>f (b) a>b．
故选C．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2023全国甲卷)已知函数f (x)＝．记a＝f ，b＝
f ，c＝f ，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A [函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f c>a．故选A．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下结论正确的是( )
A．ab>1 B．ln (a＋b)>0
C．2b－a<1 D．ba>1
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
ABC [根据函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象，
知函数y＝ax－b是增函数，所以a>1．
又x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0所以y＝ax是增函数，ab>a0＝1，A正确．
由a＋b>1，得ln (a＋b)>0，B正确．
由b－a<0，得2b－a<20＝1，C正确．
由y＝bx是减函数，得ba故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．若f (x)＝(x∈R)，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是( )
A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝0对称
D．f (x)的图象关于点(0，0)中心对称
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BC [因为y＝1－x2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，y＝ex在定义域R上单调递增，
所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故A错误，B正确；
又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)＝(x∈R)为偶函数，函数图象关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．故选BC．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．(2024北京房山一模)若对任意m，n∈R，函数f (x)满足f (m)f (n)＝f (m＋n)，且当m>n时，都有f (m)13
f (x)＝(答案不唯一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
f (x)＝(答案不唯一) [由题意，可取f (x)＝，
函数f (x)＝是减函数，满足m>n时，都有f (m)因为f (m)f (n)＝＝＝f (m＋n)，
所以函数f (x)＝满足题意．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f ＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f ＝________．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[因为f 的图象过原点，所以f ＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f 的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f ＝＋1，
所以f ＝－＋1＝．]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．已知函数f (x)＝bax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式＋－m0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解] (1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4．
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f (x)＝32x．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，＋－m0恒成立，
即m＋在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m，即m的取值范围是．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．已知定义域为R的函数f (x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f (1)＜0，判断函数f (x)的单调性，若f (m2－2)＋f (m)＞0，求实数m的取值范围．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解] (1)∵f (x)是定义域为R的奇函数，
∴f (0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2．
(2)由(1)知，f (x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，
∵f (1)＜0，即a－＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f (x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f (m2－2)＋f (m)＞0可化为f (m2－2)＞f (－m)，
∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是(－2，1)．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13．定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f (x)|M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)＝＋＋1．
(1)当a＝－1时，求函数f (x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由；
(2)若函数f (x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解] (1)设y＝f (x)＝＋＋1．
当a＝－1时，y＝f (x)＝－＋1(x＜0)，
令t＝，x＜0，则t＞1，
则y＝t2－t＋1＝＋，
∴y＞1，即函数f (x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f (x)|M成立，
∴函数f (x)在(－∞，0)上不是有界函数．
13
题号
1
3
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4
6
8
7
9
10
11
12
(2)由题意知，|f (x)|3对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3f (x)3对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝，x0，则t∈(0，1]．
∴－a－t对任意t∈(0，1]恒成立，
∴a．
设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1．
∴实数a的取值范围为[－5，1]．
13
谢 谢！课后作业(十二) 指数与指数函数
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2024广西河池期末)已知指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点，则＝( )
A．
C．2 D．4
2．(2025广东广州模拟)函数f (x)＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－2)
C．(4，＋∞) D．(1，＋∞)
3．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，则函数y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为( )
A．16 B．15
C．12 D．
4．(2024黑龙江大庆二模)已知a>0且a≠1，若函数f (x)＝为偶函数，则实数a＝( )
A．3 B．9
C． D．
5．(2025河南郑州模拟)若a，b∈R，则“a>b”是“3a－3b>2b－2a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2023全国甲卷)已知函数f (x)＝．记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
二、多项选择题
7．已知函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下结论正确的是( )
A．ab>1 B．ln (a＋b)>0
C．2b－a<1 D．ba>1
8．若f (x)＝(x∈R)，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是( )
A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f (x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝0对称
D．f (x)的图象关于点(0，0)中心对称
三、填空题
9．(2024北京房山一模)若对任意m，n∈R，函数f (x)满足f (m)f (n)＝f (m＋n)，且当m>n时，都有f (m)10．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f ＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f ＝________．
四、解答题
11．已知函数f (x)＝bax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若不等式＋－m0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
12．已知定义域为R的函数f (x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f (1)＜0，判断函数f (x)的单调性，若f (m2－2)＋f (m)＞0，求实数m的取值范围．
13．定义在D上的函数f (x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f (x)|M成立，则称f (x)是D上的有界函数，其中M称为函数f (x)的上界，已知函数f (x)＝＋＋1．
(1)当a＝－1时，求函数f (x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x)在(－∞，0)上是不是有界函数，请说明理由；
(2)若函数f (x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
课后作业(十二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [由指数函数f (x)＝(a－1)bx的图象经过点，得解得a＝b＝2，
所以＝＝．故选A．]
2．A [函数f (x)＝的定义域为R，函数u＝x2－2x－8在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
而函数y＝在R上单调递减，因此函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f (x)＝的单调递增区间是(－∞，1)．
故选A．]
3．C [∵函数y＝ax在定义域上是单调函数，且y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为，∴1＋a＝，解得a＝，∴函数y＝3a2x-1＝3＝12，∵函数y＝在定义域上为减函数，∴y＝3a2x-1在[0，1]上的最大值为x＝0对应的函数值12．故选C．]
4．B [已知a>0且a≠1，若函数f (x)＝为偶函数，则有f (－x) ＝f (x)，
即＝，化简得＝3x，所以a＝9．故选B．]
5．C [构造函数f (x)＝3x＋2x，则f (x)在R上单调递增，所以3a－3b>2b－2a 3a＋2a>3b＋2b f (a)>f (b) a>b．
故选C．]
6．A [函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f c>a．故选A．]
7．ABC [根据函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象，
知函数y＝ax－b是增函数，所以a>1．
又x＝0时，y＝1－b，所以0<1－b<1，解得0所以y＝ax是增函数，ab>a0＝1，A正确．
由a＋b>1，得ln (a＋b)>0，B正确．
由b－a<0，得2b－a<20＝1，C正确．
由y＝bx是减函数，得ba故选ABC．]
8．BC [因为y＝1－x2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，y＝ex在定义域R上单调递增，
所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故A错误，B正确；
又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)＝(x∈R)为偶函数，函数图象关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，故C正确，D错误．故选BC．]
9．f (x)＝(答案不唯一) [由题意，可取f (x)＝，
函数f (x)＝是减函数，满足m>n时，都有f (m)因为f (m)f (n)＝＝＝f (m＋n)，
所以函数f (x)＝满足题意．]
10． [因为f 的图象过原点，所以f ＝a＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f 的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f ＝＋1，
所以f ＝－＋1＝．]
11．[解] (1)因为f (x)的图象过点A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4．
又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f (x)＝32x．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，
则当x∈(－∞，1]时，＋－m0恒成立，
即m＋在(－∞，1]上恒成立．
又因为y＝与y＝在(－∞，1]上均单调递减，所以y＝＋在(－∞，1]上也单调递减，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m，即m的取值范围是．
12．[解] (1)∵f (x)是定义域为R的奇函数，
∴f (0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，所以k＝2．
(2)由(1)知，f (x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，
∵f (1)＜0，即a－＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，
故由单调性的性质可判断f (x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f (m2－2)＋f (m)＞0可化为f (m2－2)＞f (－m)，
∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，
∴实数m的取值范围是(－2，1)．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．[解] (1)设y＝f (x)＝＋＋1．
当a＝－1时，y＝f (x)＝－＋1(x＜0)，
令t＝，x＜0，则t＞1，
则y＝t2－t＋1＝＋，
∴y＞1，即函数f (x)在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)，
∴不存在常数M＞0，使得|f (x)|M成立，
∴函数f (x)在(－∞，0)上不是有界函数．
(2)由题意知，|f (x)|3对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
即－3f (x)3对任意x∈[0，＋∞)恒成立，
令t＝，x0，则t∈(0，1]．
∴－a－t对任意t∈(0，1]恒成立，
∴a．
设h(t)＝－，p(t)＝－t，t∈(0，1]，
∵h(t)在(0，1]上单调递增，p(t)在(0，1]上单调递减，
∴h(t)在(0，1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0，1]上的最小值为p(1)＝1．
∴实数a的取值范围为[－5，1]．
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