第五章 平行四边形 综合素质评价（学生版+答案版）2025-2026学年鲁教（五四）八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第五章 平行四边形 综合素质评价（学生版+答案版）2025-2026学年鲁教（五四）八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 214.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-20 15:55:03 | ||
图片预览
文档简介
第五章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．母题教材P122习题T1 在中， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
（第2题）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3．如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则（ ）
（第3题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4．如图，在四边形中， ， ， ，是其中的一个外角，则的度数为（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
5．母题教材P147习题T1 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则此多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6．如图，在四边形中，点，，，分别是线段，，，的中点，则四边形的周长（ ）
（第6题）
A. 只与，的长有关
B. 只与，的长有关
C. 只与，的长有关
D. 与四边形各边的长都有关
7．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
（第8题）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为多少时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
（第9题）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 2或6
10．[［2025·青岛模拟］]如图，平行四边形的对角线,相交于点， ,,是的中点，连接,.下列结论： ；平分；；.其中结论正确的序号是（ ）
（第10题）
A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成7个三角形，那么这个多边形是边形.
12．如图，若直线，，在直线上，，在直线上，，，，的面积为6，则直线与之间的距离为_ _ _ _ .
（第12题）
13．如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，请你只添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得四边形为平行四边形.
（第13题）
14．教材P142习题 如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，若 ， ，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为.
（第15题）
16．如图，点，为定点，直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值，其中会随着点的移动而发生变化的是（填序号）.
（第16题）
①线段 的长；的周长；的面积；④直线 与 之间的距离；的大小.
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，在中， ，在边上截取，连接，过点作于点，是边的中点，连接.若，，求的长度.
18．(8分)已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题.
（1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
（2） 设A的边数为.
① 若，求的值；
② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
19．（10分）如图，在中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 猜想与的数量关系，并说明理由.
20．（10分）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，的周长是10，求的周长.
为象，，， ， ， ，已知.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求椅子最高点到地面的距离.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于,两点，动点在线段上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
（1） 求证：.
（2） 求点的坐标.
（3） 若点在轴上，点在直线上，是否存在以,,,为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
在 ,,将绕点逆时针旋转得到.
（1） 如图①，将绕点逆时针旋转 得到，连接，求的大小；
（2） 如图②，交于点，求证：点是的中点；
（3） 在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为_ _ _ _ .
第五章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．母题教材P122习题T1 在中， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
（第2题）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
3．如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则（ ）
（第3题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
4．如图，在四边形中， ， ， ，是其中的一个外角，则的度数为（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
【答案】C
5．母题教材P147习题T1 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则此多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】A
6．如图，在四边形中，点，，，分别是线段，，，的中点，则四边形的周长（ ）
（第6题）
A. 只与，的长有关
B. 只与，的长有关
C. 只与，的长有关
D. 与四边形各边的长都有关
【答案】B
7．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
【答案】C
【点拨】如图所示,过点，分别作轴的垂线于点，.
四边形是平行四边形，
，.
轴，轴， .
在与中，，.
，.又，
点的横坐标的值为7.
， 点的纵坐标的值等于点的纵坐标的值，即为3.
点的坐标为.
8．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
（第8题）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【点拨】 四边形是平行四边形，，，，
.
平分，，
，，
.
是的中点，是的中点，是的中位线，
.
9．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为多少时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
（第9题）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 2或6
【答案】D
【点拨】①当点在点的左侧时，根据题意，得，，
则.， 当时，四边形是平行四边形，即，解得；
②当点在点的右侧时，根据题意，得，，
则.， 当时，四边形是平行四边形，即，解得.
综上可得，当或6时，以,,,为顶点的四边形是平行四边形．故选．
10．[［2025·青岛模拟］]如图，平行四边形的对角线,相交于点， ,,是的中点，连接,.下列结论： ；平分；；.其中结论正确的序号是（ ）
（第10题）
A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】C
【点拨】是的中点，
.又，
.又 ，是等边三角形，
，，
， ．
四边形是平行四边形，
，，
， ，.
平分．则①，②正确；
是的中点，是的中点，
是的中位线，，
．则③正确；
是的中点，．
是的中点，，．
由平行四边形的性质得，
，即．则④不正确．
所以正确的有①②③.故选.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成7个三角形，那么这个多边形是边形.
【答案】九
12．如图，若直线，，在直线上，，在直线上，，，，的面积为6，则直线与之间的距离为_ _ _ _ .
（第12题）
【答案】4
13．如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，请你只添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得四边形为平行四边形.
（第13题）
【答案】（答案不唯一）
14．教材P142习题 如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，若 ， ，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
【答案】
【点拨】，，分别是，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
， ，
.
，，，
.
15．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为.
（第15题）
【答案】16
【点拨】 四边形是平行四边形，
，，.
由折叠的性质得，，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的周长.
16．如图，点，为定点，直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值，其中会随着点的移动而发生变化的是（填序号）.
（第16题）
①线段 的长；的周长；的面积；④直线 与 之间的距离；的大小.
【答案】②⑤
【点拨】 直线， 随着点的移动，和的长会发生变化，的周长会发生变化，即②会发生变化；的大小也会发生变化，即⑤会发生变化； 点，分别为，的中点，为的中位线，，.
直线与之间的距离不发生变化，即④不发生变化； 点，为定点，的长固定，则线段的长不发生变化，即①不发生变化；设直线与之间的距离为，则不变.，的面积不发生变化，即③不发生变化；故会随着点的移动而发生变化的是②⑤.
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，在中， ，在边上截取，连接，过点作于点，是边的中点，连接.若，，求的长度.
【解】 在中， ，，，
.
，，,，即为的中点.
又是边的中点,为的中位线,
.
18．(8分)已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题.
（1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
（2） 设A的边数为.
① 若，求的值；
② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
【答案】
（1） 【解】嘉嘉的说法不正确.
理由：多边形的外角和始终为 ，与多边形的边数无关.
（2） ① 由题意，得，
解得，即的值为2.
② ，
整理，得，
解得.
无论取何值，的值始终不变.
19．（10分）如图，在中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 猜想与的数量关系，并说明理由.
【答案】（1） 【证明】 四边形是平行四边形，,即.又， 四边形是平行四边形..
（2） 【解】.理由:，.
，.又,
.
，即.
20．（10分）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，的周长是10，求的周长.
【答案】
（1） 【证明】 四边形是平行四边形，
，，.
在和中，
，.
（2） 【解】 四边形是平行四边形，，，.
，的周长是10，
，
的周长.
21．（12分）如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得，，， ， ， ，已知.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求椅子最高点到地面的距离.
【答案】
（1） 【证明】， ， ，
， .
..
四边形是平行四边形.
（2） 【解】 四边形是平行四边形，.延长交于点，由（1）可知，.又，
四边形是平行四边形.
，，
则，.
，，
即椅子最高点到地面的距离为.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于,两点，动点在线段上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
（1） 求证：.
（2） 求点的坐标.
（3） 若点在轴上，点在直线上，是否存在以,,,为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1） 【证明】轴，
，
.
将线段绕点顺时针旋转 得到线段，
， ，
，
.
在和中，
.
（2） 【解】当时，，.
，，.
设，则，
，
，解得，
，
.
（3） 【解】存在，点的坐标为或或.
【解析】
（3） 【点拨】设.①如图①，当为边，在第二象限时， 四边形是平行四边形，，.，， 点向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点， 点向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点.，解得，，.②如图②，当为边，在第一象限时，同理可得，点向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点，，解得，，.③如图③，当为对角线时，同理可得，点向右平移个单位，再向上平移可得到点， 点向右平移个单位，再向上平移可得到点，，解得...综上所述，点的坐标为或或．
23．（12分）在中， , ,,将绕点逆时针旋转得到.
（1） 如图①，将绕点逆时针旋转 得到，连接，求的大小；
（2） 如图②，交于点，求证：点是的中点；
（3） 在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为_ _ _ _ .
【答案】
（1） 【解】 ， ，
.
由旋转的性质，得，， ，
，
.
（2） 【证明】如图①，过点作,交的延长线于点，
，.
由旋转的性质，得 ，，，
， ， .
，，
.
，
，，
点是的中点.
（3） 2
【解析】
（3） 【点拨】在中，， ，，.如图②，取的中点，连接，，又 ，.为的中点，为的中点，为的中位线，.（仅当点，，三点共线时相等），， 线段长度的最大值为2.
第13页/共13页
一、选择题（每题3分，共30分）
1．母题教材P122习题T1 在中， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
（第2题）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3．如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则（ ）
（第3题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4．如图，在四边形中， ， ， ，是其中的一个外角，则的度数为（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
5．母题教材P147习题T1 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则此多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6．如图，在四边形中，点，，，分别是线段，，，的中点，则四边形的周长（ ）
（第6题）
A. 只与，的长有关
B. 只与，的长有关
C. 只与，的长有关
D. 与四边形各边的长都有关
7．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
（第8题）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为多少时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
（第9题）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 2或6
10．[［2025·青岛模拟］]如图，平行四边形的对角线,相交于点， ,,是的中点，连接,.下列结论： ；平分；；.其中结论正确的序号是（ ）
（第10题）
A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成7个三角形，那么这个多边形是边形.
12．如图，若直线，，在直线上，，在直线上，，，，的面积为6，则直线与之间的距离为_ _ _ _ .
（第12题）
13．如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，请你只添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得四边形为平行四边形.
（第13题）
14．教材P142习题 如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，若 ， ，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为.
（第15题）
16．如图，点，为定点，直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值，其中会随着点的移动而发生变化的是（填序号）.
（第16题）
①线段 的长；的周长；的面积；④直线 与 之间的距离；的大小.
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，在中， ，在边上截取，连接，过点作于点，是边的中点，连接.若，，求的长度.
18．(8分)已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题.
（1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
（2） 设A的边数为.
① 若，求的值；
② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
19．（10分）如图，在中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 猜想与的数量关系，并说明理由.
20．（10分）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，的周长是10，求的周长.
为象，，， ， ， ，已知.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求椅子最高点到地面的距离.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于,两点，动点在线段上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
（1） 求证：.
（2） 求点的坐标.
（3） 若点在轴上，点在直线上，是否存在以,,,为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
在 ,,将绕点逆时针旋转得到.
（1） 如图①，将绕点逆时针旋转 得到，连接，求的大小；
（2） 如图②，交于点，求证：点是的中点；
（3） 在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为_ _ _ _ .
第五章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．母题教材P122习题T1 在中， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
（第2题）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】D
3．如图，在中，是的平分线交于点，且，的周长是26，则（ ）
（第3题）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
4．如图，在四边形中， ， ， ，是其中的一个外角，则的度数为（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
【答案】C
5．母题教材P147习题T1 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则此多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】A
6．如图，在四边形中，点，，，分别是线段，，，的中点，则四边形的周长（ ）
（第6题）
A. 只与，的长有关
B. 只与，的长有关
C. 只与，的长有关
D. 与四边形各边的长都有关
【答案】B
7．如图所示，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
【答案】C
【点拨】如图所示,过点，分别作轴的垂线于点，.
四边形是平行四边形，
，.
轴，轴， .
在与中，，.
，.又，
点的横坐标的值为7.
， 点的纵坐标的值等于点的纵坐标的值，即为3.
点的坐标为.
8．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
（第8题）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【点拨】 四边形是平行四边形，，，，
.
平分，，
，，
.
是的中点，是的中点，是的中位线，
.
9．在等边三角形中，，射线，点从点出发，沿射线以的速度运动，同时点从点出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为，当为多少时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
（第9题）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 2或6
【答案】D
【点拨】①当点在点的左侧时，根据题意，得，，
则.， 当时，四边形是平行四边形，即，解得；
②当点在点的右侧时，根据题意，得，，
则.， 当时，四边形是平行四边形，即，解得.
综上可得，当或6时，以,,,为顶点的四边形是平行四边形．故选．
10．[［2025·青岛模拟］]如图，平行四边形的对角线,相交于点， ,,是的中点，连接,.下列结论： ；平分；；.其中结论正确的序号是（ ）
（第10题）
A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④
【答案】C
【点拨】是的中点，
.又，
.又 ，是等边三角形，
，，
， ．
四边形是平行四边形，
，，
， ，.
平分．则①，②正确；
是的中点，是的中点，
是的中位线，，
．则③正确；
是的中点，．
是的中点，，．
由平行四边形的性质得，
，即．则④不正确．
所以正确的有①②③.故选.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成7个三角形，那么这个多边形是边形.
【答案】九
12．如图，若直线，，在直线上，，在直线上，，，，的面积为6，则直线与之间的距离为_ _ _ _ .
（第12题）
【答案】4
13．如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，请你只添加一个条件：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，使得四边形为平行四边形.
（第13题）
【答案】（答案不唯一）
14．教材P142习题 如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，若 ， ，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
【答案】
【点拨】，，分别是，，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
， ，
.
，，，
.
15．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为.
（第15题）
【答案】16
【点拨】 四边形是平行四边形，
，，.
由折叠的性质得，，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的周长.
16．如图，点，为定点，直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值，其中会随着点的移动而发生变化的是（填序号）.
（第16题）
①线段 的长；的周长；的面积；④直线 与 之间的距离；的大小.
【答案】②⑤
【点拨】 直线， 随着点的移动，和的长会发生变化，的周长会发生变化，即②会发生变化；的大小也会发生变化，即⑤会发生变化； 点，分别为，的中点，为的中位线，，.
直线与之间的距离不发生变化，即④不发生变化； 点，为定点，的长固定，则线段的长不发生变化，即①不发生变化；设直线与之间的距离为，则不变.，的面积不发生变化，即③不发生变化；故会随着点的移动而发生变化的是②⑤.
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，在中， ，在边上截取，连接，过点作于点，是边的中点，连接.若，，求的长度.
【解】 在中， ，，，
.
，，,，即为的中点.
又是边的中点,为的中位线,
.
18．(8分)已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题.
（1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确,并说明理由.
（2） 设A的边数为.
① 若，求的值；
② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
【答案】
（1） 【解】嘉嘉的说法不正确.
理由：多边形的外角和始终为 ，与多边形的边数无关.
（2） ① 由题意，得，
解得，即的值为2.
② ，
整理，得，
解得.
无论取何值，的值始终不变.
19．（10分）如图，在中，点，分别在，的延长线上，直线与对角线平行，交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 猜想与的数量关系，并说明理由.
【答案】（1） 【证明】 四边形是平行四边形，,即.又， 四边形是平行四边形..
（2） 【解】.理由:，.
，.又,
.
，即.
20．（10分）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，的周长是10，求的周长.
【答案】
（1） 【证明】 四边形是平行四边形，
，，.
在和中，
，.
（2） 【解】 四边形是平行四边形，，，.
，的周长是10，
，
的周长.
21．（12分）如图①为便携式折叠椅，将其抽象成几何图形，如图②所示，测得，，， ， ， ，已知.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 求椅子最高点到地面的距离.
【答案】
（1） 【证明】， ， ，
， .
..
四边形是平行四边形.
（2） 【解】 四边形是平行四边形，.延长交于点，由（1）可知，.又，
四边形是平行四边形.
，，
则，.
，，
即椅子最高点到地面的距离为.
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于,两点，动点在线段上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．
（1） 求证：.
（2） 求点的坐标.
（3） 若点在轴上，点在直线上，是否存在以,,,为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1） 【证明】轴，
，
.
将线段绕点顺时针旋转 得到线段，
， ，
，
.
在和中，
.
（2） 【解】当时，，.
，，.
设，则，
，
，解得，
，
.
（3） 【解】存在，点的坐标为或或.
【解析】
（3） 【点拨】设.①如图①，当为边，在第二象限时， 四边形是平行四边形，，.，， 点向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点， 点向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点.，解得，，.②如图②，当为边，在第一象限时，同理可得，点向右平移4个单位，再向上平移个单位得到点，，解得，，.③如图③，当为对角线时，同理可得，点向右平移个单位，再向上平移可得到点， 点向右平移个单位，再向上平移可得到点，，解得...综上所述，点的坐标为或或．
23．（12分）在中， , ,,将绕点逆时针旋转得到.
（1） 如图①，将绕点逆时针旋转 得到，连接，求的大小；
（2） 如图②，交于点，求证：点是的中点；
（3） 在绕点旋转一周的过程中，线段长度的最大值为_ _ _ _ .
【答案】
（1） 【解】 ， ，
.
由旋转的性质，得，， ，
，
.
（2） 【证明】如图①，过点作,交的延长线于点，
，.
由旋转的性质，得 ，，，
， ， .
，，
.
，
，，
点是的中点.
（3） 2
【解析】
（3） 【点拨】在中，， ，，.如图②，取的中点，连接，，又 ，.为的中点，为的中点，为的中位线，.（仅当点，，三点共线时相等），， 线段长度的最大值为2.
第13页/共13页