2024-2025学年北师大版九年级数学下册 2.4课时2 销售利润问题 课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北师大版九年级数学下册 2.4课时2 销售利润问题 课件(共29张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 572.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-20 15:59:26 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
课时2 销售利润问题
1.用二次函数表达式表示实际问题
2.用二次函数求实际应用中的最值问题. （重点、难点）
学习目标
新课导入
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.
新课讲解
根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系
列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
新课讲解
例
如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形
MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开
始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点
N重合．问题：
(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之
间的函数关系式；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？
新课讲解
分析：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角
三角形，从而根据MA的长度可得出y与x之间的函
数关系式；(2)将x＝1代入可得出重叠部分的面积．
解：(1)由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右
移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，
所以y＝ x2(0＜x≤10)；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2.
新课讲解
服装厂生产某品牌的T恤衫成本
是每件10元.根据市场调查，以单价
13元批发给经销商，经销商愿意经销
5 000件，并且表示单价每降价0.1元，
愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利
最多？
新课讲解
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运
用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利
润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二
次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
新课讲解
例
如图所示，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
（1）求S 关于x 的函数表达式.
（2）围成的花圃面积最大是多少？请说明围法.
新课讲解
解：
课堂小结
利润问题的基本关系式：
总利润＝单件利润×销售总量．
若销售单价每提高m元，销售量相应减少n件，
设提高x元，则现销售量＝原销售量－
当堂小练
1.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可 售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提 高1元，销售量相应减少20件. 销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少
当堂小练
由已知得，如果以单价20元销售，那么半月内可售出600件．
设销售单价提高x元，则销售量相应减少20x件．
设半月内获得的利润为y元，
则y＝x(600－20x)＝－20(x2－30x)＝－20(x－15)2＋4 500.
∵x≥0，且600－20x＞0，
∴0≤x＜30.
∴当x＝15时，y最大＝4 500.
即销售单价为35元时，半月内获得的利润最大．
解：
当堂小练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
C
拓展与延伸
某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，
最大利润是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每
星期至少要销售该款童装多少件？
拓展与延伸
(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.
(2)设每星期的销售利润为W元，
则W＝(x－40)(－30x＋2 100)
＝－30(x－55)2＋6 750.
∴当x＝55时，W取最大值为6 750.
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，
最大利润为6 750元．
解：
拓展与延伸
(3)由题意得(x－40)(－30x＋2 100)≥6 480，
解得52≤x≤58.
当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)，
当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)，
∴该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，
每星期至少要销售该款童装360件．
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．
(1)市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
；
(2)(2024合肥一模)市场调查反映：如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
．
y＝(60－x)(300＋20x)
y＝(60＋x)(300－10x)
课后练习
2．(人教9上P51改编、北师9下P31改编)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．
(1)写出这段时间内所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，这段时间内的销售利润最大？
解：(1)y＝(x－20)(30－x)，
即y＝－(x－25)2＋25(20≤x≤30)．
(2)25元．
3．【例1】(2024安徽一模)某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．当每千克降价多少元时，加工厂每天的利润最大？最大利润为多少元？
解：设每千克降价x元，加工厂每天的利润为y元，
则y＝(500＋50x)(48－x－30)(0＜x＜18)，
整理得y＝－50(x－4)2＋9 800，
∵－50＜0，∴当x＝4时，y有最大值9 800．
答：当每千克降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9 800元．
4．端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销
售利润最大？最大日销售利润是多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
把x＝10，y＝280和x＝14，y＝120分别代入，
得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－40x＋680．
(2)设这种粽子的日销售利润为w元，
则w＝(x－8)(－40x＋680)
＝－40x2＋1 000x－5 440＝－40(x－12.5)2＋810，
∵－40＜0，∴当x＝12.5时，w有最大值，最大值为810．
答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
5．某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x(元)，日销量为y(件)，日销售利润为W(元)．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求日销售利润W与销售单价x的关系式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润．
解：(1)y＝200－10(x－8)，即y＝－10x＋280(6≤x≤12)．
(2)W＝(x－6)(－10x＋280)＝－10(x－17)2＋1 210，
∵6≤x≤12，且当x＜17时，W随x的增大而增大，
∴当x＝12时，日销售利润最大，最大利润为960元．
★6． 0.40 (2023湖北)某商店的某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天内的日销售价与日销售量的相关信息如下表(1≤x≤60，x为整数)．设该商品的日销售利润为w元．
时间：第x(天) 1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价(元/件) 0.5x＋35 50
日销售量(件) 124－2x
(1)直接写出w与x的函数关系式；
(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
解：(1)w＝
(2)当1≤x≤30时，
w＝－x2＋52x＋620＝－(x－26)2＋1 296，
∵－1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1 296；
当31≤x≤60时，w＝－40x＋2 480，
∵－40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为－40×31＋2 480＝1 240，
∵1 296＞1 240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1 296元．
请完成课本本节对应习题
布置作业
感谢欣赏
第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
课时2 销售利润问题
1.用二次函数表达式表示实际问题
2.用二次函数求实际应用中的最值问题. （重点、难点）
学习目标
新课导入
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.
新课讲解
根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系
列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
新课讲解
例
如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形
MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开
始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点
N重合．问题：
(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之
间的函数关系式；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？
新课讲解
分析：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角
三角形，从而根据MA的长度可得出y与x之间的函
数关系式；(2)将x＝1代入可得出重叠部分的面积．
解：(1)由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右
移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，
所以y＝ x2(0＜x≤10)；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2.
新课讲解
服装厂生产某品牌的T恤衫成本
是每件10元.根据市场调查，以单价
13元批发给经销商，经销商愿意经销
5 000件，并且表示单价每降价0.1元，
愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利
最多？
新课讲解
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运
用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利
润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二
次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
新课讲解
例
如图所示，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 设花圃的宽AB为x m，面积为S m2.
（1）求S 关于x 的函数表达式.
（2）围成的花圃面积最大是多少？请说明围法.
新课讲解
解：
课堂小结
利润问题的基本关系式：
总利润＝单件利润×销售总量．
若销售单价每提高m元，销售量相应减少n件，
设提高x元，则现销售量＝原销售量－
当堂小练
1.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可 售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提 高1元，销售量相应减少20件. 销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少
当堂小练
由已知得，如果以单价20元销售，那么半月内可售出600件．
设销售单价提高x元，则销售量相应减少20x件．
设半月内获得的利润为y元，
则y＝x(600－20x)＝－20(x2－30x)＝－20(x－15)2＋4 500.
∵x≥0，且600－20x＞0，
∴0≤x＜30.
∴当x＝15时，y最大＝4 500.
即销售单价为35元时，半月内获得的利润最大．
解：
当堂小练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
C
拓展与延伸
某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，
最大利润是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每
星期至少要销售该款童装多少件？
拓展与延伸
(1)y＝300＋30(60－x)＝－30x＋2 100.
(2)设每星期的销售利润为W元，
则W＝(x－40)(－30x＋2 100)
＝－30(x－55)2＋6 750.
∴当x＝55时，W取最大值为6 750.
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，
最大利润为6 750元．
解：
拓展与延伸
(3)由题意得(x－40)(－30x＋2 100)≥6 480，
解得52≤x≤58.
当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)，
当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)，
∴该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，
每星期至少要销售该款童装360件．
1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．
(1)市场调查反映：如果调整商品售价，每涨价1元，每星期要少卖出10件．设每件商品涨价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
；
(2)(2024合肥一模)市场调查反映：如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
．
y＝(60－x)(300＋20x)
y＝(60＋x)(300－10x)
课后练习
2．(人教9上P51改编、北师9下P31改编)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．
(1)写出这段时间内所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)销售单价为多少元时，这段时间内的销售利润最大？
解：(1)y＝(x－20)(30－x)，
即y＝－(x－25)2＋25(20≤x≤30)．
(2)25元．
3．【例1】(2024安徽一模)某加工厂加工某海产品的成本为30元/千克．根据市场调查发现，该海产品批发价定为48元/千克的时候，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，加工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．当每千克降价多少元时，加工厂每天的利润最大？最大利润为多少元？
解：设每千克降价x元，加工厂每天的利润为y元，
则y＝(500＋50x)(48－x－30)(0＜x＜18)，
整理得y＝－50(x－4)2＋9 800，
∵－50＜0，∴当x＝4时，y有最大值9 800．
答：当每千克降价4元时，加工厂每天的利润最大，最大利润为9 800元．
4．端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销
售利润最大？最大日销售利润是多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
把x＝10，y＝280和x＝14，y＝120分别代入，
得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－40x＋680．
(2)设这种粽子的日销售利润为w元，
则w＝(x－8)(－40x＋680)
＝－40x2＋1 000x－5 440＝－40(x－12.5)2＋810，
∵－40＜0，∴当x＝12.5时，w有最大值，最大值为810．
答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
5．某旅游纪念品每件进价为6元，当销售单价为8元时，每天可售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x(元)，日销量为y(件)，日销售利润为W(元)．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求日销售利润W与销售单价x的关系式；当x为何值时，日销售利润最大？求最大利润．
解：(1)y＝200－10(x－8)，即y＝－10x＋280(6≤x≤12)．
(2)W＝(x－6)(－10x＋280)＝－10(x－17)2＋1 210，
∵6≤x≤12，且当x＜17时，W随x的增大而增大，
∴当x＝12时，日销售利润最大，最大利润为960元．
★6． 0.40 (2023湖北)某商店的某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天内的日销售价与日销售量的相关信息如下表(1≤x≤60，x为整数)．设该商品的日销售利润为w元．
时间：第x(天) 1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价(元/件) 0.5x＋35 50
日销售量(件) 124－2x
(1)直接写出w与x的函数关系式；
(2)该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
解：(1)w＝
(2)当1≤x≤30时，
w＝－x2＋52x＋620＝－(x－26)2＋1 296，
∵－1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1 296；
当31≤x≤60时，w＝－40x＋2 480，
∵－40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为－40×31＋2 480＝1 240，
∵1 296＞1 240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1 296元．
请完成课本本节对应习题
布置作业
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