2024-2025学年北师大版九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 课件 (共32张PPT)

(共32张PPT)
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系
2.掌握二次函数图象与x轴的交点个数问题. （重点、难点）
学习目标
新课导入
一元二次方程根的判别式：
式子b -4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通
常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
新课讲解
1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什
么关系
2.你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx
+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系
新课讲解
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：
h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m 若能，需要多少时间
（2）球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间
新课讲解
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t
－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得
到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，
则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，
说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）当h=15时，20t-5t2=15，
t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
新课讲解
t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5，
t2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.
故球的飞行高度达不到20.5m.
新课讲解
（4）当h=0时，20t-5t2=0，
t2-4t=0，
t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
新课讲解
从以上可以看出：
已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，
就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x
的值.就是求方程3=-x2+4x的解.
例如,解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2
-4x+3的值为0,求自变量x的值.
新课讲解
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
新课讲解
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
新课讲解
（1）2个，1个，0个.
（2）2个根，2个相等的根，无实数根.
（3）
二次函数 y=x2+x-2 y=x2-6x+9 y=x2-x+1
与x轴交点坐标 (-2,0),(1,0) (3,0) 无交点
相应方程的根 x1=-2,x2=1 x1=x2=3 无实根
解：
新课讲解
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公
共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,
函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+
c=0的一个根.
新课讲解
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
新课讲解
例
如果函数y=kx2-kx+3x+1 的图象与x 轴有且只有一个交点，那么交点坐标是 .


分析：
课堂小结
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x轴交点情况
y=0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”
当堂小练
观察图象(如图)填空：
当堂小练
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有______个交
点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式
Δ________0；
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有_____个交
点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式
Δ_______0；
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴_______公共点，
则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ_____0.
两
＞
一
＝
没有
＜
拓展与延伸
若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
分析：混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错
A
1.(1)直线y＝2x－6与x轴的交点坐标为　 　，与y轴的交点坐标为　 　；

(2)抛物线y＝x2－5x＋6与x轴的交点坐标为　 　.
　(2，0)，(3，0)　
　(0，－6)　
　(3，0)　
课后练习
2.(北师9下P51改编、人教9上P44改编)
(1)方程x2－2x－3＝0有　 　的
实数根，抛物线y＝x2－2x－3与x轴有　 　个交点，分别是(　 　，　 　)和(　 　，　 　)；
(2)方程x2－4x＋4＝0有　 　的实
数根，抛物线y＝x2－4x＋4与x轴有　 　个交点，与y轴的交点坐标是　 　；
(3)方程x2－2x＋4＝0　 　实数根，
抛物线y＝x2－2x＋4与x轴有　 　个交点，与y轴的交点坐标
是　 　.
　(0，4)　
　0　
　没有　
　(0，4)　
　1　
　两个相等　
　0　
　3　
　0　
　－1　
　2　
　两个不相等　
3.如图，抛物线的对称轴是直线x＝3，与x轴交于A，B两点，若点B的坐标是(5，0)，则点A的坐标是　 　.
　(1，0)　
小结：抛物线与x轴的交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程的根.
4.【例1】(北师9下P52改编、人教9上P45改编)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－2，0)，(3，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为　 　.
　x1＝－2，x2＝3　
5.【例2】若抛物线y＝x2＋6x＋m－1与x轴有2个交点，求m的取值范围.
解：令y＝0，即x2＋6x＋m－1＝0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴一元二次方程x2＋6x＋m－1＝0有两个不相等的实数根.
∴Δ＝b2－4ac＝62－4×1×(m－1)＞0，解得m＜10.
即m的取值范围为m＜10.
小结：熟记抛物线与x轴的交点个数的判别规律，问题迎刃而解.
小结：掌握二次函数和一元二次方程之间的联系.
6.【例3】已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 024的值为( )
A.2 025 B.2 024 C.2 023 D.2 022
A
7.【例4】(人教9上P47改编)已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于(－1，0)，(－5，0)，则：
(1)抛物线的对称轴是　 　；
(2)抛物线的表达式是　 ；
(3)抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝2x＋1的交点坐标是
　 　.
　(－2，－3)　
　直线x＝－3　
y＝x2＋6x＋5　
8.(北师9下P59改编、人教9上P45改编)若方程ax2＋bx＝0的根为x1＝0，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx与x轴的交点为
　 　.
　(0，0)，(2，0)　
9.(北师9下P53改编)若抛物线y＝x2＋4x＋m与x轴有交点，求m的取值范围.
解：令y＝0，得x2＋4x＋m＝0.
∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程x2＋4x＋m＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×m≥0，解得m≤4.
即m的取值范围为m≤4.
10.(北师9下P53改编)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象最低点的坐标为(1，－1)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根为　 　.
　x1＝x2＝1　
★11. 0.55 已知抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴的一个交点为(－1，0)，对称轴是直线x＝1.
(1)抛物线与x轴的另一个交点坐标为　 　；
(2)当　 　时，y随x的增大而减小；
(3)直线y＝nx＋m与抛物线的交点的个数为　 　.
　2　
　x＞1　
　(3，0)　
请完成课本本节对应习题
布置作业
谢谢大家