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1．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
【分析】①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP＝90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB＝135°所以∠EFB＝45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF，故②是错误的；
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；
④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPDPD×BE，所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2，由此即可判定．
【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，，
∴△APD≌△AEB（SAS）；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP＝∠APE＝45°，从而∠APD＝∠AEB＝135°，
所以∠BEP＝90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE，
在△BEP中，PB，PE，由勾股定理得：BE，
∵∠PAE＝∠PEB＝∠EFB＝90°，AE＝AP，
∴∠AEP＝45°，
∴∠BEF＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF＝BF，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP＝∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPDPD×BE，
所以S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝2，
所以S正方形ABCD＝2S△ABD＝4所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故选：C．
2．如图，等边△ABC的边长为1，将边AC，BA，CB分别绕点A，B，C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AC1，BA1，CB1，连接A1B1，A1C1，B1C1.对△A1B1C1给出下面三个结论：
①对任意α都有△A1B1C1是等边三角形；
②存在唯一一点到点A1，B1，C1的距离相等；
③当α＝120°时，△A1B1C1的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先证△BAA1≌△CBB1（SAS），再证△AA1C1≌△BB1A1≌△CC1B1，据此一一判断选项即可．
【解答】解：连接AA1、BB1、CC1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴BA1＝AC1，
在△BAA1和△CBB1中，
，
∴△BAA1≌△CBB1（SAS），
∴AA1＝BB1，∠BAA1＝∠BCB1，
同理可得AA1＝BB1＝CC1，∠BAA1＝∠BCB1＝∠CAC1，
∴∠A1AC1＝∠B1BA1，
在△AA1C1和△BB1A1中，
，
∴△AA1C1≌△BB1A1（SAS），
同理可证△AA1C1≌△BB1A1≌△CC1B1，
∴A1B1＝A1C1＝B1C1，
故△A1B1C1是等边三角形，故①对；
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴△ABC外心O也为△A1B1C1外心，
∴存在一点到点A，C1的距离相等，故②对；
当α＝120°时，则A1、B、C共线，
∴A1B＝1，BC1＝2，
如图，过C1作C1G⊥A1B于点G，
则∠C1BG＝60°，
∴BG＝BC1 cos60°＝1，C1G＝BC1 sin60°，
∴A1G＝2，
∴A1C1，
∴，故③对，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H．若H恰好为AC的中点，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接FG，先证明△BFG≌△CDE（SSS）得到∠ABH＝∠ACB，进一步证明△ABH∽△ACB得到，再由H是AC中点，得到AC＝2AH，即可得到答案．
【解答】解：如图，连接FG，
由题意得BF＝BG＝CD＝CE，FG＝DE，
∴△NFG≌CDE（SSS），
由作图即可得，∠ABH＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABH∽△ACB，
∴，
∵H是AC的中点，
∴AC＝2AH，
∴2AH2＝AB2＝（）2，
∴AH，
∴AC＝2AH＝2，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为BC的中点，O为△ABC的外心．将△ABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α≤60°），点A，B，C，M的对应点分别为A'，B'，C'，M'．B'C'交BC于点D，交AB于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论：
①对于任意的α，点O到AB，A'B'距离相等；
②存在唯一的α，使得；
③BM'有最大值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】作△ABC的外接圆⊙O，设半径为r，根据题意可得AB，AC分别是圆内接正六边形的一条边，根据正六边形的性质即可判断①，进而证明当α＝30°时，即可判断②，根据得出CM'有最小值，没有最大值，即可判断③，即可求解．
【解答】解：如图所示，作△ABC的外接圆⊙O，设半径为r，
∵由题意可得：AB，AC分别是圆内接正六边形的一条边，
当将△ABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α≤60°），A′B′是圆内接正六边形的一条边，
∴点O到AB，A′B′距离相等，故①正确；
如图，
连接OB，OC，
由题意可得：AB＝OB＝r，
∴AB＝BO＝OC＝AC，则四边形ABOC是菱形，
同理A′B′OC′是菱形，
当α＝30°时，则∠BOB′＝∠COC′＝30°，
又∵∠BOC＝∠BAC＝120°，
∴∠BOC′＝∠BOB′+∠B′OC′＝150°，
∵∠CBO＝30°，
∴BD∥OC′，
又∵∠BOB′＝∠OB′C′＝30°，
∴B′C′∥OB，
∴四边形BDC′O是平行四边形，
∵又OB＝OC′，
∴四边形BDC′O是菱形，
∴BD＝C′O＝AB，
∴1，
∴当且仅当α＝30°时，使得1，故②正确；
如图，∵OMr，
∵OM＝OM′，
∴M在OM为半径的圆上运动，
当旋转角为α（0°＜α≤60°）时，当BM′与⊙O相切时，BM'有最小值，
但没有最大值，故③错误．
故选：A．
5．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（ ）
A．无论x取何值，y2总是负数
B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小
D．四边形AECD为正方形
【分析】A、由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；
B、由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
C、由 y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
D、首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．
【解答】解：A、∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故不符合题意；
B、∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
即﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1；
∴y1＝﹣（x+1）2+2，
∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故不符合题意；
C、∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
故符合题意；
D、设AC与DE交于点F，
∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝1，
∴点C（3，﹣2），
∴AF＝CF＝3，AC＝6，
当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，
∴DE＝6，DF＝EF＝3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故不符合题意．
故选：C．
6．如图，直线yx+b与y轴交于点A，与双曲线y在第一象限交于B、C两点，且AB AC＝4，则k＝（ ）
A． B． C． D．2
【分析】设直线yx+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．先求出直线与x轴和y轴的两交点D与A的坐标，根据OA与OD的长度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函数值求出角ADO的度数，联立直线与双曲线方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出EB与FC的积，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB与AB的关系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC与AC的关系，根据AB AC＝4列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解答】解：设直线yx+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵yx+b，
∴当y＝0时，xb，即点D的坐标为（b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝b，ODb．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，
∴∠ADO＝30°．
∵直线yx+b与双曲线y在第一象限交于点B、C两点，
∴x+b，
整理得，x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2k，即EB FCk，
∵cos30°，
∴ABEB，
同理可得：ACFC，
∴AB AC＝（EB）（FC）EB FCk＝4，
解得：k．
故选：C．
7．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解．
【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，
解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13．
故选：C．
8．测浮力实验，他们将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①，在此过程中拉力F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示（提示：当石块位于水面上方时F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力）．则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数关系式为
C．石块下降8cm时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离水底
【分析】根据函数图象待定系数法求得线段AB的解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A、由题图可知，石块下降到6cm时，石块正好接触水面，故选项A错误；
B、当6≤x≤10时，设AB所在直线的函数表达式为：F＝kx+b（k≠0），
则，解得：，
∴Fx，故选项B错误；
C、当石块下降的高度为8cm时，即x＝8时，
F拉力x（N），
∵G加水＝4N，
故F＝4（N），
故选项C正确；
D、当F＝3，即3x，
解得x，
∴石块距离水底的距离为16（cm），
故选项D错误，
故选：C．
9．这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选择只有一个白球的碗的概率是，如果他选择错了碗，将还有的概率从另一个碗里摸到白球，从而使自己获得自由的概率最大．
【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到白球的概率是，从而所以获得自由的概率最大是．
故选：D．
10．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0，下列结论不正确的个数是（ ）
①当x＝2或﹣5时，代数式x2+3x﹣1的值是一个完全平方数；
②无论x为任何数，代数式x2+3x﹣1的值大于x﹣2的值；
③关于x的函数y＝x2+3x﹣1的图象与x轴两交点间的距离为；
④代数式x4+6x3+7x2﹣6x+2025的值等于2023．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将值代入即可判断；
②运用作差法和配方法进行判断；
③利用两根之间的距离公式计算即可；
④用降次法化简即可．
【解答】解：①当x＝2时，代数式 x2+3x﹣1＝9，为完全平方数，
当x＝﹣5时，代数式x2+3x﹣1＝9，也为完全平方数，
∴结论①正确，
②x2+3x﹣1﹣（x﹣2）＝x2+3x﹣1﹣x+2＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
当x＝﹣1时，两者相等，故结论②中“大于”不成立，
结论②错误，
③方程x2+3x﹣1＝0的判别式Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13，
∴两根之间的距离为，
结论③正确，
④∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣3x，
∴x4+6x3+7x2﹣6x+2025
＝（1﹣3x）2+6x（1﹣3x）+7（1﹣3x）﹣6x+2025
＝1﹣6x+9x2+6x﹣18x2+7﹣21x﹣6x+2025
＝1﹣6x+9（1﹣3x）+6x﹣18（1﹣3x）+7﹣21x﹣6x+2025
＝1﹣6x+9﹣27x+6x﹣18+54x+7﹣21x﹣6x+2025
＝2024≠2023，
∴结论④错误，
综上，错误的结论为②和④，共2个．
故选：B．
11．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（ ）
A．（2，1） B． C． D．
【分析】先求出点E（3，0），求出BE＝CD＝2，将点A沿y轴向下平移2个单位，得到点F，连接CE，CF，EF，易证得四边形CDAF是平行四边形，于是可得AD＝CF，由轴对称的性质可得BC＝CE，于是得到AD+BC＝CF+CE≥EF，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，利用待定系数法可求得直线EF的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，
当y＝0时，得：x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴B（1，0），E（3，0），
∴BE＝2，
∵线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE，
∴CD＝2，
点A沿y轴向下平移2个单位得到点F，如图，连接CE，CF，EF，
∴AF＝2，
∴AF＝CD，
∵抛物线的对称轴∥y轴，且线段CD在抛物线的对称轴上，线段AF在y轴上，
∴CD∥AF，BC＝CE，
∴四边形CDAF是平行四边形，
∴AD＝CF，
∴AD+BC＝CF+CE≥EF，
∴当F、C、E三点共线，即点C是直线EF与抛物线对称轴的交点时，AD+BC的值最小，
抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，
当x＝0时，得：y＝3，
∴A（0，3），
由平移的性质可得：点F的纵坐标＝3﹣2＝1，
∴F（0，1），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E，点F的坐标代入，得：
，
解得：，
∴直线EF的解析式为，
在抛物线y＝x2﹣4x+3中，其对称轴为直线，
要使AD+BC的值最小，则点C的坐标应满足，
解得：，
∴，
故选：C．
12．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1），
，，都是“方形点”．
下列结论：
①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”；
②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4；
其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3，求出x、y的值即可判断①；令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，求出x、y的两对值，再结合勾股定理求出这两点之间的距离，即可判断②；把（2，﹣2）代入y＝ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，得出y＝﹣x2+3x﹣4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y＝﹣8时，求出x的值即可判断③．
【解答】解：①令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3，
解得，x，
∴y，即点（，）在直线y＝﹣5x+3上，
故①正确；
②令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴当x＝﹣3，时y＝3；当x＝1，时y＝﹣1
∴抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”为（﹣3，3），（1，﹣1），
∴点（﹣3，3）与（1，﹣1）之间的距离4；
故②正确；
③∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“方形点”．
∴﹣2＝4a+6+c，
∴c＝﹣4a﹣8，
∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”．
∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根，
∴Δ＝16﹣4ac＝0，
∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0，
解得，a＝﹣1，
c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4
∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2，
二次函数图象的对称轴为直线x，函数的最大值为，
当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8，
解得，x1＝﹣1，x2＝4，
当m≤4时，函数的最大值为，最小值为﹣8．
故③不正确，
故选：B．
13．如图，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点．将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，连结DF并延长交BC于点G，再将△CDG沿DG折叠，点C的对应点H恰好落在BE上．若记△BEF和△DGH重叠部分的面积为S1，四边形BEDG的面积为S2，则的值为 ．
【分析】设EF与DH交于点M，BF与HG交于点N，连接AF交BE于点P，先证出四边形BEDG是平行四边形，得DE＝BG，∠GBH＝∠EDF，BE＝GD，从而得AE＝DE＝EF＝BG＝CG＝HG，进而得∠GBH＝∠GHB＝∠EDF＝∠EFD，于是证出△EDF≌△GBH（AAS），得BH＝DF，然后证出四边形EFGH、BFDH是平行四边形，进一步证出四边形MFNH是矩形，接下来设AE＝BG＝HG＝x，则AD＝AB＝DH＝CD＝2x，得，，再证出△BAE∽△AFD，根据相似三角形对应边成比例得，则求出，证明△DMF∽△DHG，得，即可求出，，于是有，最后进行求比即可得到答案．
【解答】解：如图，设EF与DH交于点M，BF与HG交于点N，连接AF交BE于点P，
∵E为AD中点，将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，
∴AE＝DE＝EF，AF⊥BE，CG＝GH，∠MFN＝∠BAD，DH＝CD，
∴∠EAF＝∠EFA，∠EFD＝∠EDF，∠APE＝90°，
∵∠EAF+∠EFA+∠EFD+∠EDF＝180°，
∴∠AFD＝∠EFA+∠EFD＝90°，
∴∠AFD＝∠APE，
∴BE∥DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DE∥BG，AD＝BC＝AB＝CD，∠BAD＝∠MFN＝90°，
∴四边形BEDG是平行四边形，
∴DE＝BG，∠GBH＝∠EDF，BE＝GD，
∵AE＝DE＝EF，
∴AE＝DE＝EF＝BG＝CG＝HG，
∴∠GBH＝∠GHB＝∠EDF＝∠EFD，
∴△EDF≌△GBH（AAS），
∴BH＝DF，
又∵BE＝GD，
∴EH＝GF，
∵EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥HG，
∵BH∥DF，
∴四边形BFDH是平行四边形，
∴DH∥BF，
∵MF∥HN，
∴四边形MFNH是平行四边形，
∵∠MFN＝90°，
∴四边形MFNH是矩形，
设AE＝BG＝HG＝x，则AD＝AB＝DH＝CD＝2x，
∴，
由勾股定理得，
∵∠BAE＝∠BAP+∠DAF＝90°，∠BAP+∠EBA＝90°，
∴∠DAF＝∠EBA，
∵∠BAE＝∠AFD＝90°，
∴△BAE∽△AFD，
∴，
∴，
∴，
∵MF∥HN，
∴△DMF∽△DHG，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．对于任意正整数p，进行如下操作：若p为偶数，则对p不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为mp；若p为奇数，则对5p+1不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为mp．若mp＝1，则称正整数p为“归一数”．则10以内的质数“归一数”有 2和3 ；若mt＝t﹣7，则t＝ 14或8 ．
【分析】10以内的质数有2、3、5、7，再分别代入检验即可；
由题可知mt＝t﹣7必为奇数，则t为偶数，因此可设t﹣7（n为正整数），进而整理求出符合题意的n值，进而得解．
【解答】解：10以内的质数有：2、3、5、7，
当p＝2时，mp＝2÷2＝1，符合题意；
当p＝3时，mp＝（5×3+1）÷2÷2÷2÷2＝1，符合题意；
当p＝5时，mp＝（5×5+1）÷2＝13，不符合题意；
当p＝7时，mp＝（5×7+1）÷2÷2＝9，不符合题意；
所以，10以内的质数“归一数”有2和3；
由题设可知mt＝t﹣7必为奇数，则t为偶数，
则有正整数n使t﹣7，
∴t7，
∴2n﹣1＝1或2n﹣1＝7，
∴n＝1或n＝3，符合题意，
∴t＝14或8；
故答案为：2和3；14或8．
15．如图所示，长方形纸片ABCD，点E为AD边上不与端点重合的一动点，将纸片沿BE翻折至长方形ABCD所在平面内得到△BEF，连接CF，DF，若AB＝3，BC＝2，且△CDF是以CF为腰的等腰三角形，则AE＝ 或9﹣6 ．
【分析】分两种情况：①当FC＝FD时，如图3，作辅助线，构建直角三角形，利用30°角直角三角形的性质求得AE的长；
②当FC＝DC时，如图4，作辅助线，构建直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程可求得AE的长．
【解答】解：当△CDF是以CF为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①当FC＝FD时，如图，过F作FM⊥AB于M，交CD于点N，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB∥CD，
∴FN⊥CD，
∵FC＝FD，
∴MN是长方形的对称轴，
如图，连接AF，
∴FA＝FB＝3，
∵AB＝3，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
由折叠得：∠ABE＝∠EBFABF＝30°，
∴AE AB3；
②当FC＝DC时，如图，过F作FG⊥AD，交AD于G，交BC于H，
∵AD∥BC，
∴GH⊥BC，
∵AB＝BF，AB＝CD，
∴BF＝FC，
∴BH＝CH＝1，
由勾股定理得：FH2，
∵∠A＝∠ABC＝∠BHG＝90°，
∴四边形ABGH为矩形，
∴GH＝AB＝3，AG＝BH＝1，
∴FG＝GH﹣FH＝3﹣2，
设AE＝x，则EF＝x，EG＝AG﹣AE＝1﹣x，
由勾股定理得：x2＝（1﹣x）2+（3﹣2）2，
∴x＝9﹣6，
∴AE＝9﹣6，
综上所述，AE的长为或9﹣6．
故答案为：或9﹣6．
16．若ax＝by＝10z（其中a，b是正整数），且有，则2a+b的值是 9或12 ．
【分析】设ax＝by＝10z＝k，利用有理数的乘方的逆运算得到a，b，10，利用同底数幂的乘法法则与已知条件得到ab10，再利用正整数的特征求得a，b，最后代入运算即可．
【解答】解：设ax＝by＝10z＝k，
∴a，b，10，
∴ab．
∵，
∴ab10，
∵a，b是正整数，
∴a＝2，b＝5或a＝5，b＝2．
∴2a+b的值是2×2+5＝9或2×5+2＝12．
∴2a+b的值是9或12．
故答案为：9或12．
17．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 3 个．
【分析】首先把问题转化为解不等式组45，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【解答】解：由题意得45，
解得：7≤x，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
18．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．如图，已知点A（0，1），B（1，0），在点C1（2，0），C2（1，2），中，点 C2 是弦AB的“α可及点”，其中α＝ 45 °；已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，则t的取值范围为 或 ．
【分析】由相对运动，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O′，若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，则点C应在⊙O′的圆内或圆上，先求得O′（1，1），根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出C2在⊙O′上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解；作出⊙O关于AB的对称圆⊙O′，故点P需要在⊙O′的圆内或圆上，作出△MPN的外接圆⊙O''，连接O″M，O″N，则点P在以O″为圆心，MO''为半径的上运动（不包括端点M、N），可求MN＝2MQMO″，随着MN的增大，⊙O′会越来越靠近⊙O，当点O'与点O''重合时，点P在⊙O′上，即为临界状态，此时MN最大，MNMO″，由OP≤OO''+O''P，故当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，此时，故当r＝1，OP的最大值为2，设，则，解得，可求直线与⊙O交于点T（1，0），，即可解答．
【解答】解：由相对运动，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O′，
∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，
∴点C应在⊙O′的圆内或圆上，
∵点A（0，1），B（1，0），
∴OA＝OB＝1，
而∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
由对称得：∠O'BA＝O'AB＝45°，
∴△OBA为等腰直角三角形，
∵O′（1，1），
设⊙O半径为R，
则，
故C1在⊙O′外，不符合题意；
C2O'＝2﹣1＝1＝R，故C2在⊙O′上，符合题意；
，故C3在⊙O′外，不符合题意，
∴点C2是弦AB的“a可及点”；
可知B，O′，C2三点共线，
∵，
∴α＝∠AC2B∠AO′B＝45°；
由相对运动，作出⊙O关于AB的对称圆⊙O′，
∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”，
∴点C应在⊙O′的圆内或圆上，
故点P需要在⊙O′的圆内或圆上，
作出△MPN的外接圆⊙O″，连接O''M，O″N，如图，
∴点P在以O''为圆心，MO″为半径的上运动（不包括端点M、N），
∴∠MO″N＝2∠MPN＝120°，
∴∠O″MN＝30°，
由对称得点O，O′在MN的垂直平分线上，
∵△MPN的外接圆为⊙O''，
∴点O''也在MN的垂直平分线上，
记OO′与NM交于点Q，
∴MQ＝MQ″ cos30°MO″，
∴，
随着MN的增大，⊙O′会越来越靠近⊙O，
当点O'与点O''重合时，点P在⊙O′上，如图，
即为临界状态，此时MN最大，MNMO″，
连接O″P，OP，OM，
∵OP≤OO''+O''P，
∴当MN最大，时，此时△MNP为等边三角形，
由上述过程知，
∴，
∴当r＝1，OP的最大值为2，
设，
则，
解得，
记直线与⊙O交于T，S，与y轴交于点K，过点S作SL⊥x轴，
当x＝0，，
当y＝0时，，
解得x＝1，
∴与x轴交于点T（1，0），
∴，
而OT＝OS，
∴△OTS为等边三角形，
∴∠TOS＝60°，
∴，LS，
∴S，
∴t的取值范围是或，
故答案为：C2；45；或．
19．如图，△ABC为等腰三角形，，BC＝10，在以B为端点的射线上取一点P，连接CP．若∠BPC＝90°，当AP取最小值时，把线段CP绕C点顺时针旋转90°后得到线段CM，连接BM，则点A到直线BM的距离为 ．
【分析】由题易得点P在以BC为直径的圆上运动，进而可知当点A、O、P三点共线时取等，即此时AP＝OP﹣OA是最小值，画出图形，利用三垂直全等，可得tan，设BM与AC交于点N，进而再解三角形BCN，利用等面积求解即可．
【解答】解：∵∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的圆上运动，如图，
∵AO≥OP﹣OA，
∴当点A、O、P三点共线时取等，即此时AP＝OP﹣OA是最小值，
∵AB＝AC，
∴OP垂直平分BC，
∴OC＝OP＝5，OA，
在Rt△OCP中，CP5CM，
如图，过M作MH⊥BC于点H，则∠H＝∠COP＝90°，
∵∠PCM＝90°，
∴∠OCP＝∠CMH＝90°﹣∠MCH，
∵CP＝CM，
∴△OCP≌△HMC（AAS），
∴MH＝OC＝OC＝CH＝5
∴BH＝BC+CH＝15，
∴tan，
tan∠ACOx，
设BM与AC交于点N，过A作AK⊥BM于点K，过N作NG⊥BC于点G，
设NG＝x，则BG3x，CGx，
∴BC＝BG+CG＝（3）x＝10，
解得x，
∴BNx，
∵S△ABC＝S△ABN+S△BNC，
∴BC AOBN AKBC NG，
∴10AK+10，
解得AK，
即点A到BM的距离为，
故答案为：．
20．抛物线的与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），顶点为C．
（1）顶点C坐标为 （0，﹣2） ；
（2）如图，若点D的坐标是（0，4），连接AD．
①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E，点D的对应点为F，若点E，点F均在抛物线L1上，求点E的坐标；
②将抛物线L1沿射线AD方向平移得到抛物线L2，且抛物线L2经过点D．请问在抛物线L2上是否存在点G，使得∠GAD＝45°﹣∠ADO，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，从而得出C（0，﹣2），
（2）①设E（m，n）则F（m+2，n+4），将其代入抛物线的解析式，解方程组，进而得出结果；
②先求出L2的解析式，取点E（0，2），设直线AE交L2于G，可推出直线AE与L2的交点G符合条件，将L2和直线AE联立成方程组，进而得出G点坐标；作EF⊥AD于F，在EF上截取FH＝EF，作射线AG′，交L2于G′，可推出∠DAG′＝∠DAG，从而得出直线AD和L2的交点也满足条件，进一步得出结果．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）；
（2）①设E（m，n）则F（m+2，n+4），
∴，
∴，
∴E（1，）；
②如图，
A点向右平移2个单位，再向上平移4个单位得出D，故L2的解析式为：y，
取点E（0，2），设直线AE交L2于G，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE＝45°，直线AE的解析式为：y＝x+2，
∴∠DAE＝∠AEO﹣∠ADO＝45°﹣∠ADO，
∵∠GAD＝45°﹣∠ADO，
∴直线AE与L2的交点G符合条件，
由得，
∴，，
∴G1（3），G2（3，
作EF⊥AD于F，在EF上截取FH＝EF，作射线AG′，交L2于G′，
∴AH＝AE，
∴∠DAG′＝∠DAG，
∵A（﹣2，0），D（0，4），
∴直线AD的解析式为：y＝2x+4，
∴直线EF的解析式为：yx+2，
由得，
，
∴F（），
∴H（），
∴AH的解析式为：y＝7x+14，
由得，
，
∴），
综上所述：G（3）或（3）或（9）或（9）．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C和⊙C外一点P，给出如下定义：
在⊙C上存在一点Q，将点P绕点Q旋转180°后得到点P'，点P'恰好落在⊙C上，我们把点P称为⊙C关于点Q的“中对点”，也可简单的把点P称为⊙C的“中对点”．
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1，⊙O与x轴交于点R、Q（点R在点Q的左侧）．
①若点P在x轴上，且点P是⊙O关于点Q的“中对点”，则点P的坐标是 （3，0） ；
②如图2，点A是第四象限内一点，以点A为圆心，RQ长为半径作弧交⊙O于点B，过点B画直径BC，连接CA交⊙O于点D．点A是⊙O关于点D的“中对点”吗？说明理由；
（2）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，以T（t，0）为圆心，1长为半径作⊙T，若线段MN上所有的点都是⊙T的“中对点”，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）可求得PQ＝RQ＝2，进而得出OP＝3，进一步得出结果；
②连接BD，根据BC是⊙O的直径得出BD⊥CD，根据BC＝AB得出AD＝CD，从而得出结论；
（2）根据一次函数的知识得出M（﹣1，0），N（0，），∠NMO＝60°，当⊙T在MN右侧时，可得出点M关于⊙T与x轴右交于右侧点B的“中对点”是C，此时T（3，0），t＝3，当⊙T与MN相切于点A时，解直角三角形AMT′得出t的值；当⊙O在MN左侧时，设NT交⊙T于W和V，当点N称为⊙T关于点W的“中对点”是V时求得t的值，当⊙T与MN切于点Q时，求得t的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵点P是⊙O关于点Q的“中对点”是点R，
∴PQ＝RQ＝2，
∴OP＝OQ+PQ＝3，
∴P（3，0），
故答案为：（3，0）；
②如图1，
点A是⊙O关于点D的“中对点”，理由如下：
连接BD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵BC＝AB，
∴AD＝CD，
∴点A是⊙O关于点D的“中对点”；
（2）如图2﹣1，
由题意得，
M（﹣1，0），N（0，），∠NMO＝60°，
当⊙T在MN右侧时，
∵⊙T的直径是2，
∴点M关于⊙T与x轴右交于右侧点B的“中对点”是C，此时T（3，0），t＝3，
当⊙T与MN相切于点A时（图中⊙T′），
连接AT′，
∴∠MAT′＝90°，
∴MT′，
∴t，
∴，
如图2﹣2，
当⊙O在MN左侧时，
设NT交⊙T于W和V，
点N称为⊙T关于点W的“中对点”是V时，
∴NW＝WV＝2，
∴NT＝3，
∴OT，
如图2﹣3，
当⊙T与MN切于点Q时，
MT，
∴OT＝1，
∴，
综上所述：或．
22．初中数学“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证研究图形：“图形的变化”强调从运动变化的观点研究图形．为提升学生数学核心素养，李老师在社团活动时出示了一个探究活动．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，点P在直线BC上，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP1，过点P1作P1D∥BC，交直线AC于点D．
（1）初步探究
当点P在线段BC上时（如图①），求证：PC+P1D＝AC；
李浩同学是这样分析的：证明线段和（差），可以利用AP＝AP1构造全等三角形，他尝试在AC上截取AE＝P1D，连接PE，通过证明△P1AD≌△APE，最终证出结论．请你根据李浩的分析思路，写出图①的证明过程．
（2）类比探究
如图②，点P在线段CB的延长线上；如图③，点P在线段BC的延长线上，请分别写出线段PC，P1D，AC之间的数量关系（无需证明）；
（3）延伸探究
在（1）（2）的条件下，若，BP＝2PC，则P1D＝ 9 ．
【分析】（1）如图①中，在线段CA上截取线段CE，使得CE＝CP，连接PE．证明△DAP1≌△EPA（AAS），推出AE＝DP1，可得结论；
（2）如图②中，结论：AC＝PC﹣DP1．在线段CA的延长线上截取线段CE，使得CE＝CP，连接PE．证明方法类似（1）；如图③中，同法可证AC＝DP1﹣PC；
（3）利用（2）中结论计算即可．
【解答】（1）证明：如图①中，在线段CA上截取线段CE，使得CE＝CP，连接PE．
∵CP＝CE，∠C＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE＝PC＝EC，∠PEC＝60°，
∵P1D∥CB，
∴∠C＝∠P1DC＝60°，
∴∠ADP1＝∠AEP＝120°，
∵∠CDP1＝∠DAP1+∠P1＝60°，∠PAE+∠DAP1＝60°，
∴∠DAP1＝∠PAE，
∵PA＝AP1，
∴△DAP1≌△EPA（AAS），
∴AE＝DP1，
∴AC＝AE+EC＝DP1+PC；
（2）如图②中，结论：AC＝PC﹣DP1．
理由：在线段CA的延长线上截取线段CE，使得CE＝CP，连接PE．
∵CP＝CE，∠C＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE＝PC＝EC，∠PEC＝60°，
∵P1D∥CB，
∴∠ACB＝∠P1DC＝60°，
∵∠DAP1+∠PAP1＝∠E+∠APE，∠E＝∠PAP1＝60°，
∴∠DAP1＝∠PAE，
∵PA＝AP1，
∴△DAP1≌△EPA（AAS），
∴AE＝DP1，
∴AC＝EC＝﹣EA＝PC﹣DP2；
如图③中，同法可证AC＝DP1﹣PC．
（3）∵BP＝2PC，
∴只有图③满足条件，
在Rt△ABC中，AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴BC＝3，AC＝6，
∵BP＝2BC，
∴PC＝3，
∴DP1＝AC+PC＝9．
故答案为：9．
23．如图，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B做匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）用含t的代数式表示点M，N的坐标，M点的坐标为 （2t，0） ，N点的坐标为 （0，t） ．
（2）求C点的坐标．
（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．试求S关于t的函数关系式．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，进而得出OP＝2OQ，进而得出P，Q的坐标，根据轴对称的性质可得ON＝OQ，OM＝OP，即可求解；
（2）证明四边形CEOF是正方形，设正方形的边长为x，证明△BEC∽△BOA，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解；
（3）所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：图2，图3表示出运动过程中重叠部分的变化，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4
∵PQ∥AB，
∴，即y＝ax2+bx﹣4
∴OP＝2OQ
∵动点 P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，
∵P（0，2t），
∴Q（t，0）．
∵∠AOB的平分线交AB于C，即对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴ON＝OQ，OM＝OP
∴M（2t，0），N（0，t）．
故答案为：（2t，0）；（0，t）；
（2）解：过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
∵∠AOB的平分线交AB于C，即对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴CE＝CF，∠EOC＝∠FOC＝45°．
又∵CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
∴∠CEO＝∠CFO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CEOF是矩形．
∵CE＝CF，
∴四边形CEOF是正方形，设正方形的边长为x，
∴BE＝4﹣x．
∵CE∥x轴，
∴△BEC∽△BOA．
∴即．
解得：，
∴；
（3）当0＜t≤1时，如图2所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．
．
当1＜t＜2时，如图3所示，点M在OA的延长线上，
设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
将M（2t，0），N（0，t）代入得，
解得．
．
综上所述，S关于t的函数关系式为．
24．（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上．若，求BE．
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，∠ADE＝2∠BAE，，BE＝2，求AB．
（3）如图3，在（2）的条件下，F是射线EA上的一点，且，求．
【分析】（1）根据折叠和矩形的性质可得AD＝DE＝CB＝10，再解直角三角形可得DC，即可解答；
（2）根据角度转换得到∠DAE＝∠DEA，可得AD＝ED，设DC＝8x，DE＝17x，再用x表示BE即可解答；
（3）分两种情况，即点F在线段AE上和点F在线段EA的延长线上，逐一解答即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AD＝10，将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上，
∴DE＝AD＝10，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，∠C＝90°，
∵DC＝DE sin∠DEC＝6，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，
∴BE＝CB﹣CE＝2；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAD＝90°﹣∠BAE，∠AEB＝90°﹣∠BAE，∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝2∠BAE，
∴∠AED＝180﹣∠AEB﹣∠DEC＝90°﹣∠BAE，
∴∠AED＝∠EAD，
∴AD＝ED，
∵，
设DC＝8x，DE＝17x，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，
∴DE﹣EC＝BC﹣EC＝17x﹣15x＝2，
解得x＝1，
∴AB＝DC＝8；
（3）如图3，当点F在线段AE上，过点F作FM∥AD交ED于点M，
∵FM∥AD，
∴△EFM∽△EAD，
∵
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∵FM∥BC，
∴△FPM∽△CPE，
∴；
当点F在线段EA延长线上，如图4，过点F作FN∥AD交ED的延长线于点N，
∵FM∥AD，
∴△EFN∽△EAD，
∵
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∵FN∥BC，
∴△FPN∽△CPE，
∴．
综上所述，的值为或．
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1．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③
2．如图，等边△ABC的边长为1，将边AC，BA，CB分别绕点A，B，C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段AC1，BA1，CB1，连接A1B1，A1C1，B1C1.对△A1B1C1给出下面三个结论：
①对任意α都有△A1B1C1是等边三角形；
②存在唯一一点到点A1，B1，C1的距离相等；
③当α＝120°时，△A1B1C1的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧．交CB于点D，交CA于点E，连接DE；②以点B为圆心，以CD长为半径作弧，交BA于点F；③以点F为圆心，以DE的长为半径作弧，在△ABC内与前一条弧相交于点G；④连接BG并延长交AC于点H．若H恰好为AC的中点，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为BC的中点，O为△ABC的外心．将△ABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α≤60°），点A，B，C，M的对应点分别为A'，B'，C'，M'．B'C'交BC于点D，交AB于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论：
①对于任意的α，点O到AB，A'B'距离相等；
②存在唯一的α，使得；
③BM'有最大值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如图，抛物线y1＝﹣（x+1）2+2与y2＝﹣（x﹣2）2﹣1相交于点B，两抛物线分别与y轴交于点D、E两点．过点B作x轴的平行线，交两抛物线于点A、C，则以下结论错误的是（ ）
A．无论x取何值，y2总是负数
B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小
D．四边形AECD为正方形
6．如图，直线yx+b与y轴交于点A，与双曲线y在第一象限交于B、C两点，且AB AC＝4，则k＝（ ）
A． B． C． D．2
7．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（ ）
A．5 B．9 C．13 D．17
8．测浮力实验，他们将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①，在此过程中拉力F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示（提示：当石块位于水面上方时F拉力＝G重力，当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力）．则以下说法正确的是（ ）
A．当石块下降3cm时，石块在水里
B．当6≤x≤10时，F拉力（N）与x（cm）之间的函数关系式为
C．石块下降8cm时，石块所受的浮力是
D．当弹簧测力计的示数为3N时，石块距离水底
9．这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其它都一样的5个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣1＝0，下列结论不正确的个数是（ ）
①当x＝2或﹣5时，代数式x2+3x﹣1的值是一个完全平方数；
②无论x为任何数，代数式x2+3x﹣1的值大于x﹣2的值；
③关于x的函数y＝x2+3x﹣1的图象与x轴两交点间的距离为；
④代数式x4+6x3+7x2﹣6x+2025的值等于2023．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（ ）
A．（2，1） B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1），
，，都是“方形点”．
下列结论：
①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”；
②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是；
③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4；
其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
13．如图，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点．将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，连结DF并延长交BC于点G，再将△CDG沿DG折叠，点C的对应点H恰好落在BE上．若记△BEF和△DGH重叠部分的面积为S1，四边形BEDG的面积为S2，则的值为 ．
14．对于任意正整数p，进行如下操作：若p为偶数，则对p不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为mp；若p为奇数，则对5p+1不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为mp．若mp＝1，则称正整数p为“归一数”．则10以内的质数“归一数”有 ；若mt＝t﹣7，则t＝ ．
15．如图所示，长方形纸片ABCD，点E为AD边上不与端点重合的一动点，将纸片沿BE翻折至长方形ABCD所在平面内得到△BEF，连接CF，DF，若AB＝3，BC＝2，且△CDF是以CF为腰的等腰三角形，则AE＝ ．
16．若ax＝by＝10z（其中a，b是正整数），且有，则2a+b的值是 ．
17．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 个．
18．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB＝α，则称点C是弦AB的“α可及点”．如图，已知点A（0，1），B（1，0），在点C1（2，0），C2（1，2），中，点 是弦AB的“α可及点”，其中α＝ °；已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，则t的取值范围为 ．
19．如图，△ABC为等腰三角形，，BC＝10，在以B为端点的射线上取一点P，连接CP．若∠BPC＝90°，当AP取最小值时，把线段CP绕C点顺时针旋转90°后得到线段CM，连接BM，则点A到直线BM的距离为 ．
20．抛物线的与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），顶点为C．
（1）顶点C坐标为 ；
（2）如图，若点D的坐标是（0，4），连接AD．
①把线段AD沿一定的方向平移，平移后，点A的对应点为E，点D的对应点为F，若点E，点F均在抛物线L1上，求点E的坐标；
②将抛物线L1沿射线AD方向平移得到抛物线L2，且抛物线L2经过点D．请问在抛物线L2上是否存在点G，使得∠GAD＝45°﹣∠ADO，若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C和⊙C外一点P，给出如下定义：
在⊙C上存在一点Q，将点P绕点Q旋转180°后得到点P'，点P'恰好落在⊙C上，我们把点P称为⊙C关于点Q的“中对点”，也可简单的把点P称为⊙C的“中对点”．
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1，⊙O与x轴交于点R、Q（点R在点Q的左侧）．
①若点P在x轴上，且点P是⊙O关于点Q的“中对点”，则点P的坐标是 ；
②如图2，点A是第四象限内一点，以点A为圆心，RQ长为半径作弧交⊙O于点B，过点B画直径BC，连接CA交⊙O于点D．点A是⊙O关于点D的“中对点”吗？说明理由；
（2）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，以T（t，0）为圆心，1长为半径作⊙T，若线段MN上所有的点都是⊙T的“中对点”，直接写出t的取值范围．
22．初中数学“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证研究图形：“图形的变化”强调从运动变化的观点研究图形．为提升学生数学核心素养，李老师在社团活动时出示了一个探究活动．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，点P在直线BC上，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP1，过点P1作P1D∥BC，交直线AC于点D．
（1）初步探究
当点P在线段BC上时（如图①），求证：PC+P1D＝AC；
李浩同学是这样分析的：证明线段和（差），可以利用AP＝AP1构造全等三角形，他尝试在AC上截取AE＝P1D，连接PE，通过证明△P1AD≌△APE，最终证出结论．请你根据李浩的分析思路，写出图①的证明过程．
（2）类比探究
如图②，点P在线段CB的延长线上；如图③，点P在线段BC的延长线上，请分别写出线段PC，P1D，AC之间的数量关系（无需证明）；
（3）延伸探究
在（1）（2）的条件下，若，BP＝2PC，则P1D＝ ．
23．如图，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B做匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）用含t的代数式表示点M，N的坐标，M点的坐标为 ，N点的坐标为 ．
（2）求C点的坐标．
（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．试求S关于t的函数关系式．
24．（1）如图1，在矩形ABCD中，AD＝10，将AD沿DF折叠，A的对应点E恰好落在BC边上．若，求BE．
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为BC边上的一点，∠ADE＝2∠BAE，，BE＝2，求AB．
（3）如图3，在（2）的条件下，F是射线EA上的一点，且，求．
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