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11.2反比例函数的图像与性质
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.点、、在反比例函数的图象上,若,则,,的大小关系是( )
A. B.
C. D.
2.如图,点是反比例函数图像上的一动点,连接并延长交图像的另一支于点.在点的运动过程中,若存在点,使得,,则,满足( )
A. B. C. D.
3.如图,矩形ABCD的顶点A,C分别在x轴,y轴上,点,,若反比例函数的图像经过点D,则k的值为( )
A.15 B.18 C.24 D.32
4.反比例函数y=的图象如图所示,则k的值可能是( )
A.﹣1 B. C.3 D.4
5.在反比例函数的图象的每一个分支上,y都随x的减小而增大,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图,和都是等腰直角三角形,,反比例函数在第一象限的图象经过点B,则与的面积差为( ).
A.32 B.16 C.8 D.4
7.如图,已知点A是反比例函数的图像上一点,过点A作轴于点B,交反比例函数的图像于点C,连接OA,OC,则的面积为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
8.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图像与△ABC有交点,则的取值范围是
A.2≤≤ B.6≤≤10 C.2≤≤6 D.2≤≤
9.如图,点A为函数y=(x>0)图象上的一点,过点A作x轴的平行线交y轴于点B,连接OA,如果△AOB的面积为2,那么k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,,若点A在反比例函数的图象上,则经过点B的反比例函数表达式为( )
A. B. C. D.
11.已知一个函数满足下表(x为自变量)
x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
y +1.2 +1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2
则这个函数的表达式为( ).
A.y= B.y= C.y=- D.y=-
12.若点,是反比例函数图象的两个点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.或
二、填空题
13.设反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),且当x1<014.如图,点A在双曲线y=上,AB⊥x轴于B,且△AOB的面积S△AOB=1,则k= .
15.已知、是反比例函数图像上两点,且,则m的取值范围为 .
16.如图,点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,轴,则的面积是 .
17.如图,在平面直角坐标系中,C,A分别为轴、轴正半轴上的点,以为边,在第一象限内作矩形,且,将矩形翻折,使点与原点重合,折痕为,点的对应点落在第四象限,过点的反比例函数的图像恰好过的中点,则的长为 .
三、解答题
18.如图所示,已知直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数交于C,D两点,且C点的坐标为.
(1)分别求出直线及反比例函数的表达式;
(2)求出点D的坐标;
(3)利用图象直接写出:当x在什么范围内取值时,.
19.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,与轴交于点.
(1)求点的坐标和反比例函数的解析式;
(2)点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,连接,,求的面积.
20.如图,菱形ABCD的顶点A、B分别在y轴与x轴正半轴上,C、D在第一象限,轴,反比例函数的图象经过顶点D.
(1)若,
①求反比例函数的解析式;
②证明:点C落在反比例函数的图象上;
(2)若,,求菱形ABCD的边长.
21.设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.
(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;
(2)若反比例函数y2的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.
①求k的值;
②结合图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.
22.已知反比例函数的图象如图.你认为利用怎样的图形运动就能得到反比例函数的图象?请画出这个图象.
23.已知关于x的反比例函数的图象经过点.
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)当时,直接写出y的取值范围.
24.如图,矩形ABCD的边AB与y轴平行,顶点A的坐标为(1,2),点B、D在反比例函数y=(x>0)的图象上,求点C的坐标.
《11.2反比例函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B C C B A D C
题号 11 12
答案 D D
1.D
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,根据反比例函数性质,反比例函数的图象分布在第二、四象限,则最小,最大,熟知反比例函数的性质是解题的关键.
【详解】解:反比例函数的图象分布在第二、四象限,
在每一象限随的增大而增大,
而,
.
故选:D.
2.B
【分析】连接,过点作轴于点,过点作轴于点,根据等腰直角三角形的性质得出,通过角的计算找出,结合“,”可得出,根据全等三角形的性质,可得出,进而得到,进一步得到.
【详解】解:连接,过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示:
由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称,
,
又,,
,,
,,
,
又,,
,
,,
点,
,,
,,
,
点是反比例函数图像上,
,即,
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质,等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质,解题的关键是求出点的坐标.
3.B
【分析】分别过点B、D作x轴的垂线,垂足分别分E、F,过点B作BG垂直于y轴于点G,由题意可得点A的坐标,且可得△ABE∽△DAF,利用相似三角形的性质即可求得点DF与AF的关系,易证△BGC≌△AFD,从而可求得k的值.
【详解】分别过点B、D作x轴的垂线,垂足分别分E、F,过点B作BG垂直于y轴于点G
∴∠BEA=∠AFD=∠BGC= 90°
∵,
∴BE=4,OE=8
∴由勾股定理得:
∴OA=OE AE=8 3=5
∴A(-5,0)
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠ABC=90°,BC=AD
∴∠BAE+∠DAF=90°
∵∠BAE+∠ABE=90°
∴∠ABE=∠DAF
∵∠BEA=∠AFD
∴△ABE∽△DAF
∴
∵∠ABC=∠EBG=90°
∴∠CBG=∠ABE
∴∠CBG=∠DAF
∵BC=AD
∴△BGC≌△AFD
∴BG=AF
由辅助线作法及已知得,四边形OGBE是矩形
∴BG=OE=8
∴AF=8
∴OF=AF-OA=8-5=3
∵
∴DF=6
∴D(3,6)
∴k=3×6=18
故选:B.
【点睛】本题是反比例函数与四边形的综合,考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,反比例函数图象上点的坐标特征,正确作出辅助线是解题的关键.
4.B
【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于3判断.
【详解】∵反比例函数在第一象限,
∴k>0,
∵当图象上的点的横坐标为1时,纵坐标小于3,
∴k<3,
故选:B.
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征,用到的知识点是:反比例函数图象在第一象限,比例系数大于0;比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积.
5.C
【分析】根据反比例函数的性质可知k+1>0.从而得出k的范围.
【详解】解:∵反比例函数的图象的每一个分支上,y都随x的减小而增大,
∴k+1>0,
∴k>-1,
故选:C.
【点睛】题主要考查了反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键.
6.C
【分析】已知反比例函数的解析式为,根据系数k的代数意义,设函数图象上点B的坐标为(m,)再结合已知条件求解即可;
【详解】解:如图,设点C(n,0),因为点B在反比例函数的图象上,所以设点B(m,).
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,
∴点A的坐标为(n,n),点D的坐标为(n,),
由AD=BD,得n =m n,化简整理得m2 2mn= 16.
∴S△OAC S△BAD=n2 (m n)2= m2+mn= (m2 2mn),
即S△OAC S△BAD=8.
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式,解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义.
7.B
【分析】根据反比例函数的几何意义可知,,然后问题可求解.
【详解】解:∵轴,点A是反比例函数图像上一点,点B是反比例函数图像上一点,
∴,,
∴.
故选B.
【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义,熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键.
8.A
【分析】把A点的坐标代入即可求出k的最小值;当反比例函数和直线BC相交时,求出b2﹣4ac的值,得出k的最大值.
【详解】把点A(1,2)代入得:k=2;
C的坐标是(6,1),B的坐标是(2,5),
设直线BC的解析式是y=kx+b,
则,
解得:,
则函数的解析式是: y=﹣x+7,
根据题意,得:=﹣x+7,
即x2﹣7x+k=0,
△=49﹣4k≥0,
解得:k≤.
则k的范围是:2≤k≤.
故选A.
考点:反比例函数综合题.
9.D
【详解】设点A坐标为(m,n),则有AB=m,OB=n,由题意可得:=2,所以mn=4,
又点A在双曲线上,所以k=mn=4,
故选D.
10.C
【分析】作轴于D,轴于C,利用含30度的直角三角形三边的关系得到,再证明得,利用反比例函数k的几何意义得到和,进而利用三角形的面积公式得到,然后求出k得到经过点B的反比例函数解析式.
【详解】解:作轴于D,轴于C,如图,
∵,,
∴,
∴.
∵点A在反比例函数的图象上,
∴.
∵,,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
即,
∴.
∵,
∴,
∴经过点B的反比例函数解析式为.
故选:C.
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式:设反比例函数解析式(k为常数,),然后把一组对应值代入求出k得到反比例函数解析式.也考查了相似三角形的判定与性质.
11.D
【分析】由x、y的关系可求得其满足反比例关系,再由待定系数法即可得出解析式.
【详解】解:设此函数的解析式为 (k≠0),
把x= 3,y=2,代入得k= 6,
故x,y之间用关系式表示为.
故选D.
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式,即图象上点的横纵坐标为一定值.
12.D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论,①当点(a-1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上时,②当点(a-1,y1)、(a+1,y2)分别在图象的两支上时.
【详解】解:∵k=-1<0,
∴图象在二、四象限,在每一支上,y随x的增大而增大,
①当点(a-1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上,
∵y1<y2,
∴或,
解得a>1或a<-1;
②当点(a-1,y1)、(a+1,y2)分别在图象的两支上,
∵y1<y2,
∴a-1>0,a+1<0,即a>1,a<-1,
无解,此情况不存在,
综上,a<-1或a>1,
故选:D.
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质,关键是掌握当k<0时,在图象的每一支上,y随x的增大而增大.
13.m<3
【详解】解:∵反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),x1<0<x2时,有y1<y2,
∴A(x1,y1)点在第三象限,B(x2,y2)点在第一象限,
∴3-m>0,
∴m<3.
故答案为m<3.
14.2
【分析】由S△AOB的面积利用反比例函数系数k的几何意义可求出k值,结合反比例函数在第一象限有图象,即可确定k的值,此题得解.
【详解】∵点A在双曲线y=上,AB⊥x轴于B,
∴S△AOB=|k|=1,
∴k=±2.
∵反比例函数y=在第一象限有图象,
∴k=2.
故答案为2.
【点睛】反比例函数系数k的几何意义,牢记反比例函数系数k的几何意义是解题的关键.
15.-3<m<0
【分析】利用反比例函数的增减性,利用每个象限内y随x的增大而减小进而得出m的取值范围.
【详解】解:∵A(m,y1)、B(m+3,y2)是反比例函数图象上两点,
∴每个象限内y随x的增大而减小,
∵y1-y2<0,
∴y1<y2,
∴m<m+3,且每个象限内y随x的增大而增大,
故m,m+3符号不同,则m<0,m+3>0时,解得:-3<m<0,
故答案为:-3<m<0.
【点睛】此题主要考查了反比例函数的增减性,利用反比例函数的增减性性质得出是解题关键.
16.3
【分析】设交y轴于C;利用反比例函数比例系数k的几何意义即可求解.
【详解】解:如图,设交y轴于C;
∵轴,
∴轴,
∵点A在反比例函数的图象上,点B在反比例函数的图象上,
∴,
∴;
故答案为:3.
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义,掌握这个几何意义是关键.
17.
【分析】连接,交于点Q,首先证明点Q是的中点,根据折叠可得Q是中点,,设,则,,再由在上可得,求得,再在中根据勾股定理求出即可求出、的值,进而求出、的坐标,最后求出的长.
【详解】连接,交于点Q,
∵将矩形翻折,使点与原点重合,折痕为,
∴,,
设
∴,
∵,
∴,
∵,
而,
∴,
∴,即点Q是的中点,
∵
∴
∵在上,
∴,
∴
∵
∴
∴
∴,
∵在中,
∴,解得或(负数关系舍去),
∵
∴
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题是反比例函数综合题,主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义,两点的中点公式和距离公式,勾股定理等,综合性强,难度较大.
18.(1)直线的解析式为:;反比例函数的解析式为
(2)
(3)当时,
【分析】(1)运用待定系数法进行计算即可得;
(2)联立,进行计算即可得;
(3)观察函数图象即可得.
【详解】(1)解:∵直线经过点,
∴,
,
∴直线的解析式为:,
∵点在反比例函数上,
∴,
,
∴反比例函数的解析式为;
(2)解:,
解得,
∴;
(3)解:根据函数图象得,当时,.
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质,反比例函数的图象与性质,解题的关键是掌握.
19.(1);
(2)6
【分析】(1)由一次函数的解析式求得A的坐标,然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式;
(2)作BDx轴,交直线AC于点D,则D点的纵坐标为1,利用函数解析式求得B、D的坐标,然后根据三角形面积公式即可求得.
【详解】(1)解:∵一次函数y=x+2的图象过点A(1,m),
∴m=1+2=3,
∴A(1,3),
∵点A在反比例函数(x>0)的图象上,
∴k=1×3=3,
∴反比例函数的解析式为;
(2)∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1,
∴B(3,1),
作BDx轴,交直线AC于点D,则D点的纵坐标为1,
代入y=x+2得,1=x+2,解得x= 1,
∴D( 1,1),
∴BD=3+1=4,
∴.
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题,考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求反比例函数的解析式,三角形的面积,注意数形结合思想的运用.
20.(1)①;②见解析
(2)
【分析】(1)①过点D做y轴垂线交于点F,由为菱形得,,进而求得,从而求得即可求出反比例函数的解析式;②过点C做x轴垂线交于点G,先求得,即可判断C落在反比例函数的图象上;
(2)设,则,,从而求得BD=2BE=2,得进而有,解得,即可求解.
【详解】(1)①解:过点D做y轴垂线交于点F,
∵为菱形,
∴,,
易证四边形AOBE、AEDF为矩形
∴,
∴,
∴
②证明:过点C做x轴垂线交于点G,
易证四边形AEBO、ACGO为矩形
∴,
∴,
∴C落在反比例函数的图象上;
(2)解:∵,,DB=2BE,AC=2AE,
∴设,则,,
∴BD=2BE=2,
∴
∵D在反比例函数上,
∴,
∴,
∴,
∴菱形ABCD的边长为6.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,坐标与图形,求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
21.(1)y1=|x|,图象见解析;(2)①±4;②答案见解析.
【分析】(1)写出函数解析式,画出图象即可;
(2)①分两种情形考虑,求出点A坐标,利用待定系数法即可解决问题;②利用图象法分两种情形即可解决问题.
【详解】(1)由题意y1=|x|,函数图象如图所示:
(2)①当点A在第一象限时,由题意A(2,2),
∴2,
∴k=4,
同法当点A在第二象限时,k=﹣4,
②观察图象可知:当k>0时,x>2时,y1>y2或x<0时,y1>y2.
当k<0时,x<﹣2时,y1>y2或x>0时,y1>y2.
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征,正比例函数的应用等知识,解题的关键是学会利用图象法解决问题,属于中考常考题型.
22.关于轴对称,图见解析
【分析】根据两个反比例函数解析式的右边互为相反数,即函数值互为相反数,则图象关于轴对称,故作出关于 对称的图象即可得出的图象.
【详解】解:根据两个反比例函数解析式的右边互为相反数,即函数值互为相反数,作出关于对称的图象即可得出的图象,如图:
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质,找出与的函数关于轴对称是解题的关键.
23.(1)
(2)
【分析】(1)把点代入反比例函数中,求出m的值,即可得出这个函数的解析式;
(2)分别求出当时,当时y的值,从而得出y的取值范围.
【详解】(1)解:把点代入反比例函数,得
,
解得:,
∴;
(2)解:当时,,
当时,,
∵
∴反比例函数,在每一个象限内,y随x增大而增大,
∴当时, y的取值范围为.
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点,必能满足解析式.
24.点C的坐标为(3,6).
【详解】试题分析:设B、D两点的坐标分别为(1,y)、(x,2),再根据点B与点D在反比例函数y=(x>0)的图象上求出xy的值,进而可得出C的坐标.
解:∵四边形ABCD是矩形,顶点A的坐标为(1,2),
∴设B、D两点的坐标分别为(1,y)、(x,2),
∵点B与点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴y=6,x=3,
∴点C的坐标为(3,6).
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键.
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