5.5用二次函数解决问题同步强化练习（含解析）

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5.5用二次函数解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD最大面积是（ ）
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2
2．烟花厂为扬州烟花三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（　　）
A． B． C． D．
3．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A． B． C． D．
4．如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（ ）
A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2
5．出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出(6－x)个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A． B． C． D．
10．在晋中市中考体育训练期间，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
11．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度(单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数关系(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
x (单位：m)
y (单位：m) 3.05
A． B． C． D．
12．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
二、填空题
13．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．

14．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车 (填“会”或“不会”)有危险．
15．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为 元/件时，每天销售该商品获利最大．
16．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到 ．
17．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ．
三、解答题
18．如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝18cm，BO＝30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．
19．已知将二次函数的图像向上平移4个单位，再向左平移3个单位得到一新的二次函数，其图像与ｘ轴交于A，B两点，与ｙ轴交于C点，顶点为P点．解决下列问题
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求⊿ABC和⊿ABP的面积；
（3）在新函数的图像上是否存在一点Q使得⊿ABQ的面积与⊿ABC的面积相等？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式确定；雨天行驶时，这一公式为.
(1)如果行车速度是70 km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？
(2)如果行车速度分别是60 km/h与80 km/h，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？
(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？
21．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
22．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴的另一个交点为A(－2，0)．
（1）求二次函数的解析式
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，其中点，点，点都在抛物线上，M为抛物线的顶点．
求抛物线的函数解析式；
求的面积；
根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
24．种植户王大伯的大棚种植了许多优质草莓．因受疫情影响，多地封村村路，无法正常销售，于是就进行了网上预订送货销售活动．在销售的30天中，第一天卖出20kg，为了扩大销售，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4kg．第x天的售价为y元/kg，y关于x的解析式为．第12天的售价为32元/kg，第26天的售价为25元/kg．已知种植销售草莓的成本是18元/kg，设第x天的销售量为p kg，利润为W元（利润＝销售收入－成本）．
(1)k＝______，b＝______；
(2)请写出p关于x的函数关系式： ______；
(3)求销售草莓第几天，当天销售利润最大？最大利润是多少元？
《5.5用二次函数解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B C C D C A C
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】试题分析：设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2，表示出y与x的关系式为y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m时，ymax=64m2，即所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．故答案选C．
考点：二次函数的应用．
2．B
【详解】解：h=-t2+20t+1=-（t-4）2+41
-<0
∴这个二次函数图象开口向下，
∴当t=4时，升到最高点，
故选B．
3．A
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解．
【详解】解：解：设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解．
4．B
【详解】根据题意设运动时间为x秒，可得：AP=2xcm，AQ=xcm，
则S==，
则根据题意可知：当x=4cm时，面积有最大值，最大面积为16．
故选：B．
5．C
【分析】先根据题意列出二次函数关系式，再根据求二次函数最值的方法求解即可．
【详解】解：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=x(6-x)=-x2+6x，
当x=-==3时，y有最大值．
当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
故选：C．
【点睛】：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
6．C
【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
【详解】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售辆，总利润为W万元，根据题意得出：
，
∴当时，取最大值，且最大值为46，
∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式，并将函数关系式化为顶点式．
7．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
8．C
【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离a时，如图2，，根据函数关系式即可得到结论．
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵EF⊥BC，ED⊥AC，
∴四边形EFCD是矩形，
∵E是AB的中点，
∴EF=AC，DE=BC，
∴EF=ED，
∴四边形EFCD是正方形，
设正方形的边长为a，如图1，当移动的距离当移动的距离>a 时，如图2，，
∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
9．A
【分析】先根据函数图象可得抛物线与轴的两个交点坐标为和，再设抛物线的解析式为，将点代入即可得．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与轴的两个交点坐标为和，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，即为，
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
10．C
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y= 0时，求x的值即可．
【详解】解:当y=0时， y=-x2+x+ =0，
解得：x1= -2(舍去)，x2= 10，
由此可知该生此次实心球训练的成绩为10 米；
故选:C.
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
11．C
【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案.
【详解】将代入中得
解得
∴
∵
∴当时，
故选C
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
12．A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558，
故选：A．
13． 3 9
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为．
故答案为：3，9
14．会
【分析】由题意把代入即可求得s的值，与80比较即可判断．
【详解】解：在中，当时，
则此时刹车会有危险．
【点睛】本题考查二次函数的应用是初中数学的重点和难点，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握．
15．20
【分析】根据利润=单件利润×销售量可得W=（x-10）（-5x+150），再根据二次函数的性质，用配方法算出售价即可；
【详解】设获利W元，则W=（x-10）·y
∴W=（x-10）（-5x+150）
=-5x2+200x-1500
当x===20时，W的值最大
∴当x=20时，每天销售该商品获利最大．
故答案为：20．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握配方法和二次函数的性质是解决本题的关键．
16．9
【详解】试题分析：设其中一个数为x，则另一个数为(6-x)，则x(6-x)=，则这两个数的积最大可以达到9．
17．4
【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．
【详解】解：当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
18．（1）S=t2﹣18t+270（0＜t≤15）；（2）S有最小值，这个值是189
【分析】（1）根据题意和三角形的面积公式求出S关于t的函数关系式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【详解】解：（1）由题意得，AM=t，ON=2t，则OM=OA-AM=18-t，
四边形ABNM的面积S=△AOB的面积-△MON的面积
=×18×30-×（18-t）×2t
=t2-18t+270（0＜t≤15）；
（2）S=t2-18t+270
=t2-18t+81-81+270
=（t-9）2+189，
∵a=1＞0，
∴S有最小值，这个值是189．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，正确列出二次函数的解析式、掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（1）A（-5，0）、B（-1，0）、C（0，-5）；（2）10，8；（3）存在，Q（-6，-5）
【分析】（1）根据二次函数图象平移左加右减，上加下减即可得到新的二次函数的解析式，再令x为0求出C的坐标，令y为0求出A、B的坐标；
（2）根据二次函数求出其顶点坐标，根据三角形面积公式求解即可；
（3）由△ABQ于△ABC的面积相等可知两个三角形的底都是AB，所以点Q的纵坐标应和点C的纵坐标一样，由此可找出点Q的坐标；
【详解】（1）∵ 图象向上平移4个单位，向左平移3个单位，
∴ 新的二次函数解析式为： ，
∵ 点C为二次函数与y轴的交点，
∴ ，即y=-5，
∴ C(0，-5)，
∵点A、B为二次函数与x轴的交点，
∴ ，即， ，
∴ A(-5，0)、B(-1，0)；
（2）∵A(-5，0)、B(-1，0)，
∴ AB=4 ，
又∵ C(0，-5)，
∴ ，
∵二次函数：，
∴顶点坐标P(-3，4)，
∴，
（3）存在；
假设 ，AB=AB，
∴ 点Q的纵坐标为-5，
∴ ，
∴ （舍去） 或 ，
∴ Q(-6，-5)，
∴存在一点Q使得
【点睛】本题主要考查了二次函数图象左加右减，上加下减、三角形的面积公式，以及面积相等时求动点的坐标；掌握二次函数的性质是解题的关键；
20．（1）49（2）56（3）请司机师傅一定要注意天气情况与车速
【详解】试题分析：
（1）由题意把（km/h）分别代入两个公式计算，并求差可得结果；
（2）把（km/h）和（km/h）分别代入：中计算，再求二者的差即可得到答案；
（3）根据（1）、（2）两问中的结果提出建议即可.
试题解析：
（1）当v=70km/h时，
S晴= 1100v2= 1100×702=49（m），S雨= 150v2=×702=98（m），
∴S雨-S晴=98-49=49（m）．
（2）当v1=80km/h， S1= 150v12=×802=128（m），
当v2=60km/h，S2=v22=×602=72（m），
刹车距离相差：S1-S2=128-72=56（m）．
（3）由（1）中的计算结果可知：在汽车速度相同的情况下，雨天的刹车距离要大于晴大的刹车距离；由（2）中的计算结果可知：在同是雨天的情况下，汽车速度越大，刹车距离也就越大．
因此请司机师傅在行车时一定要注意天气情况与车速．
21．(1)且x为整数．
(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
22．（1）y＝－x2－2x；（2）（3，-3），（1，-3）．
【分析】（1）把点（0，0）和点A（-2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值；
（2）设点P的坐标为（x，-x2-2x），利用三角形的面积公式得到-x2-2x=±3，通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．
【详解】解：（1）∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点（0，0）
∴c=0．
又∵二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（-2，0）
∴-（-2）2-2b+0=0，
∴b=-2．
∴二次函数的解析式：y＝－x2－2x；
（2）存在一点P，满足S△AOP=3．
设点P的坐标为（x，-x2-2x）
∵S△AOP=3
∴×2×|-x2-2x|=3
∴-x2-2x=±3．
当-x2-2x=3时，此方程无解；
当-x2-2x=-3时，
解得 x1=-3，x2=1．
∴点P的坐标为（-3，-3）或（1，-3）．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解（1）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．
23．（1）；（2）15；（3）或．
【详解】试题分析：
（1）将所A、C、D的坐标代入列出方程组，解方程组求得a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据（1）中所得解析式求出点B和点M的坐标，连接OM，即可由S△MCB=S△MOC+S△MOB-S△BOC求得△MCB的面积；
（3）由图形结合点M和点C的坐标写出一次函数图象在二次函数图象上方时所对应的x的取值范围即可.
试题解析：
（1）∵二次函数的图象经过点，点，点，
∴ ，解得： ，
∴该二次函数的解析式为：；
（2）在中，当时，有，解得：，
∴点B的坐标为（5，0），
∵，
∴二次函数图象的顶点M的坐标为：（2，9），
如图，连接OM，BM，则：
S△BMC=S△OMC+S△OMB-S△BOC
=
=15.
（3）由图可知在点C的左侧和点M的右侧时，一次函数的图象在二次函数图象的上方，
∴当一次函数的值大于二次函数的值时，所对应的的取值范围是：或.
点睛：解第2小题时，连接OM、BM，通过S△MCB=S△MOC+S△MOB-S△BOC来间接求得△MCB的面积是解题的方法之一；也可过点M作x轴的垂线交BC于点N，通过求得点N的坐标来求得MN的长度，这样由S△BMC=OB·MN也可求得△BMC的面积；
24．(1)，25
(2)p=4x+16
(3)第18天利润最大，最大利润为968元
【分析】（1）根据题意，得12k-76k=32，计算即可，根据b是常数，b就是第26天的售价．
（2）根据以后每天比前一天多4kg，第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，这就是所求．
（3）分两个时间段，分别求出最值，比较两个最值的大小，下结论即可．
【详解】（1）根据题意，得
12k-76k=32，
解得k= ；
∵ b是常数，b就是第26天的售价，
∴b=25，
故答案为：，25．
（2）∵ 以后每天比前一天多4kg，
∴第x天的销售量就是20+（x-1）×4，整理得4x+16，
∴p=4x+16，
故答案为：p=4x+16．
（3）当1≤x＜20时，
W= (4x+16)( )-(4x+16)×18
=，
故当x=18时，W有最大值，且最大值为968，
即第18天的利润最大，最大利润为968元；
当20≤x≤30时，
W= (4x+16)×25- (4x+16)×18
=28x+112，
根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，
故当x=30时，W有最大值，且最大值为840+112=952，
即第30天的利润最大，最大利润为952元；
∵968＞952，
∴第18天的利润最大，最大利润为968元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和抛物线的性质是解题的关键．
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