第1课时 导数的概念及运算
[考试要求] 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作______________或y′|，即f ′(x0)＝＝．
(2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数)
f ′(x)＝y′＝．
2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为________________________________．
提醒：在点P处有切线，P一定是切点，过点P有切线，P点不一定是切点．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝__
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝__________
f (x)＝sin x f ′(x)＝__________
f (x)＝cos x f ′(x)＝____________
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝____________
f (x)＝ex f ′(x)＝____
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝____
4．导数的运算法则
若f ′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝________________________；
(2)[f (x)g(x)]′＝__________________________________________；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[cf (x)]′＝______________．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[常用结论]
几类重要的切线方程
(1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln (x＋1)的切线，如图①．由图①可知
ln (x＋1)≤x(x＞－1)，ln x≤x－1(x＞0)．
(2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图②．由图②可知ex≥x＋1，ex≥ex．
(3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图③．由图③可知当x∈时，sin x＜x＜tan x．
(4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝x ln x及y＝1－的切线，如图④．由图④可知x ln x≥x－1(x＞0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． ( )
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)． ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( )
(4)函数f (x)＝sin (－x)的导数是f ′(x)＝cos x． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后， 他的重心相对于水面的高度与时间之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋8t＋10(高度单位：m，时间单位：s)，则他在0.5 s时的瞬时速度为( )
A．9.1 m/s B．6.75 m/s
C．3.1 m/s D．2.75 m/s
2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是( )
A．(3x)′＝3x ln 3
B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x
C．′＝
D．(sin xcos x)′＝cos 2x
3．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，f ′(x)是函数f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．2f ′(3)B．2f ′(3)<2f ′(5)C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f (x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为________．
考点一 变化率问题
[典例1] (多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
则下列结论正确的是( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
[听课记录]
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．
[跟进训练]
1．(2024·江苏南通二模)已知f (x)＝x3－x2，当h→0时，→_________．
考点二 导数的运算
[典例2] (1)(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝f ′sin x－cos x，则f ′的值为( )
A．
C．－ D．－
(2)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C．′＝
D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x
[听课记录]
导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
[跟进训练]
2．(1)(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f ′(2)＝( )
A．0 B．－12
C．－120 D．120
(2)(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f ′(2)＝1，则a＝________．
考点三 导数的几何意义
求切线方程
[典例3] (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________，________．
[听课记录]
求参数的值(范围)
[典例4] (1)(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
[听课记录]
导数几何意义的应用要点
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题．
[跟进训练]
3．(1)(2025·安徽宣城模拟)若曲线y＝a ln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝______．
(2)若函数f (x)＝x－＋aln x的图象上存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是________．
(3)若点P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________．
考点四 两曲线的公切线问题
[典例5] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
(2)(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为( )
A．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)
[听课记录]
曲线公切线的求解策略
设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2．
所以解出x1，x2，从而可得公切线方程．
[跟进训练]
4．(1)已知f (x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则曲线f (x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A．(0，2e] B．
C． D．[2e，＋∞)
1．导函数与原函数对称性、周期性的关系
性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称．
性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．
性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数．
2．导函数与原函数奇偶性的关系
性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数．
性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数．
[典例1] 已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则( )
A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数
B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数
C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数
D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数
[赏析] 突破点1：熟知函数的性质
根据题意，定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (－x)＝f (2＋x)，
又f (2＋x)＝－f (2－x)，所以f (－x)＝－f (4＋x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，
所以f ′(x＋4)＝[f (x＋4)]′＝f ′(x)，所以f ′(x)是周期函数．
突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系
因为f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)，
即f (x)＝－f (－x)，
所以f ′(－x)＝－[f (－x)]′＝f ′(x)，
所以f ′(x)是偶函数．
故选B．
[答案] B
[典例2] (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f (0)＝0 B．g＝0
C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2)
[赏析] 突破点：原函数与导函数间的性质关系
因为f ，g(2＋x)均为偶函数，
所以f ＝f ，
即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，则f (－1)＝f (4)，故C正确；
函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f ′(x)，且函数f (x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，
故B正确，D错误；
若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x)的函数值，故A错误．
故选BC．
[答案] BC
求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用．
[跟进训练]
(多选)(2025·湖北武汉模拟)定义在R上的函数f (x)与g(x)的导函数分别为f ′(x)和g′(x)，若g(x)－f (3－x)＝2，f ′(x)＝g′(x－1)，且g(－x＋2)＝－g(x＋2)，则下列说法中一定正确的是( )
A．g(x＋2)为偶函数
B．f ′(x＋2)为奇函数
C．函数f (x)是周期函数
D．＝0
第1课时 导数的概念及运算
梳理·必备知识
1．(1)f ′(x0)
2．斜率 y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
3．0 αxα-1 cos x －sin x axln a ex
4．(1)f ′(x)±g′(x) (2)f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
(3)
(4)cf ′(x)
5．y′u·u′x
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)×
二、1．C [∵h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1．故选C．]
2．ABD
3．A [由题图知，f ′(3)<即2f ′(3)4．y＝(e－1)x＋2 [∵f ′(x)＝ex－，
∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f ′(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2．]
考点一
典例1 ABC [－表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强．
对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；
对于D，甲企业在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．故选ABC．]
跟进训练
1．1 [由导数的定义知，
f ′(1)＝，
由f ′(x)＝3x2－2x，得f ′(1)＝1，
所以当h→0时，→1．]
考点二
典例2 (1)A (2)ABD [(1)f ′(x)＝f ′cos x＋sin x，
∴f ′＝，
∴f ′＝．故选A．
(2)对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于C，′＝
＝，故C错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确．故选ABD．]
跟进训练
2．(1)B (2)e2 [(1)令g(x)＝x(x－1)(x－3)(x－4)(x－5)，
则f (x)＝(x－2)g(x)，
两边求导得f ′(x)＝g(x)＋(x－2)g′(x)，
令x＝2，得f ′(2)＝g(2)＝－12．故选B．
(2)因为f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，
所以f ′(x)＝＋ae－x－axe－x，所以f ′(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-2＝1，则a＝e2．]
考点三
考向1 典例3 (1)C (2)y＝ y＝－
[(1)因为y＝，
所以y′＝＝，
故曲线在点处的切线斜率k＝，
所以切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋．故选C．
(2)当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝．
当x<0时，点(x2，ln (－x2))(x2<0)上的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－．]
考向2 典例4 (1)A (2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) [(1)f ′(x)＝1＋，则f ′(1)＝1＋a，
因为曲线f (x)在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，
所以f ′(1)＝1＋a＝2，解得a＝1．故选A．
(2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
设切点为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝，
∴切线方程为＝(x－x0)，
∵切线过原点，
＝(－x0)，
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，
∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]
跟进训练
3．(1) (2)(－∞，－2] (3) [(1)因为y＝a ln x＋x2(a＞0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，所以＝2，所以a＝．
(2)f ′(x)＝1＋(x>0)，
依题意得f ′(x)＝1＋＝0有解，
即－a＝x＋有解，
∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，∴－a≥2，即a≤－2．
(3)设平行于直线y＝x－3且与曲线y＝x2－2ln x相切的切线对应切点P(x，y)，由y＝x2－2ln x，得y′＝3x－，令y′＝3x－＝1，得x＝1或x＝－(舍去)，
∴P，
∴点P到直线y＝x－3的距离的最小值为＝．]
考点四
典例5 (1)ln 2 (2)A [(1)由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．
由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，
设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，
切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2．
根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．
(2)设曲线y＝tex的切点为M(m，tem)，y＝x2的切点为N(n，n2)，
则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝temx＋tem－mtem，
同理，y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2，
根据y＝tex与y＝x2有两条公切线，
则
所以tem－mtem＝－，
化简可得t＝，
转化为方程t＝有两个解，构造函数f (x)＝，则f ′(x)＝，
当x<2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x>2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
故f (x)在x＝2时有极大值即为最大值，f (2)＝，当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→0，
故t的取值范围为．
故选A．]
跟进训练
4．(1)C (2)B [(1)根据题意，设直线l与曲线f (x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与曲线g(x)相切于点(n，ln n＋1)，
对于f (x)＝ex－1，有f ′(x)＝ex，
则直线l的斜率k＝em，
则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，
即y＝emx＋(1－m)em－1，
对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝，
则直线l的斜率k＝，
则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，
即y＝x＋ln n，则
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，
则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故曲线f (x)与g(x)的公切线有2条．
(2)设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为)，其中x1＞0，
对于y＝ln x－1有y′＝，则曲线y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－2，
对于y＝ax2有y′＝2ax，则曲线y＝ax2的切线方程为＝2ax2(x－x2)，即y＝，
所以则＝ln x1－2，
即＝ln x1(x1＞0)，
令g(x)＝2x2－x2ln x(x＞0)，
则g′(x)＝3x－2x ln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝e^(〖(3) )/2〗，
当x∈(0，)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，且当x→＋∞时，g(x)→－∞，
所以g(x)max＝g()＝e3，故0＜e3，
即a≥e-3．故选B．]
微点突破3
跟进训练
BCD [对于A，由g(－x＋2)＝－g(x＋2)，故g(x＋2)为奇函数，故A错误；
对于B，由g(x)－f (3－x)＝2，
则g′(x)＋f ′(3－x)＝0，
又f ′(x)＝g′(x－1)，即f ′(x＋1)＝g′(x)＝－f ′(3－x)，
即f ′(x＋2)＝－f ′(2－x)，又f ′(x＋2)定义在R上，
故f ′(x＋2)为奇函数，故B正确；
对于C，由g(－x＋2)＝－g(x＋2)，f ′(x)＝g′(x－1)，g(x)－f (3－x)＝2，
所以f (x)＝g(x－1)＋b，则f (－x＋3)＝g(－x＋2)＋b＝－g(x＋2)＋b，
所以g(x)－f (3－x)＝g(x)＋g(x＋2)－b＝2，g(x)＋g(x＋2)＝b＋2，
所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝b＋2，
所以g(x＋4)＝g(x)，
则函数g(x)是周期为4的周期函数，函数f (x)是周期为4的周期函数，故C正确；
对于D，由g(x)是周期为4的周期函数，
由g(－x＋2)＝－g(x＋2)，令x＝0，则g(2)＝－g(2)，即g(2)＝0，
令x＝1，则g(1)＝－g(3)，即g(1)＋g(3)＝0，
由g′(x)＋f ′(3－x)＝0，f ′(－x＋3)＝g′(－x＋2)，
则g′(x)＝－g′(－x＋2)，则g′(x)的图象关于点(1，0)对称，
则g(x)的图象关于直线x＝1对称，又g(x＋2)为奇函数，即g(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故g(x)的图象关于直线x＝3对称，则g(4)＝g(2)＝0，
则＝506[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＝506×0＝0，故D正确．故选BCD．]
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第三章 一元函数的导数及其应用
第三章 一元函数的导数及其应用
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新高考卷三年考情图解
第三章 一元函数的导数及其应用
高考命题规律把握
1．常考点：导数的几何意义、函数的单调性、函数的极值、不等式与导数．
(1)导数的几何意义常以选择、填空题形式出现；
(2)函数的单调性、不等式与导数常以压轴题形式出现．
2．轮考点：函数的最值、零点与导数．
常综合考查函数的极值、最值、零点与导数的关系，着重分类讨论思想的考查．
第1课时
导数的概念及运算
[考试要求] 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．
2．通过函数图象，理解导数的几何意义．
3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数．
链接教材·夯基固本
1．导数的概念
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作_______或y′，即f ′(x0)＝＝．
(2)函数y＝f (x)的导函数(简称导数)
f ′(x)＝y′＝．
f ′(x0)
2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，
f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为____________________．
提醒：在点P处有切线，P一定是切点，过点P有切线，P点不一定是切点．
斜率
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝_
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝_____
f (x)＝sin x f ′(x)＝_____
f (x)＝cos x f ′(x)＝______
0
αxα-1
cos x
－sin x
基本初等函数 导函数
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝______
f (x)＝ex f ′(x)＝__
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
axln a
ex
4．导数的运算法则
若f ′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝____________；
(2)[f (x)g(x)]′＝_____________________；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[cf (x)]′＝_______．
f ′(x)±g′(x)
f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
cf ′(x)
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
y′u·u′x
[常用结论]
几类重要的切线方程
(1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln (x＋1)的切线，如图①．由图①可知
ln (x＋1)≤x(x＞－1)，ln x≤x－1(x＞0)．
(2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图②．由图②可知ex≥x＋1，ex≥ex．
(3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图③．由图③可知当x∈时，sin x＜x＜tan x．
(4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝x ln x及y＝1－的切线，如图④．由图④可知x ln x≥x－1(x＞0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． ( )
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)． ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( )
(4)函数f (x)＝sin (－x)的导数是f ′(x)＝cos x． ( )
×
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后， 他的重心相对于水面的高度与时间之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋8t＋10(高度单位：m，时间单位：s)，则他在0.5 s时的瞬时速度为( )
A．9.1 m/s B．6.75 m/s
C．3.1 m/s D．2.75 m/s
C [∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1．故选C．]
2．(多选)(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1改编)下列求导正确的是( )
A．(3x)′＝3x ln 3
B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x
C．′＝
D．(sin xcos x)′＝cos 2x
√
√
√
3．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，f ′(x)是函数f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．2f ′(3)B．2f ′(3)<2f ′(5)C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)√
A [由题图知，f ′(3)<即2f ′(3)4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f (x)＝ex＋的图象在x＝1处的切线方程为_____________．
y＝(e－1)x＋2 [∵f ′(x)＝ex－，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f ′(1)＝e－1，切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2．]
y＝(e－1)x＋2
考点一 变化率问题
[典例1] (多选)环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
典例精研·核心考点
则下列结论正确的是( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
√
√
√
ABC [－表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强．
对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数比乙企业大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；
对于D，甲企业在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．故选ABC．]
名师点评 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，如果当Δx趋于0时，无限趋近于一个常数，那么这个常数就是函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率．求函数的瞬时变化率可以利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．
[跟进训练]
1．(2024·江苏南通二模)已知f (x)＝x3－x2，当h→0时，→_________．
1 [由导数的定义知，f ′(1)＝，
由f ′(x)＝3x2－2x，得f ′(1)＝1，
所以当h→0时，→1．]
1
【教用·备选题】
1．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝sin 2t＋t，则t＝3 s时，此木块在水平方向上的瞬时速度为( )
A．(2＋cos 6)m/s B．2cos 6 m/s
C．(1＋2cos 6)m/s D．cos 6 m/s
√
C [下滑的水平距离s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s＝sin 2t＋t，
s′＝2cos 2t＋1，所以t＝3 s时，此木块在水平方向上的瞬时速度为(1＋2cos 6)m/s．故选C．]
2．(多选)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的关系为r(V)，r′为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1A．<
B．r′>r′
C．r<
D．存在V0∈，使得r′＝
√
√
BD [对于A，设tan α＝，tan θ＝，
由题图得θ＜α＜，所以tan α>tan θ，
所以>，所以该选项错误；
对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小，
根据导数的几何意义，得r′>r′，所以该选项正确；
对于C，设V1＝0，V2＝3，所以r＝r，＝，因为r－r(0)>r(3)－r，所以r>，所以该选项错误；
对于D，表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈，所以可以平移直线AB，使之和曲线r(V)相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD．]
考点二 导数的运算
[典例2] (1)(2025·河北冀州中学模拟)已知函数f (x)满足f (x)＝
f ′sin x－cos x，则f ′的值为( )
A．
C．－ D．－
√
(2)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C．′＝
D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x
√
√
√
(1)A (2)ABD [(1)f ′(x)＝f ′cos x＋sin x，
∴f ′＝， ∴f ′＝．故选A．
(2)对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于C，′＝＝，故C错误；
对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确．故选ABD．]
名师点评 导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
[跟进训练]
2．(1)(2025·广东肇庆模拟)已知函数f (x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f ′(2)＝( )
A．0 B．－12
C．－120 D．120
(2)(2025·广东广州模拟)已知函数f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，若f ′(2)＝1，则a＝________．
√
e2
(1)B (2)e2 [(1)令g(x)＝x(x－1)(x－3)(x－4)(x－5)，
则f (x)＝(x－2)g(x)，
两边求导得f ′(x)＝g(x)＋(x－2)g′(x)，
令x＝2，得f ′(2)＝g(2)＝－12．故选B．
(2)因为f (x)＝ln (2x－3)＋axe－x，
所以f ′(x)＝＋ae－x－axe－x，所以f ′(2)＝2＋ae-2－2ae-2＝2－ae-2＝1，则a＝e2．]
考点三 导数的几何意义
考向1 求切线方程
[典例3] (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|经过坐标原点的两条切线方程分别为________，________．
√
y＝
y＝－
(1)C (2)y＝ y＝－ [(1)因为y＝，
所以y′＝＝，
故曲线在点处的切线斜率k＝，
所以切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋．故选C．
(2)当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝．
当x<0时，点(x2，ln (－x2))(x2<0)上的切线为y－ln (－x2)＝(x－x2)．若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－．]
考向2 求参数的值(范围)
[典例4] (1)(2024·浙江绍兴二模)曲线f (x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________．
√
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
(1)A (2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) [(1)f ′(x)＝1＋，则f ′(1)＝1＋a，因为曲线f (x)在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，
所以f ′(1)＝1＋a＝2，解得a＝1．故选A．
(2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
设切点为(x0，y0)，则y0＝，
切线斜率k＝，
∴切线方程为＝(x－x0)，
∵切线过原点，
∴ ＝(－x0)，
整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，
∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]
【教用·备选题】
(1)已知直线y＝x－1与曲线y＝ex＋a相切，则实数a的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
(2)若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则( )
A．a＜ln b B．b＜ln a
C．ln b＜a D．ln a＜b
√
√
(1)A (2)D [(1)设切点为(x0，y0)，易知y′＝ex＋a，则
解得
故选A．
(2)设切点坐标为(x0，ln x0)，
由于y′＝，因此切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
又切线过点(a，b)，则b－ln x0＝，
即b＋1＝ln x0＋，
则b＋1＝ln x0＋有两个不等实根，
设f (x)＝ln x＋，x＞0，
即直线y＝b＋1与曲线f (x)＝ln x＋在(0，＋∞)上有两个不同的交点．
f ′(x)＝＝，
当a≤0时，f ′(x)＞0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
当a＞0时，若0＜x＜a，则f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
若x＞a，则f ′(x)＞0，f (x)单调递增．
所以f (x)min＝f (a)＝ln a＋1，
由题意知b＋1＞ln a＋1，即b＞ln a．故选D．]
名师点评 导数几何意义的应用要点
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)函数f (x)过某点(m，n)有若干条切线，转化为关于切点的方程(高次)根的个数问题．
[跟进训练]
3．(1)(2025·安徽宣城模拟)若曲线y＝a ln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝______．
(2)若函数f (x)＝x－＋aln x的图象上存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是___________．
(3)若点P是曲线y＝x2－2ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－3的距离的最小值为________．
(－∞，－2]
(1) (2)(－∞，－2] (3) [(1)因为y＝a ln x＋x2(a＞0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，所以＝2，所以a＝．
(2)f ′(x)＝1＋(x>0)，
依题意得f ′(x)＝1＋＝0有解，
即－a＝x＋有解，∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
∴－a≥2，即a≤－2．
(3)设平行于直线y＝x－3且与曲线y＝x2－2ln x相切的切线对应切点P(x，y)，由y＝x2－2ln x，得y′＝3x－，令y′＝3x－＝1，得x＝1或x＝－(舍去)，
∴P，
∴点P到直线y＝x－3的距离的最小值为＝．]
考点四 两曲线的公切线问题
[典例5] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
(2)(2025·福建泉州模拟)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为( )
A．
C．(－∞，0) D．(－∞，0)
√
ln 2
(1)ln 2 (2)A [(1)由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1．
由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，
设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，
由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，
切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2．
根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．
(2)设曲线y＝tex的切点为M(m，tem)，y＝x2的切点为N(n，n2)，
则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝temx＋tem－mtem，
同理，y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2，
根据y＝tex与y＝x2有两条公切线，
则所以tem－mtem＝－，
化简可得t＝，
转化为方程t＝有两个解，构造函数f (x)＝，则f ′(x)＝，
当x<2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；当x>2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，故f (x)在x＝2时有极大值即为最大值，f (2)＝，
当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→0，
故t的取值范围为．故选A．]
名师点评 曲线公切线的求解策略
设直线与曲线y＝f (x)相切于点(x1，f (x1))，与曲线y＝g(x)相切于点(x2，g(x2))，则切线方程为y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，即y＝f ′(x1)x＋f (x1)－f ′(x1)x1，同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2．
所以解出x1，x2，从而可得公切线方程．
[跟进训练]
4．(1)已知f (x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则曲线f (x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A．(0，2e] B．
C． D．[2e，＋∞)
√
√
(1)C (2)B [(1)根据题意，设直线l与曲线f (x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与曲线g(x)相切于点(n，ln n＋1)，对于f (x)＝ex－1，有f ′(x)＝ex，
则直线l的斜率k＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，
即y＝emx＋(1－m)em－1，对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝，
则直线l的斜率k＝，则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，
即y＝x＋ln n，则
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，
则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故曲线f (x)与g(x)的公切线有2条．
(2)设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为，其中x1＞0，
对于y＝ln x－1有y′＝，则曲线y＝ln x－1的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－2，
对于y＝ax2有y′＝2ax，则曲线y＝ax2的切线方程为＝2ax2(x－x2)，即y＝，
所以则＝ln x1－2，
即＝ln x1(x1＞0)，
令g(x)＝2x2－x2ln x(x＞0)，
则g′(x)＝3x－2x ln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝，
当x∈(0，)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，且当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以g(x)max＝g()＝e3，故0＜e3，
即a≥e-3．故选B．]
【教用·备选题】
已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若两函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5
C．1 D．0
√
C [根据题意，设两曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f (x)＝－2x2＋m，可得f ′(x)＝－4x，
则切线的斜率k＝f ′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，
则切线的斜率k＝g′(a)＝－－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)，
又由g(1)＝－1，得公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f (x)＝－2x2＋m，可得m＝1．故选C．]
1．导函数与原函数对称性、周期性的关系
性质1：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于直线x＝a对称 导函数f ′(x)的图象关于点(a，0)对称．
性质2：若函数f (x)连续且可导，则f (x)的图象关于点(a，f (a))对称 导函数f ′(x)的图象关于直线x＝a对称．
性质3：f (x)的图象是周期为T的周期函数 f ′(x)的图象是周期为T的周期函数．
2．导函数与原函数奇偶性的关系
性质1：若f (x)为偶函数且可导，则f ′(x)为奇函数．
性质2：若f (x)为奇函数且可导，则f ′(x)为偶函数．
[典例1] 已知定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，且f (2＋x)＝－f (2－x)，f ′(x)是f (x)的导数，则( )
A．f ′(x)是奇函数，且是周期函数
B．f ′(x)是偶函数，且是周期函数
C．f ′(x)是奇函数，且不是周期函数
D．f ′(x)是偶函数，且不是周期函数
√
[赏析] 突破点1：熟知函数的性质
根据题意，定义在R上的函数f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，所以f (－x)＝f (2＋x)，
又f (2＋x)＝－f (2－x)，所以f (－x)＝－f (4＋x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)，即f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，所以f (x)是周期为4的周期函数，
所以f ′(x＋4)＝[f (x＋4)]′＝f ′(x)，所以f ′(x)是周期函数．
突破点2：导函数与原函数的奇偶性关系
因为f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)，
即f (x)＝－f (－x)，
所以f ′(－x)＝－[f (－x)]′＝f ′(x)，
所以f ′(x)是偶函数．
故选B．
[典例2] (多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则
( )
A．f (0)＝0 B．g＝0
C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2)
√
√
[赏析] 突破点：原函数与导函数间的性质关系
因为f ，g(2＋x)均为偶函数，
所以f ＝f ，
即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，则f (－1)＝f (4)，故C正确；
函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称，
又g(x)＝f ′(x)，且函数f (x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，
故B正确，D错误；
若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x)的函数值，故A错误．
故选BC．
名师点评 求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的内化条件，体会赋值法在解题中的应用．
[跟进训练]
(多选)(2025·湖北武汉模拟)定义在R上的函数f (x)与g(x)的导函数分别为f ′(x)和g′(x)，若g(x)－f (3－x)＝2，f ′(x)＝g′(x－1)，且g(－x＋2)＝－g(x＋2)，则下列说法中一定正确的是( )
A．g(x＋2)为偶函数
B．f ′(x＋2)为奇函数
C．函数f (x)是周期函数
D．
＝0
√
√
√
BCD [对于A，由g(－x＋2)＝－g(x＋2)，故g(x＋2)为奇函数，故A错误；
对于B，由g(x)－f (3－x)＝2，则g′(x)＋f ′(3－x)＝0，
又f ′(x)＝g′(x－1)，即f ′(x＋1)＝g′(x)＝－f ′(3－x)，
即f ′(x＋2)＝－f ′(2－x)，又f ′(x＋2)定义在R上，
故f ′(x＋2)为奇函数，故B正确；
对于C，由g(－x＋2)＝－g(x＋2)，f ′(x)＝g′(x－1)，g(x)－f (3－x)＝2，
所以f (x)＝g(x－1)＋b，则f (－x＋3)＝g(－x＋2)＋b＝－g(x＋2)＋b，
所以g(x)－f (3－x)＝g(x)＋g(x＋2)－b＝2，g(x)＋g(x＋2)＝b＋2，
所以g(x＋2)＋g(x＋4)＝b＋2，
所以g(x＋4)＝g(x)，
则函数g(x)是周期为4的周期函数，函数f (x)是周期为4的周期函数，故C正确；
对于D，由g(x)是周期为4的周期函数，由g(－x＋2)＝－g(x＋2)，令x＝0，则g(2)＝－g(2)，即g(2)＝0，令x＝1，则g(1)＝－g(3)，即g(1)＋g(3)＝0，由g′(x)＋f ′(3－x)＝0，f ′(－x＋3)＝g′(－x＋2)，
则g′(x)＝－g′(－x＋2)，则g′(x)的图象关于点(1，0)对称，
则g(x)的图象关于直线x＝1对称，又g(x＋2)为奇函数，即g(x)的图象关于点(2，0)中心对称，故g(x)的图象关于直线x＝3对称，则g(4)＝g(2)＝0，
则 ＝506＝506×0＝0，故D正确．故选BCD．]
章末综合测评(一) 动量守恒定律
题号
1
3
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2
4
6
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9
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12
13
√
14
15
一、单项选择题
1．已知直线l：y＝x＋1，且与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，则的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
课后作业(十七) 导数的概念及运算
题号
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C [由直线l：y＝x＋1与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，知f ′(2)＝1．
由导数的定义知，＝f ′(2)＝1．故选C．]
题号
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√
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2．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A．
C．
题号
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A [f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A．]
题号
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3．(2025·安徽合肥模拟)若函数f (x)＝与g(x)＝ex-a－b的图象在x＝1处有相同的切线，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
题号
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D [因为f (x)＝，g(x)＝ex－a－b，
则f ′(x)＝，g′(x)＝ex－a，
可得f (1)＝0，g(1)＝e1-a－b，f ′(1)＝1，g′(1)＝e1-a，
因为f (x)，g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，
即切点为(1，0)，切线斜率k＝1，
所以解得所以a＋b＝2．故选D．]
题号
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1
√
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15
4．若过点P(m，0)与曲线f (x)＝相切的直线只有2条，则m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
题号
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D [设过点P(m，0)的直线与曲线f (x)＝切于点Q，由f (x)＝，可得f ′(x)＝－，所以切线PQ的斜率k＝－＝，
整理得t2＋(1－m)t＋1＝0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2＋(1－m)t＋1＝0有2个不等实根，
则Δ＝(1－m)2－4>0，解得m>3或m<－1，
所以m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D．]
题号
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1
√
14
15
5．若P为函数f (x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．
题号
2
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15
D [设P点坐标为(x0，y0)，
由f (x)＝ex－x，x∈R，得f ′(x)＝ex－，
则以P为切点的切线斜率为－>－，
令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－，
则θ∈．故选D．]
题号
2
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√
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6．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，
f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为( )
A．1.438 B．1.417
C．1.416 D．1.375
题号
2
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15
B [f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，所以函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝－2＝，
因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417．
故选B．]
题号
2
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√
14
15
二、多项选择题
7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝e－x
C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x
√
题号
2
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15
AC [若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)有解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC．]
题号
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√
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8．对于函数f (x)＝ln x－1，则下列判断正确的是( )
A．直线y＝是f (x)过原点的一条切线
B．f (x)关于y＝x对称的函数是y＝ex-1
C．若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则ln a＜b＋1
D．f (x)≤x－2
√
√
题号
2
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ACD [对于A，设切点为(m，ln m－1)，
则k＝f ′(m)＝＝，
∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2，∴m＝e2，k＝．
∴过原点的切线方程为y＝，故A正确；
对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x ey+1＝x，故与f (x)关于y＝x对称的函数为y＝ex+1，故B错误；
对于C，若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则点(a，b)在f (x)上方，如图所示，
题号
2
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即b＞f (a)，即b＞ln a－1，故C正确；
对于D，由于 x＞0，设g(x)＝x－ln x－1 g′(x)＝，
令g′(x)＞0 x＞1，令g′(x)＜0 0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴g(x)≥g(1)＝0 ln x≤x－1 f (x)≤x－2，
故D正确．故选ACD．]
题号
9
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15
三、填空题
9．若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝________．
26
题号
9
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26 [设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m)．
对于函数y＝x2－3ln x，y′＝2x－，则2b－＝－1，
解得b＝1或b＝－(舍去)．
所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2．
对于函数y＝x3＋nx－52，y′＝3x2＋n，则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，则a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26．]
题号
9
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15
10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝g′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝．曲线f (x)＝ln x－cos (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________．
0
题号
9
2
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15
0 [因为f (x)＝ln x－cos (x－1)，
所以f ′(x)＝＋sin (x－1)，g′(x)＝－＋cos (x－1)，
则f ′(1)＝＋sin 0＝1，g′(1)＝－＋cos 0＝0，
所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝0．]
题号
9
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四、解答题
11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
题号
9
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[解] (1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b，又两曲线都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线，
∴解得a＝1，b＝2，c＝－1．
(2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2，则y′|x＝1＝4，
∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0．
题号
9
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则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2．
∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝．
(3)由y＝ln (bx－1)＝ln (2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1．
∴y＝ln (2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝．
题号
9
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12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
题号
9
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15
[解] f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1．
(2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－．
所以a的取值范围为．
题号
9
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13．(2024·广东茂名一模)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
题号
9
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B [两个函数求导分别为y′＝，y′＝2x＋2a，
设y＝ln x，y＝x2＋2ax的图象上的切点分别为＋2ax2)，x1＞0，则过这两点的切线方程分别为y＝x＋ln x1－1，y＝，
则＝2x2＋2a，ln x1－1＝，所以2a＝－2x2，
设f (x)＝－2x，f ′(x)＝2(x－1)，f ′(1)＝0，
令g(x)＝f ′(x)＝2(x－1)，所以g′(x)＝2(2x2＋1) >0，
所以g(x)在R上单调递增，且f ′(1)＝0，
则f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以2a≥f (1)＝－1，即a≥－．故选B．]
题号
9
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14．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f (x)的图象在点A(x1，f (x1))和点B(x2，f (x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是________．
(0，1)
题号
9
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3
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1
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15
(0，1) [当x＜0时，f (x)＝1－ex，f ′(x)＝－ex，
f (x)在点)处的切线斜率为k1＝，
当x＞0时，f (x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，f (x)在点－1)处的切线斜率为k2＝，
由f (x)的图象在A，B两点处的切线互相垂直 k1k2＝＝－1，
∴x1＋x2＝0，x1＜0，x2＞0，
∴＝＝＝∈(0，1)，
故的取值范围是(0，1)．]
题号
9
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15．已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①＝1；②＝e，则依据这两个公式，类比求＝_________；＝ ________．
e2
1
题号
9
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15
1 e2 [由极限的定义知，①＝1；②＝e，
因为＝，令t＝2x，可得＝，
则＝＝1；
又因为＝，令t＝sin 2x，可得＝，所以＝＝＝e2．]
谢 谢！课后作业(十七) 导数的概念及运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．已知直线l：y＝x＋1，且与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，则的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A．
C．
3．(2025·安徽合肥模拟)若函数f (x)＝与g(x)＝ex-a－b的图象在x＝1处有相同的切线，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．若过点P(m，0)与曲线f (x)＝相切的直线只有2条，则m的取值范围是( )
A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．若P为函数f (x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．
6．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为( )
A．1.438 B．1.417
C．1.416 D．1.375
二、多项选择题
7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝e－x
C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x
8．对于函数f (x)＝ln x－1，则下列判断正确的是( )
A．直线y＝是f (x)过原点的一条切线
B．f (x)关于y＝x对称的函数是y＝ex-1
C．若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则ln a＜b＋1
D．f (x)≤x－2
三、填空题
9．若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝________．
10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝g′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝．曲线f (x)＝ln x－cos (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________．
四、解答题
11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
13．(2024·广东茂名一模)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是( )
A．
C．
14．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f (x)的图象在点A(x1，f (x1))和点B(x2，f (x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是________．
15．已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①＝1；②＝e，则依据这两个公式，类比求＝_________；＝ ________．
课后作业(十七)
A组 在基础中考查学科功底
1．C [由直线l：y＝x＋1与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，知f ′(2)＝1．
由导数的定义知，limΔx→0＝f ′(2)＝1．故选C．]
2．A [f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A．]
3．D [因为f (x)＝，g(x)＝ex－a－b，
则f ′(x)＝，g′(x)＝ex－a，
可得f (1)＝0，g(1)＝e1-a－b，f ′(1)＝1，g′(1)＝e1-a，
因为f (x)，g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，
即切点为(1，0)，切线斜率k＝1，
所以解得所以a＋b＝2．故选D．]
4．D [设过点P(m，0)的直线与曲线f (x)＝切于点Q，
由f (x)＝，可得f ′(x)＝－，所以切线PQ的斜率k＝－＝，
整理得t2＋(1－m)t＋1＝0，
因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2＋(1－m)t＋1＝0有2个不等实根，
则Δ＝(1－m)2－4>0，解得m>3或m<－1，
所以m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D．]
5．D [设P点坐标为(x0，y0)，
由f (x)＝ex－x，x∈R，得
f ′(x)＝ex－，
则以P为切点的切线斜率为－>－，
令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－，
则θ∈．故选D．]
6．B [f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，所以函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)，
令y＝0，得x1＝，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝－2＝，
因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417．故选B．]
7．AC [若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)有解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC．]
8．ACD [对于A，设切点为(m，ln m－1)，
则k＝f ′(m)＝＝，
∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2，
∴m＝e2，k＝．
∴过原点的切线方程为y＝，故A正确；
对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x ey+1＝x，故与f (x)关于y＝x对称的函数为y＝ex+1，故B错误；
对于C，若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则点(a，b)在f (x)上方，如图所示，
即b＞f (a)，即b＞ln a－1，故C正确；
对于D，由于 x＞0，设g(x)＝x－ln x－1 g′(x)＝，
令g′(x)＞0 x＞1，令g′(x)＜0 0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴g(x)≥g(1)＝0 ln x≤x－1 f (x)≤x－2，
故D正确．故选ACD．]
9．26 [设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m)．
对于函数y＝x2－3ln x，y′＝2x－，
则2b－＝－1，
解得b＝1或b＝－(舍去)．
所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2．
对于函数y＝x3＋nx－52，
y′＝3x2＋n，
则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，则a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，
故m－n＝26．]
10．0 [因为f (x)＝ln x－cos (x－1)，
所以f ′(x)＝＋sin (x－1)，g′(x)＝－＋cos (x－1)，
则f ′(1)＝＋sin 0＝1，g′(1)＝－＋cos 0＝0，
所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝0．]
11．解：(1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b，
又两曲线都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线，
∴解得a＝1，b＝2，c＝－1．
(2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2，
则y′|x＝1＝4，
∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0．
则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2．
∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝．
(3)由y＝ln (bx－1)＝ln (2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1．
∴y＝ln (2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝．
12．解：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或1．
(2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－．
所以a的取值范围为∪．
B组 在综合中考查关键能力
13．B [两个函数求导分别为y′＝，y′＝2x＋2a，
设y＝ln x，y＝x2＋2ax的图象上的切点分别为＋2ax2)，x1＞0，
则过这两点的切线方程分别为y＝x＋ln x1－1，y＝，
则＝2x2＋2a，ln x1－1＝，所以2a＝－2x2，
设f (x)＝ex2－1－2x，f ′(x)＝2(xex2－1－1)，f ′(1)＝0，
令g(x)＝f ′(x)＝2(xex2－1－1)，所以g′(x)＝2(2x2＋1)ex2－1>0，
所以g(x)在R上单调递增，且f ′(1)＝0，
则f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以2a≥f (1)＝－1，即a≥－．故选B．]
14．(0，1) [当x＜0时，f (x)＝1－ex，f ′(x)＝－ex，
f (x)在点)处的切线斜率为k1＝，
当x＞0时，f (x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，f (x)在点－1)处的切线斜率为k2＝，
由f (x)的图象在A，B两点处的切线互相垂直 k1k2＝＝－1，
∴x1＋x2＝0，x1＜0，x2＞0，
∴＝＝＝∈(0，1)，故的取值范围是(0，1)．]
15．1 e2 [由极限的定义知，①＝1；②＝e，
因为＝，令t＝2x，可得＝，
则＝＝1；
又因为＝，令t＝sin 2x，可得＝，
所以＝＝]2＝e2．]
1/1
