导数中的函数构造及指、对同构问题
题型一 导数型构造函数
利用f (x)与x构造
[典例1] (1)设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f ′(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式x2f (x)>3的解集为________．
[听课记录]
(1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)．
[跟进训练]
1．已知偶函数f (x)(x≠0)的导函数为f ′(x)，且满足f (－1)＝0，当x＞0时，2f (x)＞xf ′(x)，则使得f (x)＞0成立的x的取值范围是________．
利用f (x)与ex(或enx)构造
[典例2] (1)(2025·江苏常州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)
xex的解集是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
(2)设函数f (x)的定义域为R，f ′(x)是其导函数，若f (x)＋f ′(x)>0，f (1)＝1，则不等式f (x)>e1-x的解集是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，1)
[听课记录]
(1)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(2)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)．
[跟进训练]
2．若定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，f (0)＝1，则不等式f (x)＞e2x的解集为________．
利用f (x)与sin x，cos x构造
[典例3] 已知f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．fB．f>f
C．f (－1)D．f>f
[听课记录]
与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下：
F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x；
F (x)＝，F ′(x)＝；
F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x；
F (x)＝，F ′(x)＝．
[跟进训练]
3．定义在上的函数f (x)，f ′(x)是它的导函数，且恒有f (x)＜f ′(x)tanx成立，则( )
A．f＞f B．f (1)＜2fsin 1
C．f＞f f＜f
题型二 依据数值特征构造具体函数
[典例4] (1)设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000, c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
(2)已知a＝e0.8＋1，b＝，c＝ln (0.8e3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞c＞b B．c＞b＞a
C．b＞a＞c D．a＞b＞c
[听课记录]
当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
[跟进训练]
4．(1)已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则( )
A．bC．a(2)实数e3，3π，π3的大小关系为________．(用“＜”连接)
题型三 同构函数
地位同等同构
[典例5] (多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )
A．ea－ebC．[听课记录]
地位同等同构策略
对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有：
原式 转化 构造函数
＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数
＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数
[跟进训练]
5．已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－e2] B．(－∞，－e]
C．[－2，－1] D．(－∞，－2]
指对混合型的同构
[典例6] (1)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e B．b>ea
C．ab(2)若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－∞，e]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
[听课记录]
1．指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)．
2．三种基本模式：
①积型：
aea≤b ln b
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知．
②商型：
<
③和差型：
ea±a>b±ln b
如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1 eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1) ax＞ln (x＋1)．
特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有：
①aeax>ln x axeax>x ln x；
②ex>a ln (ax－a)－a ex>ln [a(x－1)]－1 ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1
ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)；
③ax>logax ex ln a> (x ln a)ex ln a>x ln x．
[跟进训练]
6．已知当x≥e时，不等式xa＋－≥a ln x恒成立，则正实数a的最小值为 ________．
重点培优课3 导数中的函数构造及指、对同构问题
题型一
考向1 典例1 (1)A (2)(0，2)
[(1)令g(x)＝，
则g′(x)＝，
所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
又f (1)＝－f (－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0．
而f (x)>0等价于
或
即 或所以x<－1或0所以f (x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．
(2)由题意，令g(x)＝x2f (x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (2)＝，∴g(2)＝4f (2)＝3．
∴x2f (x)>3，即g(x)>g(2)，
∴原不等式的解集为(0，2)．]
跟进训练
1．(－1，0)∪(0，1) [构造F (x)＝，
则F ′(x)＝，
当x＞0时，xf ′(x)－2f (x)＜0，则F ′(x)＜0，F (x)在(0，＋∞)上单调递减．
∵f (x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F (x)为偶函数，∴F (x)在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F (x)的图象如图所示，根据图象可知f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．]
考向2 典例2 (1)A (2)B [(1)构造函数g(x)＝－x，则g′(x)＝－1，因为f ′(x)－f (x)xex可得－x>0，即g(x)>g(1)，解得x<1，所以不等式f (x)>xex的解集是(－∞，1)．故选A．
(2)构造函数g(x)＝f (x)·ex，则g′(x)＝[f ′(x)＋f (x)]·ex>0，
故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e, f (x)>e1-x可化为g(x)>e＝g(1)，
故原不等式的解集为(1，＋∞)．故选B．]
跟进训练
2．(0，＋∞) [构造函数F (x)＝，
则F ′(x)＝
＝，
∵函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，
则F ′(x)＞0，F (x)在R上单调递增．
又∵f (0)＝1，则F (0)＝1，∴f (x)＞e2x ＞1 F (x)＞F (0)，根据单调性得x＞0．
故原不等式的解集为(0，＋∞)．]
考向3 典例3 A [令g(x)＝，x∈，
则g′(x)＝，
又对于任意的x∈满足f ′(x)cosx＋f (x)sin x＞0，则g′(x)＞0，
故g(x)在上单调递增，
而f (x)－f (－x)＝0，故g(－x)＝＝＝g(x)，故g(x)是偶函数，
故g＝g即<<＝<<，
故A正确，BCD错误．
故选A．]
跟进训练
3．D [f (x)＜f ′(x)tan x f ′(x)sin x－f (x)·cos x＞0，x∈，令F (x)＝，
则F ′(x)＝＞0，
即函数F (x)在上单调递增．
A项，F＜F，即＜，
∴f＜f，故A项错误；
B项，F (1)＞F，即＞，
∴f (1)＞2fsin 1，故B项错误；
C项，F＜F，即＜，∴f＜f，故C项错误；
D项，F＜F，即＜，∴f＜f，故D项正确．故选D．]
题型二
典例4 (1)B (2)D [(1)设f (x)＝(1 000－x)ln (1 000＋x)，x∈[－1，1]，当x∈[－1，1]时，f ′(x)＝－ln (1 000＋x) ＋<0，所以函数f (x)在[－1，1]上单调递减，所以f (－1)＝1 001ln 999>f (0)＝1 000ln 1 000>f (1)＝999ln 1 001，所以c>b>a．故选B．
(2)由题意得，a＝e0.8＋1，b＝0.8＋2，c＝ln 0.8＋3，构造函数y1＝ex＋1，y2＝x＋2，y3＝ln x＋3，
令f (x)＝y1－y2＝ex－x－1，x∈(0，1)，则f ′(x)＝ex－1＞0，所以f (x)在(0，1)上单调递增，所以f (0.8)＞f (0)＝0，所以e0.8－0.8－1＞0，所以e0.8＋1＞0.8＋2，所以a＞b．
令g(x)＝y2－y3＝x－ln x－1，x∈(0，1)，则g′(x)＝1－＝＜0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(0.8)＞g(1)＝0，所以0.8－ln 0.8－1＞0，所以0.8＋2＞ln 0.8＋3，所以b＞c，所以a＞b＞c．故选D． ]
跟进训练
4．(1)A (2)e3＜π3＜3π [(1)设函数f (x)＝x ln x，f ′(x)＝1＋ln x，当x∈时，f ′(x)>0，此时f (x)单调递增，当x∈时，f ′(x)<0，此时f (x)单调递减，由题＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，得a ln a＝ln ，b ln b＝ln ，c ln c＝ln ＝ln ，
因为<<<，
所以ln >ln >ln ，
则a ln a>c ln c>b ln b，且a，b，c∈，所以a>c>b．故选A．
(2)设f (x)＝，则f ′(x)＝，
当x＞e时，f ′(x)＜0，
所以f (x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以f (3)＞f (π)，即＞，
所以πln 3＞3ln π，
所以ln 3π＞ln π3，即3π＞π3．
因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，e＜π，
所以e3＜π3，所以e3＜π3＜3π．]
题型三
考向1 典例5 CD [由2a>2b>1，得a>b>0．对于A，设y＝ex－ln x且x∈(0，＋∞)，则y′＝ex－，故＝－2<0，y′|x＝1＝e－1>0，即y′＝ex－在上存在零点且y′＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝ex－ln x在(0，＋∞)上不单调，则ea－ln a0，y＝单调递增；当x∈(e，＋∞)时，y′<0，y＝单调递减．故y＝在(0，＋∞)上不单调，则<不一定成立，排除B；对于C，设y＝xex且x∈(0，＋∞)，则y′＝ex(x＋1)>0，即y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，所以aea>beb，即b－sin b，即<1，D正确．]
跟进训练
5．D [由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax＋＝，又a≤－1，故f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，不妨设x1≥x2，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，即f (x1)－f (x2)≤4(x2－x1)，f (x1)＋4x1≤f (x2)＋4x2，令g(x)＝f (x)＋4x，由上可知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，则g′(x)＝2ax＋＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立，
从而a≤恒成立，设h(x)＝，
则h′(x)＝
＝，
当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)min＝h＝－2，故a≤－2．故选D．]
考向2 典例6 (1)B (2)C [(1)由已知aea设f (x)＝x ln x，则f (ea)∵a>0，则b ln b>0，则b>1．
当x>1时，f ′(x)＝ln x＋1>0，
则f (x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea(2)∵ex－a≥ln x＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋ln x，
∴ex－a＋x－a≥eln x＋ln x．
设f (t)＝et＋t，则f ′(t)＝et＋1>0，
∴f (t)在R上单调递增，
故ex－a＋x－a≥eln x＋ln x，
即f (x－a)≥f (ln x)，
即x－a≥ln x，即x－ln x≥a．
设g(x)＝x－ln x，则g′(x)＝1－＝，
令g′(x)>0，则x>1；令g′(x)＜0，则0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1．
故选C．]
跟进训练
6． [不等式可变形为≤xa－a ln x，
即≤xa－ln xa，
设f (x)＝x－ln x，
则当x≥e时≤f (xa)恒成立，
因为f ′(x)＝1－，
所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为x≥e，a>0，
所以>1，xa>1，
因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以≤xa，
两边取对数，得≤a ln x，
因为x≥e，
所以a≥，
令h(x)＝x ln x，x≥e，
h′(x)＝ln x＋1>0，
所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e)＝e，
所以0<，所以a≥，
所以正实数a的最小值为．]
1/1(共64张PPT)
重点培优课3 导数中的函数构造及指、对同构问题
第三章
一元函数的导数及其应用
√
题型一 导数型构造函数
考向1 利用f (x)与x构造
[典例1] (1)设f (x)是定义域为R的奇函数，f (－1)＝0，当x>0时，
xf ′(x)－f (x)<0，则使得f (x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)满足2xf (x)＋x2f ′(x)<0，f (2)＝，则关于x的不等式x2f (x)>3的解集为________．
(1)A (2)(0，2) [(1)令g(x)＝，
则g′(x)＝，
所以当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
(0，2)
又f (1)＝－f (－1)＝0，即g(1)＝g(－1)＝0．
而f (x)>0等价于
或
即 或所以x<－1或0所以f (x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选A．
(2)由题意，令g(x)＝x2f (x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2xf (x)＋x2f ′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f (2)＝，∴g(2)＝4f (2)＝3．
∴x2f (x)>3，即g(x)>g(2)，
∴原不等式的解集为(0，2)．]
名师点评 (1)出现xf ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(2)出现nf (x)＋xf ′(x)形式，构造函数F (x)＝xnf (x)．
[跟进训练]
1．已知偶函数f (x)(x≠0)的导函数为f ′(x)，且满足f (－1)＝0，当x＞0时，2f (x)＞xf ′(x)，则使得f (x)＞0成立的x的取值范围是
_______________．
(－1，0)∪(0，1) [构造F (x)＝，
则F ′(x)＝，
当x＞0时，xf ′(x)－2f (x)＜0，则F ′(x)＜0，F (x)在(0，＋∞)上单调递减．
(－1，0)∪(0，1)
∵f (x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F (x)为偶函数，∴F (x)在
(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F (x)的图象如图所示，根据图象可知f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．]
√
考向2 利用f (x)与ex(或enx)构造
[典例2] (1)(2025·江苏常州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，f (1)＝e，且对任意的x满足f ′(x)－f (x)f (x)>xex的解集是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
(2)设函数f (x)的定义域为R，f ′(x)是其导函数，若f (x)＋f ′(x)>0，
f (1)＝1，则不等式f (x)>e1-x的解集是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，1)
√
(1)A (2)B [(1)构造函数g(x)＝－x，则g′(x)＝－1，
因为f ′(x)－f (x)即g′(x)<0，可知g(x)在R上单调递减，且g(1)＝0，由f (x)>xex可得－x>0，即g(x)>g(1)，解得x<1，
所以不等式f (x)>xex的解集是(－∞，1)．故选A．
(2)构造函数g(x)＝f (x)·ex，则g′(x)＝[f ′(x)＋f (x)]·ex>0，
故g(x)在R上单调递增，g(1)＝e, f (x)>e1-x可化为g(x)>e＝g(1)，
故原不等式的解集为(1，＋∞)．故选B．]
名师点评 (1)出现f ′(x)－nf (x)形式，构造函数F (x)＝．
(2)出现f ′(x)＋nf (x)形式，构造函数F (x)＝enxf (x)．
[跟进训练]
2．若定义在R上的函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，f (0)＝1，则不等式f (x)＞e2x的解集为_________．
(0，＋∞) [构造函数F (x)＝，则F ′(x)＝＝，∵函数f (x)满足f ′(x)－2f (x)＞0，则F ′(x)＞0，F (x)在R上单调递增．
又∵f (0)＝1，则F (0)＝1，∴f (x)＞e2x ＞1 F (x)＞F (0)，根据单调性得x＞0．故原不等式的解集为(0，＋∞)．]
(0，＋∞)
考向3 利用f (x)与sin x，cos x构造
[典例3] 已知f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (x)－f (－x)＝0，且对于任意的x∈满足f ′(x)cos x＋f (x)sin x>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．f B．F >f
C．f (－1)D．f >f
√
A [令g(x)＝，x∈，则g′(x)＝，又对于任意的x∈满足f ′(x)cosx＋f (x)sin x＞0，则g′(x)＞0，故g(x)在上单调递增，而f (x)－f (－x)＝0，故g(－x)＝＝＝g(x)，故g(x)是偶函数，故g＝g名师点评 与sin x，cos x有关的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下：
F (x)＝f (x)sin x，F ′(x)＝f ′(x)sin x＋f (x)cos x；
F (x)＝，F ′(x)＝；
F (x)＝f (x)cosx，F ′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x；
F (x)＝，F ′(x)＝．
√
[跟进训练]
3．定义在上的函数f (x)，f ′(x)是它的导函数，且恒有f (x)＜
f ′(x)tanx成立，则( )
A．f ＞f B．f (1)＜2f sin 1
C．f ＞f f ＜f
D [f (x)＜f ′(x)tan x f ′(x)sin x－f (x)cos x＞0，x∈，令F (x)＝，则F ′(x)＝＞0，
即函数F (x)在上单调递增．
A项，F＜F，即＜，
∴f ＜f ，故A项错误；
B项，F (1)＞F，即＞，∴f (1)＞2f sin 1，故B项错误；
C项，F＜F，即＜，∴f ＜f ，故C项错误；
D项，F＜F，即＜，∴f＜f，故D项正确．故选D．]
题型二 依据数值特征构造具体函数
[典例4] (1)设a＝999ln 1 001，b＝1 000ln 1 000，c＝1 001ln 999，则下列选项正确的是( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．b>a>c D．a>b>c
(2)已知a＝e0.8＋1，b＝，c＝ln (0.8e3)，则a，b，c的大小关系为
( )
A．a＞c＞b B．c＞b＞a
C．b＞a＞c D．a＞b＞c
√
√
(1)B (2)D [(1)设f (x)＝(1 000－x)ln (1 000＋x)，x∈[－1，1]，当x∈[－1，1]时，f ′(x)＝－ln (1 000＋x) ＋<0，所以函数f (x)在
[－1，1]上单调递减，所以f (－1)＝1 001ln 999>f (0)＝1 000ln 1 000>
f (1)＝999ln 1 001，所以c>b>a．故选B．
(2)由题意得，a＝e0.8＋1，b＝0.8＋2，c＝ln 0.8＋3，构造函数y1＝ex＋1，y2＝x＋2，y3＝ln x＋3，
令f (x)＝y1－y2＝ex－x－1，x∈(0，1)，则f ′(x)＝ex－1＞0，所以f (x)在(0，1)上单调递增，所以f (0.8)＞f (0)＝0，所以e0.8－0.8－1＞0，所以e0.8＋1＞0.8＋2，所以a＞b．
令g(x)＝y2－y3＝x－ln x－1，x∈(0，1)，则g′(x)＝1－＝＜0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，所以g(0.8)＞g(1)＝0，所以0.8－ln 0.8－1＞0，所以0.8＋2＞ln 0.8＋3，所以b＞c，所以a＞b＞c．故选D．]
名师点评 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为所构函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
[跟进训练]
4．(1)已知a，b，c∈，且＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，则( )
A．bC．a(2)实数e3，3π，π3的大小关系为__________．(用“＜”连接)
√
e3＜π3＜3π
(1)A (2)e3＜π3＜3π [(1)设函数f (x)＝x ln x，f ′(x)＝1＋ln x，当x∈时，f ′(x)>0，此时f (x)单调递增，当x∈时，
f ′(x)<0，此时f (x)单调递减，由题＝－5ln a，＝－3ln b，＝－2ln c，得a ln a＝ln ，b ln b＝ln ，c ln c＝ln ＝ln ，
因为<<<，所以ln >ln >ln ，则a ln a>c ln c>b ln b，且a，b，c∈，所以a>c>b．故选A．
(2)设f (x)＝，则f ′(x)＝，
当x＞e时，f ′(x)＜0，
所以f (x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以f (3)＞f (π)，即＞，
所以πln 3＞3ln π，
所以ln 3π＞ln π3，即3π＞π3．
因为y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，e＜π，
所以e3＜π3，所以e3＜π3＜3π．]
√
题型三 同构函数
考向1 地位同等同构
[典例5] (多选)已知a，b∈R，且2a>2b>1，则( )
A．ea－ebC．√
CD [由2a>2b>1，得a>b>0．对于A，设y＝ex－ln x且x∈(0，＋∞)，则y′＝ex－，故＝－2<0，y′|x＝1＝e－1>0，即y′＝ex－在上存在零点且y′＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝ex－ln x在(0，＋∞)上不单调，则ea－ln a0，y＝单调递增；当x∈(e，＋∞)时，y′<0，y＝单调递减．故y＝在(0，＋∞)上不单调，则<不一定成立，排除B；对于C，设y＝xex且x∈(0，＋∞)，则y′＝ex(x＋1)>0，即y＝xex在(0，＋∞)上单调递增，所以aea>beb，即＋∞)，则y′＝1－cos x≥0，即y＝x－sin x在(0，＋∞)上单调递增，所以a－
sin a>b－sin b，即<1，D正确．]
名师点评 地位同等同构策略
对于含有地位同等的两个变量x1，x2(或x，y，或a，b)的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数的单调性解决．常见的同构类型有：
原式 转化 构造函数
＞k(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＜kx1－kx2 构造y＝f (x)－kx，为增函数
＜(x2＞x1) f (x1)－f (x2)＞ 构造y＝f (x)＋，为减函数
[跟进训练]
5．已知函数f (x)＝ax2＋(a＋1)ln x＋1(a≤－1)，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有≥4，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－e2] B．(－∞，－e]
C．[－2，－1] D．(－∞，－2]
√
D [由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2ax＋＝，又a≤－1，故f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，不妨设x1≥x2，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，恒有|f (x1)－f (x2)|≥4|x1－x2|，即f (x1)－f (x2)≤4(x2－x1)，f (x1)＋4x1≤f (x2)＋4x2，令g(x)＝f (x)＋4x，由上可知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，则g′(x)＝2ax＋＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立，
从而a≤恒成立，设h(x)＝，则h′(x)＝＝，
当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)min＝h＝－2，故a≤－2．故选D．]
考向2 指对混合型的同构
[典例6] (1)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeaA．ab>e B．b>ea
C．ab(2)若关于x的不等式ex－a≥ln x＋a对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－∞，e]
C．(－∞，1] D．(－∞，2]
√
√
(1)B (2)C [(1)由已知aea设f (x)＝x ln x，则f (ea)∵a>0，则b ln b>0，则b>1．
当x>1时，f ′(x)＝ln x＋1>0，
则f (x)在(1，＋∞)上单调递增，∴ea(2)∵ex－a≥ln x＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋ln x，
∴ex－a＋x－a≥eln x＋ln x．
设f (t)＝et＋t，则f ′(t)＝et＋1>0，
∴f (t)在R上单调递增，
故ex－a＋x－a≥eln x＋ln x，即f (x－a)≥f (ln x)，
即x－a≥ln x，即x－ln x≥a．
设g(x)＝x－ln x，则g′(x)＝1－＝，
令g′(x)>0，则x>1；令g′(x)＜0，则0＜x＜1，
∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
故g(x)min＝g(1)＝1，故a≤1．故选C．]
名师点评 1．指对同构的本质：指、幂、对三种函数的互相转化，即alogax＝x＝logaax(a＞0且a≠1)．
2．三种基本模式：
①积型：
aea≤b ln b
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知．
②商型：
<
③和差型：
ea±a>b±ln b
如：eax＋ax＞ln (x＋1)＋x＋1 eax＋ax＞eln (x+1)＋ln (x＋1) ax＞ln (x＋1)．
特别地，若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘x，同加上x等，再用上述方式变形．常见的有：
①aeax>ln x axeax>x ln x；
②ex>a ln (ax－a)－a ex>ln [a(x－1)]－1 ex－ln a－ln a>ln (x－1)－1
ex－ln a＋x－ln a>ln (x－1)＋x－1＝eln (x-1)＋ln (x－1)；
③ax>logax ex ln a> (x ln a)ex ln a>x ln x．
[不等式可变形为－≤xa－a ln x，
即－ln ≤xa－ln xa，
设f (x)＝x－ln x，
则当x≥e时，f ≤f (xa)恒成立，
[跟进训练]
6．已知当x≥e时，不等式xa＋－≥a ln x恒成立，则正实数a的最小值为 ________．
因为f ′(x)＝1－＝，
所以函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
因为x≥e，a>0，
所以>1，xa>1，
因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以≤xa，
两边取对数，得≤a ln x，因为x≥e，所以a≥，
令h(x)＝x ln x，x≥e，
h′(x)＝ln x＋1>0，
所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e)＝e，
所以0<，
所以a≥，
所以正实数a的最小值为．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
培优训练(三) 导数中的函数构造及指、对同构问题
√
一、单项选择题
1．已知不等式ax＋eax＞ln (bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是( )
A．f (x)＝ln x＋x B．f (x)＝x ln x
C．f (x)＝xex D．f (x)＝
题号
1
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A [由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax＞ln (bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax＞ln (bx)＋bx，
构造函数f (x)＝ln x＋x，
可得f (eax)＞f (bx)．故选A．]
√
题号
1
3
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7
9
10
2．已知函数f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (1)＝，对任意实数x都有
f (x)－f ′(x)>0，设F (x)＝，则不等式F (x)<的解集为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
题号
1
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10
B [由F (x)＝，得F ′(x)＝，
因为f (x)－f ′(x)>0，则F ′(x)<0，可知F (x)在R上单调递减，且F (1)＝＝，
由不等式F (x)<可得F (x)1，
所以不等式F (x)<的解集为(1，＋∞)．故选B．]
√
题号
1
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10
3．若0＜x1＜x2＜1，则( )
＞ln x2－ln x1
＜ln x2－ln x1
题号
1
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9
10
C [构造函数f (x)＝ex－ln x，x∈(0，1)，f ′(x)＝ex－，当x→0时，
f ′(x)＜0，当x＝1时，f ′(x)＞0，∴f ′(x)＝ex－在(0，1)上有零点，∴f (x)在(0，1)上有一个极值点，∴f (x)在(0，1)上不单调，无法判断f (x1)与f (x2)的大小，故A，B错误；
令g(x)＝，x∈(0，1)，∴g′(x)＝＜0，∴g(x)在(0，1)上单调递减，又，故选C．]
√
题号
1
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9
10
4．已知a＝e-0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则( )
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．b＞c＞a
题号
1
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9
10
C [由指数函数的性质得
a＝e-0.02＞＝＞＝0.01＝b，
设f (x)＝ex－1－x，
则f ′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，
因此f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f (0.01)＞f (0)，即e0.01－1－0.01＞0，
即e0.01＞1.01，
∴b＝0.01＞ln 1.01＝c，∴a＞b＞c．故选C．]
√
题号
1
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10
5．已知函数y＝f (x)对任意的x∈满足f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A．F >f B．F C．2f (0)f
题号
1
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10
C [构造函数g(x)＝f (x)cos x，x∈，则g′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x>0，所以g(x)在上单调递增，则g故A不正确；
则g>g，所以f cos >f cos ，
即f >f ，故B不正确；
则g(0)所以f (0)cos 0即2f (0)则g(0)即f (0)题号
1
3
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10
√
题号
1
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10
6．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是( )
A．x>y B．x>ln y
C．x题号
1
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10
B [不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y，令f (x)＝ex－x，x>0，则f (ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f (x)>f (ln y)，
∵f ′(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
由f (x)>f (ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，由x>0，有x>ln y．
综上所述，x>ln y．故选B．]
√
题号
1
3
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2
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9
10
√
二、多项选择题
7．已知函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，若当x<0时，xf ′(x)－f (x)<0，且f (1)＝0，则( )
A．2f (e)>ef (2)
B．当m<2时，f (m)>mf (1)
C．3f (－π)＋πf (3)<0
D．不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
√
题号
1
3
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9
10
ACD [构造函数g(x)＝，其中x≠0，因为函数f (x)为定义在
(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，则f (－x)＝－f (x)，所以g(－x)＝＝＝g(x)，故函数g(x)为偶函数，当x<0时，g′(x)＝<0，所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝0，则g(1)＝＝0，
则g(－1)＝g(1)＝0．
因为e>2，所以g(e)>g(2)，即>，2f (e)>ef (2)，故A正确；
题号
1
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不妨取m＝1，则f (1)＝0，mf (1)＝0，B错误；
因为偶函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(－π)＝g(π)>g(3)，
即>，整理可得3f (－π)＋πf (3)<0，C正确；
当x<0时，由f (x)>0可得g(x)＝<0＝g(－1)，解得－1当x>0时，由f (x)>0可得g(x)＝>0＝g(1)，解得x>1．
综上所述，不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，D正确．故选ACD．]
√
题号
1
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10
8．(2024·湖北武汉二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的是( )
A．ex－ey>x－y B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－ D．>
ACD [设f (x)＝ex－x(x>0)，则f ′(x)＝ex－1>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)>f (y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确；
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y√
√
题号
1
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设h(x)＝ln x－1＋(x>0)，则h′(x)＝＝，
当0当x>1时，h′(x)＝>0，函数h(x)单调递增，
则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，C正确；
设g(x)＝x·ex(x>0)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝x·ex在(0，＋∞)上单调递增，所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即>，D正确．故选ACD．]
题号
1
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10
三、填空题
9．对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln (ax)恒成立，则a的最大值是________．
e [由ex≥(a－1)x＋ln (ax)，可得ex＋x≥ax＋ln (ax)，即ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax)，
令f (x)＝ex＋x，则f (x)≥f (ln (ax))，
因为f (x)在R上单调递增，
所以x≥ln (ax)，即a≤(x＞0)，
e
题号
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10
令h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝，
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝e，即a≤e，
所以a的最大值是e．]
题号
1
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2
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9
10
四、解答题
10．已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围．
[解] 由题知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由f (x)≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax，
即＋ln x2≤eax＋ax．
令g(x)＝ex＋x，易知g(x)为增函数．
题号
1
3
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2
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9
10
由＋ln x2≤eax＋ax，可得g(ln x2)≤g(ax)，
则ln x2≤ax，即．
设h(x)＝，则h′(x)＝，
当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当00，h(x)单调递增，
所以h(x)max＝h(e)＝，
所以，则a的取值范围为．
谢 谢！培优训练(三) 导数中的函数构造及指、对同构问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共60分
一、单项选择题
1．已知不等式ax＋eax＞ln (bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是( )
A．f (x)＝ln x＋x B．f (x)＝x ln x
C．f (x)＝xex D．f (x)＝
2．已知函数f ′(x)是函数f (x)的导函数，f (1)＝，对任意实数x都有f (x)－f ′(x)>0，设F (x)＝，则不等式F (x)<的解集为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(1，e) D．(e，＋∞)
3．若0＜x1＜x2＜1，则( )
＞ln x2－ln x1
＜ln x2－ln x1
4．已知a＝e-0.02，b＝0.01，c＝ln 1.01，则( )
A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．b＞c＞a
5．已知函数y＝f (x)对任意的x∈满足f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A．f>f B．fC．2f (0)f
6．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是( )
A．x>y B．x>ln y
C．x二、多项选择题
7．已知函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，若当x<0时，xf ′(x)－f (x)<0，且f (1)＝0，则( )
A．2f (e)>ef (2)
B．当m<2时，f (m)>mf (1)
C．3f (－π)＋πf (3)<0
D．不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)
8．(2024·湖北武汉二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的是( )
A．ex－ey>x－y B．ln x－ln y>x－y
C．ln x≥1－ >
三、填空题
9．对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln (ax)恒成立，则a的最大值是________．
四、解答题
10．已知函数f (x)＝x2－ax＋2ln x，若a>0，f (x)≤eax恒成立，求a的取值范围．
培优训练(三)
1．A [由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax＞ln (bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax＞ln (bx)＋bx，
构造函数f (x)＝ln x＋x，
可得f (eax)＞f (bx)．故选A．]
2．B [由F (x)＝，得
F ′(x)＝，
因为f (x)－f ′(x)>0，则F ′(x)<0，可知F (x)在R上单调递减，且F (1)＝＝，
由不等式F (x)<可得F (x)1，
所以不等式F (x)<的解集为(1，＋∞)．故选B．]
3．C [构造函数f (x)＝ex－ln x，x∈(0，1)，
f ′(x)＝ex－，当x→0时，f ′(x)＜0，当x＝1时，f ′(x)＞0，
∴f ′(x)＝ex－在(0，1)上有零点，
∴f (x)在(0，1)上有一个极值点，
∴f (x)在(0，1)上不单调，无法判断f (x1)与f (x2)的大小，故A，B错误；
令g(x)＝，x∈(0，1)，
∴g′(x)＝＜0，
∴g(x)在(0，1)上单调递减，
又∵x2＞x1，∴g(x1)＞g(x2)，∴＞，故选C．]
4．C [由指数函数的性质得
a＝e-0.02＞＝＞＝0.01＝b，
设f (x)＝ex－1－x，
则f ′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，
因此f (x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f (0.01)＞f (0)，即e0.01－1－0.01＞0，
即e0.01＞1.01，
∴b＝0.01＞ln 1.01＝c，∴a＞b＞c．故选C．]
5．C [构造函数g(x)＝f (x)cos x，x∈，
则g′(x)＝f ′(x)cos x－f (x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，
则g所以fcos
即f则g>g，
所以fcos >fcos ，
即f>f，故B不正确；
则g(0)所以f (0)cos 0即2f (0)则g(0)所以f (0)cos 0即f (0)故选C．]
6．B [不等式ex＋ln y>x＋y等价于ex－x>y－ln y，
令f (x)＝ex－x，x>0，
则f (ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f (x)>f (ln y)，
∵f ′(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
由f (x)>f (ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x>0，有x>ln y．
综上所述，x>ln y．故选B．]
7．ACD [构造函数g(x)＝，其中x≠0，
因为函数f (x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，则f (－x)＝－f (x)，
所以g(－x)＝＝＝g(x)，故函数g(x)为偶函数，
当x<0时，g′(x)＝<0，
所以函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
因为f (1)＝0，则g(1)＝＝0，则g(－1)＝g(1)＝0．
因为e>2，所以g(e)>g(2)，即>，2f (e)>ef (2)，故A正确；
不妨取m＝1，则f (1)＝0，mf (1)＝0，B错误；
因为偶函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则g(－π)＝g(π)>g(3)，
即>，整理可得3f (－π)＋πf (3)<0，C正确；
当x<0时，由f (x)>0可得g(x)＝<0＝g(－1)，解得－1当x>0时，由f (x)>0可得g(x)＝>0＝g(1)，解得x>1．
综上所述，不等式f (x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，D正确．故选ACD．]
8．ACD [设f (x)＝ex－x(x>0)，则f ′(x)＝ex－1>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)>f (y)，即ex－x>ey－y，即ex－ey>x－y，A正确；
令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y设h(x)＝ln x－1＋(x>0)，则h′(x)＝＝，
当0当x>1时，h′(x)＝>0，函数h(x)单调递增，
则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，C正确；
设g(x)＝x·ex(x>0)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)＝x·ex在(0，＋∞)上单调递增，
所以由x>y>0得x·ex>y·ey，即>，D正确．故选ACD．]
9．e [由ex≥(a－1)x＋ln (ax)，
可得ex＋x≥ax＋ln (ax)，
即ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax)，
令f (x)＝ex＋x，则f (x)≥f (ln (ax))，
因为f (x)在R上单调递增，
所以x≥ln (ax)，即a≤(x＞0)，
令h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝，
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝e，即a≤e，
所以a的最大值是e．]
10．解：由题知f (x)的定义域为(0，＋∞)．
由f (x)≤eax，可得x2＋2ln x≤eax＋ax，
即e^(ln x^2 ) ＋ln x2≤eax＋ax．
令g(x)＝ex＋x，易知g(x)为增函数．
由e^(ln x^2 ) ＋ln x2≤eax＋ax，可得g(ln x2)≤g(ax)，
则ln x2≤ax，即．
设h(x)＝，则h′(x)＝，
当x>e时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当00，h(x)单调递增，
所以h(x)max＝h(e)＝，
所以，则a的取值范围为．
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