10.1.1 平方根 导学练课件(共47张PPT) 2025-2026学年华师大版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 10.1.1 平方根 导学练课件(共47张PPT) 2025-2026学年华师大版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-20 20:38:57 | ||
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文档简介
(共47张PPT)
10. 1 平方根和立方根
第10章 数的开方
10. 1. 1 平方根
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平方根
平方根的性质
算术平方根
利用计算器求一个正数的算术平方根
知识点
平方根
知1－讲
1
1. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根.
2. 平方根的表示 若x2 =a(a ≥ 0)，则x 叫做a 的平方根，记作± ，其中2 为根指数，通常省略不写，即记作± . ± 读作“正负根号a”，其中a 称为被开方数.
特别解读 平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0.
例 1
求下列各数的平方根：
(1)196； (2)2 ； (3)(-13)2；
(4)0. 0 04 9； (5)-(-4)3.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定即可.
知1－练
解：(1)因为(±14)2 =19 6，所以19 6 的平方根是±14.
(2)2 = . 因为(±)2=，所以2的平方根是±.
(3)(-13)2 =169. 因为(±13)2 =169，所以(-13)2 的平方根是±13.
(4)因为(±0. 0 7)2 = 0. 0 0 49，所以0. 0 0 4 9 的平方根是±0. 0 7.
(5)-(-4)3 = 6 4. 因为(±8)2 = 6 4，所以-(-4)3 的平方根是±8.
知1－练
知1－练
变式训练
1-1. 下列说法中, 不正确的是( )
A. -11 是121 的一个平方根
B. 11 是121 的一个平方根
C. 121 的平方根是11
D. 121 的平方根是±11
C
知1－练
1-2. 求下列各数的平方根：
(1)1；
(2) ；
解：1的平方根是±1.
知1－练
(3)1 ；
(4)(-3)2.
解：(－3)2＝9. 因为(±3)2＝9，所以(－3)2的平方根是±3.
知2－讲
知识点
平方根的性质
2
平方根的性质
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0 的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
~~~~~~~~~~~~~~
因为任何有理数的平方都不可能是负数.
知2－讲
特别解读
判断一个数是否有平方根，就是判断这个数是正数、负数还是0. 如果一个数有平方根，那么这个数一定是非负数.
例 2
求下列各式中x 的值：
(1)x2 =361； (2)81x2 -49= 0； (3)(3x-1)2 =(-5)2.
解题秘方：若x2 =a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2 =a 的形式，再求x 的值.
知2－练
解：(1)因为x2=361，所以x=± =±19.
(2)整理81x2-49= 0，得x2= ，所以x=± =± .
(3)因为(3x-1)2=(-5)2，所以3x-1=±5.
当3x-1=5 时，x=2；当3x-1=-5 时，x=-.
综上所述，x=2 或x=-.
知2－练
知2－练
变式训练
2-1. 求下列各式中x的值：
(1)9x2-25=0；
知2－练
(2)4(x-2)2-9=0.
(1)一个正数的两个平方根分别是3a-5 和a-3，则这个正数是多少？
(2)已知2a-1 与-a+2 是m 的平方根，求m 的值.
例 3
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
知2－练
解：(1)根据题意，得(3a-5)+(a-3)= 0，
解得a=2，所以这个正数为(3a-5)2 =(3×2-5)2 =1.
知2－练
正数有两个平方根，它们互为相反数.
~~~~~~~~~~~~~
(2)根据题意，分以下两种情况：
当2a-1=-a+2 时，a=1，
所以m=(2a-1)2 =(2×1-1)2 =1；
当(2a-1)+(-a+2)= 0 时，a=-1，
所以m=(2a-1)2 =［2×(-1)-1］2 =(-3)2 =9.
故m 的值为1 或9.
知2－练
已知a，b 是m 的平方根，
则有a=b 或a+b=0.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
知2－练
变式训练
3-1. 已知一个正数x 的两个平方根分别是2a-3 与5-a，则a=_________，x=_________.
－2
49
知2－练
3-2. [期末·北京海淀区]已知正数a 的两个平方根分别是x 和x+y.
(1)若x=2，求y 的值；
解：∵正数a的两个平方根分别是x和x＋y，
∴x＋x＋y＝0，∴y＝－2x.
若x＝2，则y＝－4.
知2－练
(2)若x-y=3，求a的值.
知3－讲
知识点
算术平方根
3
1. 算术平方根 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.
规定：0 的算术平方根是0.
表示方法：正数a 的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a 叫做被开方数.
特别解读：(1)算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
知3－讲
特别提醒
1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数.
知3－讲
2. 平方根与算术平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区 别 定义不同 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根
个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
知3－讲
算术平方根 平方根
区 别 表示方 法不同 非负数a 的算术平方根表示为 非负数a 的平方根表示为±
取值范 围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
知3－讲
3. 开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
算术平方根 平方根
联 系 具有包 含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)、 存在条 件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0
知3－讲
特别提醒
2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
3. 两个重要公式：
(1)( )2=a(a ≥ 0)；
a(a ≥ 0)，
-a(a ＜ 0).
(2) =|a|=
知3－讲
4. ( )2 与的区别与联系：
()2
区 别 运算顺 序不同 先开方再求平方 先求平方
再开方
a 的取值 范围不同 a ≥ 0 任意数
联系 当a ≥ 0 时，( )2 = 例 4
求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)2 ； (3)0. 36； (4)52； (5)(-5)2；
(6)0； (7) ； (8)7； (9)-16.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.
知3－练
解：(1)因为82= 64，所以64 的算术平方根是8，即 =8.
(2)因为()2= =2 ，所以2 的算术平方根是，即=.
(3)因为0. 62= 0. 36，所以0. 36 的算术平方根是0. 6，即= 0. 6.
(4)52 的算术平方根是5，即=5.
知3－练
(5)因为52=(-5)2，所以(-5)2 的算术平方根是5，即 =5.
(6)0 的算术平方根是0.
(7)因为 =9=32，所以 的算术平方根是3.
(8)7 的算术平方根是7.
(9)-16 没有算术平方根.
知3－练
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
不要误认为是求81的算术平方根.
知3－练
变式训练
4-1. 下列说法正确的是( )
A. 5 是25 的算术平方根
B. ±4 是16 的算术平方根
C. -6 是(-6)2 的算术平方根
D. 0. 01 是0. 1 的算术平方根
A
知3－练
4-2. 求下列各数的算术平方根：
(1)225；
(2)72；
解：因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
解：72的算术平方根是7.
知3－练
(3)(-6)2；
(4) .
解：因为(－6)2＝36＝62，所以(－6)2的算术平方根是6.
已知a 的算术平方根是3，b 的算术平方根是4，求
a+b 的算术平方根.
例 5
解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a，b 的值，然后求a+b 的算术平方根.
知3－练
解：因为a 的算术平方根是3，所以a=32=9.
因为b 的算术平方根是4，所以b=42=16.
所以a+b=9+16=25.
因为52=25，
所以25 的算术平方根是5，即a+b 的算术平方根是5.
知3－练
知3－练
变式训练
5-1. 已知 =5， =4，求 的值.
将下列各数开平方：
(1) ；(2)10.
例 6
解题秘方：先求出一个数的算术平方根，再将这个数开平方.
知3－练
解：(1)∵()2= ，∴ =，
∴ 的平方根是± =±.
(2)∵ 10 的算术平方根是 ，∴ 10 的平方根是± .
知3－练
知3－练
变式训练
6-1. 将下列各数开平方：
(1)81；
知3－练
(2) ；
(3)1. 69.
知4－讲
知识点
利用计算器求一个正数的算术平方根
4
我们可以用计算器 , 按照一定的按键顺序 , 求出一个正数的算术平方根或它的近似值. 如 ， ， 等 , 此时要借助带有“ ”键的计算器求它们的近似值. 用计算器求一个正数的算术平方根的操作步骤：
(1)按 键；(2)输入被开方数；(3)按 EXE 键.
知4－讲
特别解读
选用的计算器不同 , 按键的顺序也可能不同，因此 , 应该仔细阅读计算器的使用说明书，按照要求操作.
例 7
用计算器求下列各数的算术平方根(精确到0. 01)：
(1)2 189；(2)88. 42.
解题秘方：按照用计算器求算术平方根的按键顺序，输入并求解即可.
知4－练
解：(1)在计算器上依次键入 2 1 8 9 EXE ，显 示结果为 4 6. 786 75 0 2 6 , 所以 ≈ 4 6. 79.
(2)在计算器上依次键入 8 8 . 4 2 EXE , 显示结果为 9. 4 03 19 0 94 8 , 所以 ≈ 9. 4 0.
知4－练
知4－练
变式训练
7-1. 用计算器依次按键 1 4 4 EX E ，最终显示的结果是( )
A. 12 B. 122
C. ±12 D. ±122
A
知4－练
7-2. 用计算器计算(精确到 0. 01)：
(1) ；(2) .
平方根
平
方
根
算术平
方根
性质
正数有两个互为
相反数的平方根
0 的平方根是0
负数没有平方根
10. 1 平方根和立方根
第10章 数的开方
10. 1. 1 平方根
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平方根
平方根的性质
算术平方根
利用计算器求一个正数的算术平方根
知识点
平方根
知1－讲
1
1. 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根.
2. 平方根的表示 若x2 =a(a ≥ 0)，则x 叫做a 的平方根，记作± ，其中2 为根指数，通常省略不写，即记作± . ± 读作“正负根号a”，其中a 称为被开方数.
特别解读 平方根的定义中a是非负数，即a ≥ 0.
例 1
求下列各数的平方根：
(1)196； (2)2 ； (3)(-13)2；
(4)0. 0 04 9； (5)-(-4)3.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的数，然后根据平方根的定义确定即可.
知1－练
解：(1)因为(±14)2 =19 6，所以19 6 的平方根是±14.
(2)2 = . 因为(±)2=，所以2的平方根是±.
(3)(-13)2 =169. 因为(±13)2 =169，所以(-13)2 的平方根是±13.
(4)因为(±0. 0 7)2 = 0. 0 0 49，所以0. 0 0 4 9 的平方根是±0. 0 7.
(5)-(-4)3 = 6 4. 因为(±8)2 = 6 4，所以-(-4)3 的平方根是±8.
知1－练
知1－练
变式训练
1-1. 下列说法中, 不正确的是( )
A. -11 是121 的一个平方根
B. 11 是121 的一个平方根
C. 121 的平方根是11
D. 121 的平方根是±11
C
知1－练
1-2. 求下列各数的平方根：
(1)1；
(2) ；
解：1的平方根是±1.
知1－练
(3)1 ；
(4)(-3)2.
解：(－3)2＝9. 因为(±3)2＝9，所以(－3)2的平方根是±3.
知2－讲
知识点
平方根的性质
2
平方根的性质
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0 的平方根是0；
(3)负数没有平方根.
~~~~~~~~~~~~~~
因为任何有理数的平方都不可能是负数.
知2－讲
特别解读
判断一个数是否有平方根，就是判断这个数是正数、负数还是0. 如果一个数有平方根，那么这个数一定是非负数.
例 2
求下列各式中x 的值：
(1)x2 =361； (2)81x2 -49= 0； (3)(3x-1)2 =(-5)2.
解题秘方：若x2 =a(a ≥ 0)，则x=± . 先把各题化为x2 =a 的形式，再求x 的值.
知2－练
解：(1)因为x2=361，所以x=± =±19.
(2)整理81x2-49= 0，得x2= ，所以x=± =± .
(3)因为(3x-1)2=(-5)2，所以3x-1=±5.
当3x-1=5 时，x=2；当3x-1=-5 时，x=-.
综上所述，x=2 或x=-.
知2－练
知2－练
变式训练
2-1. 求下列各式中x的值：
(1)9x2-25=0；
知2－练
(2)4(x-2)2-9=0.
(1)一个正数的两个平方根分别是3a-5 和a-3，则这个正数是多少？
(2)已知2a-1 与-a+2 是m 的平方根，求m 的值.
例 3
解题秘方：根据平方根的性质，找出两个平方根之间的关系列方程求值.
知2－练
解：(1)根据题意，得(3a-5)+(a-3)= 0，
解得a=2，所以这个正数为(3a-5)2 =(3×2-5)2 =1.
知2－练
正数有两个平方根，它们互为相反数.
~~~~~~~~~~~~~
(2)根据题意，分以下两种情况：
当2a-1=-a+2 时，a=1，
所以m=(2a-1)2 =(2×1-1)2 =1；
当(2a-1)+(-a+2)= 0 时，a=-1，
所以m=(2a-1)2 =［2×(-1)-1］2 =(-3)2 =9.
故m 的值为1 或9.
知2－练
已知a，b 是m 的平方根，
则有a=b 或a+b=0.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
知2－练
变式训练
3-1. 已知一个正数x 的两个平方根分别是2a-3 与5-a，则a=_________，x=_________.
－2
49
知2－练
3-2. [期末·北京海淀区]已知正数a 的两个平方根分别是x 和x+y.
(1)若x=2，求y 的值；
解：∵正数a的两个平方根分别是x和x＋y，
∴x＋x＋y＝0，∴y＝－2x.
若x＝2，则y＝－4.
知2－练
(2)若x-y=3，求a的值.
知3－讲
知识点
算术平方根
3
1. 算术平方根 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.
规定：0 的算术平方根是0.
表示方法：正数a 的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a 叫做被开方数.
特别解读：(1)算术平方根具有双重非负性：
①被开方数a 是非负数，即a ≥ 0；
②算术平方根 是非负数，即 ≥ 0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0 和1.
知3－讲
特别提醒
1. 任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数.
知3－讲
2. 平方根与算术平方根的区别与联系
算术平方根 平方根
区 别 定义不同 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根
个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
知3－讲
算术平方根 平方根
区 别 表示方 法不同 非负数a 的算术平方根表示为 非负数a 的平方根表示为±
取值范 围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负
知3－讲
3. 开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.
算术平方根 平方根
联 系 具有包 含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外)、 存在条 件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0
知3－讲
特别提醒
2. 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根.
3. 两个重要公式：
(1)( )2=a(a ≥ 0)；
a(a ≥ 0)，
-a(a ＜ 0).
(2) =|a|=
知3－讲
4. ( )2 与的区别与联系：
()2
区 别 运算顺 序不同 先开方再求平方 先求平方
再开方
a 的取值 范围不同 a ≥ 0 任意数
联系 当a ≥ 0 时，( )2 = 例 4
求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)2 ； (3)0. 36； (4)52； (5)(-5)2；
(6)0； (7) ； (8)7； (9)-16.
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的非负数，然后根据算术平方根的定义求出算术平方根.
知3－练
解：(1)因为82= 64，所以64 的算术平方根是8，即 =8.
(2)因为()2= =2 ，所以2 的算术平方根是，即=.
(3)因为0. 62= 0. 36，所以0. 36 的算术平方根是0. 6，即= 0. 6.
(4)52 的算术平方根是5，即=5.
知3－练
(5)因为52=(-5)2，所以(-5)2 的算术平方根是5，即 =5.
(6)0 的算术平方根是0.
(7)因为 =9=32，所以 的算术平方根是3.
(8)7 的算术平方根是7.
(9)-16 没有算术平方根.
知3－练
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
不要误认为是求81的算术平方根.
知3－练
变式训练
4-1. 下列说法正确的是( )
A. 5 是25 的算术平方根
B. ±4 是16 的算术平方根
C. -6 是(-6)2 的算术平方根
D. 0. 01 是0. 1 的算术平方根
A
知3－练
4-2. 求下列各数的算术平方根：
(1)225；
(2)72；
解：因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
解：72的算术平方根是7.
知3－练
(3)(-6)2；
(4) .
解：因为(－6)2＝36＝62，所以(－6)2的算术平方根是6.
已知a 的算术平方根是3，b 的算术平方根是4，求
a+b 的算术平方根.
例 5
解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a，b 的值，然后求a+b 的算术平方根.
知3－练
解：因为a 的算术平方根是3，所以a=32=9.
因为b 的算术平方根是4，所以b=42=16.
所以a+b=9+16=25.
因为52=25，
所以25 的算术平方根是5，即a+b 的算术平方根是5.
知3－练
知3－练
变式训练
5-1. 已知 =5， =4，求 的值.
将下列各数开平方：
(1) ；(2)10.
例 6
解题秘方：先求出一个数的算术平方根，再将这个数开平方.
知3－练
解：(1)∵()2= ，∴ =，
∴ 的平方根是± =±.
(2)∵ 10 的算术平方根是 ，∴ 10 的平方根是± .
知3－练
知3－练
变式训练
6-1. 将下列各数开平方：
(1)81；
知3－练
(2) ；
(3)1. 69.
知4－讲
知识点
利用计算器求一个正数的算术平方根
4
我们可以用计算器 , 按照一定的按键顺序 , 求出一个正数的算术平方根或它的近似值. 如 ， ， 等 , 此时要借助带有“ ”键的计算器求它们的近似值. 用计算器求一个正数的算术平方根的操作步骤：
(1)按 键；(2)输入被开方数；(3)按 EXE 键.
知4－讲
特别解读
选用的计算器不同 , 按键的顺序也可能不同，因此 , 应该仔细阅读计算器的使用说明书，按照要求操作.
例 7
用计算器求下列各数的算术平方根(精确到0. 01)：
(1)2 189；(2)88. 42.
解题秘方：按照用计算器求算术平方根的按键顺序，输入并求解即可.
知4－练
解：(1)在计算器上依次键入 2 1 8 9 EXE ，显 示结果为 4 6. 786 75 0 2 6 , 所以 ≈ 4 6. 79.
(2)在计算器上依次键入 8 8 . 4 2 EXE , 显示结果为 9. 4 03 19 0 94 8 , 所以 ≈ 9. 4 0.
知4－练
知4－练
变式训练
7-1. 用计算器依次按键 1 4 4 EX E ，最终显示的结果是( )
A. 12 B. 122
C. ±12 D. ±122
A
知4－练
7-2. 用计算器计算(精确到 0. 01)：
(1) ；(2) .
平方根
平
方
根
算术平
方根
性质
正数有两个互为
相反数的平方根
0 的平方根是0
负数没有平方根