10.2 实数 导学练课件(共39张PPT) 2025-2026学年华师大版八年级数学上册

(共39张PPT)
10.2 实数
第10章 数的开方
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
无理数
实数
实数与数轴
实数的性质
实数的运算
知识点
无理数
知1－讲
1
1. 定义 无限不循环小数叫做无理数.
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环.
2. 三种常见形式
(1)开方开不尽的数，如 ， ，…；
(2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…；
(3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 0. 101 0 01 0 0 0 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0).
知1－讲
3. 无理数与有理数的区别
(1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数；
(2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式.
知1－讲
特别提醒
1. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 例如：0. 3是无限小数，但不是无理数.
2. 某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. 例如 ， 就不是无理数.
·
例 1
下列各数：3. 141 59，- ，0. 131 131 113…(每相
邻两个3 之间依次多一个1)，π-5， +1，-中，无理数有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解题秘方：根据无理数的三种形式去辨析.
知1－练
解：因为3. 141 59 是有限小数，所以3. 141 59 是有理数.
因为- =-2，所以- 是有理数.
因为0. 131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无限不循环小数，
所以0. 131 131 113…(每相邻两个3 之间依次多一个1)是无理数.
知1－练
因为π 是无理数，所以π-5 是无理数.
因为 是无理数，所以 +1 是无理数.
因为-是分数，所以-是有理数.
答案：C
知1－练
知1－练
变式训练
1-1. [中考·常德改编]在， ，-，π，2 026 这五个数中，无理数的个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1-2. [中考·巴中]下列各数为无理数的是( )
A. 0. 618 B. C. D. -
A
C
知2－讲
知识点
实数
2
1. 定义 有理数和无理数统称为实数.
特别解读：(1)在实数范围内，一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立.
(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行.
知2－讲
2. 分类
(1)按定义分类：
实数 有理数 整数 正整数
0
负整数
分数 正分数
负分数
无理数 正无理数 负无理数
知2－讲
(2)按性质分类：
实数 正实数 正有理数
正无理数
0 负实数 负有理数
负无理数
知2－讲
特别解读
1. 实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏.
2. 0 既不是正实数也不是负实数.
3. 对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类. 不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数.
例 2
把下列各数填入相应的大括号内：
-，- ，，，-，0，-π，-，-4. 201，
3. 101 0 01 0 0 0 1…(每相邻两个1 之间0 的个数逐次加1).
有理数集：{ …}；
无理数集： { …} ；
整数集： { …} ；
分数集： { …} ；
正实数集： { …} ；
负实数集： { …}.
知2－练
·
·
解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，应注意先把一些数进行化简再判断，如- =2.
知2－练
知2－练
解：有理数集：{-，，- ，0，-，-4. 201，… }；
无理数集：{- ，，-π，3. 101 0 01 0 0 0 1…(每相邻两个1 之间0 的个数逐次加1)，… }；
整数集：{ - ，0，… } ；
·
·
知2－练
分数集：{-，，-，- 4. 201 ，… } ；
正实数集：{，，- ，3. 101 0 01 0 0 0 1…(每相邻两个1 之间0 的个数逐次加1)，… } ；
负实数集：{ -，- ，-π，-，- 4. 201 ，… }.
·
·
·
·
知2－练
变式训练
2-1. 把下列各数填入相应的数集内：
-3. 141 59 2 65 , ,，, ，0. 21, 0，-, ,
0. 101 001 000 100 001…(每相邻两个1 之间0 的个数逐次加1).
正有理数集 正无理数集
，,
0. 21, , …
·
·
·
·
,，0. 101 001 000 100 001… (每相邻两个1 之间0 的个数逐次加1),…
知2－练
-3. 141 59 2 65 ,…
负有理数集
负无理数集
负实数集
- ,…
-3. 141 59 2 65 ,
- ,…
知3－讲
知识点
实数与数轴
3
1. 实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的.
(1)“一一对应”包含着两层含义：
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
知3－讲
(2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A、点B 在数轴上表示的数分别为x1、x2，则AB=|x1 -x2|.
2. 利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
知3－讲
特别解读
1. 在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置.
2. 借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
例 5
用“<”号连接下列各数：-， ，-2，2. 5，0.
解题秘方：根据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”求解.
知3－练
知3－练
解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图10. 2-1 所示.
由图10. 2-1 可知，-2 <-<0< <2. 5.
知3－练
变式训练 3-1. 已知下列实数：π，-｜-2｜，0，，(-1)2， ，将它们在如图所示的数轴上表示出来，并把这六个实数用“<”号连接起来.
解：如图所示.
知4－讲
知识点
实数的性质
4
1. 相关概念
(1)相反数：实数a 的相反数为- a，若a，b 互为相反数，则a+b= 0；
(2)倒数：非零实数a 的倒数为，若a，b 互为倒数，则ab=1；
(3)绝对值：|a|=
a(a ≥ 0)，
-a(a<0).
知4－讲
2. 比较实数的大小
(1)定义法：正数大于0，0 大于一切负数.
(2)性质法：两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小.
知4－讲
特别提醒
1. 在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
2. 对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可.
例 4
求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1) ； (2)- ； (3)； (4)2- .
解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数和绝对值.
知4－练
知4－练
解：(1) 的相反数是- ，倒数是，绝对值是.
(2)- 的相反数是 ，倒数是-，绝对值是.
(3)=，则它的相反数是-，倒数是，绝对值是.
(4)2- 的相反数是 -2，倒数是，绝对值是2-.
知4－练
变式训练
4-1. - 的相反数是( )
A. - B. - C. ± D.
4-2. 计算｜ - ｜的结果是( )
A. B. - C. 17 D. -17
D
A
知5－讲
知识点
实数的运算
5
1. 在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.
知5－讲
2. 实数的运算律
加法交换律：a+b=b+a；
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；
乘法交换律：ab=ba；
乘法结合律：(ab)c=a(bc)；
乘法分配律：(a+b)c=ac+bc.
知5－讲
3. 运算种类
运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方
运算结果 和 差 积 商 幂 方根
知5－讲
特别提醒
有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点能否运用运算律或公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确.
例 5
计算：(1)+2. 34-π(精确到0. 1)；
(2)( + )( -1)(精确到0. 01)；
(3) (+ + )×.
解题秘方：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
知5－练
知5－练
解：(1)+2. 3 4 -π≈×2. 2 4 +2. 3 4 -3. 14 ≈ 0. 3.
(2)( + )( -1)≈(1. 732+2. 236)×(1. 414-1)=
3. 9 6 8×0. 414 ≈1. 6 4.
(3) (+ + )×= (-6 ++4)×10 =
-0. 5×10 =-5.
知5－练
变式训练
5-1. 计算：
(1)( - )+ ；
(2) -3 ；
(3)｜ -2｜+2 ；
(4) + -5. 021(精确到0. 01).
实数
实数
定义
有理数
数轴
性质
运算
无理数