14.3 实　数 导学练课件(共48张PPT) 2025-2025学年冀教版八年级数学上册

(共48张PPT)
14.3 实　数
第十四章 实　数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
无理数
实数的概念及分类
实数与数轴
实数的性质
实数的大小比较
确定一个无理数的大致范围
知1－讲
感悟新知
知识点
无理数
1
1. 定义
无限不循环小数叫做无理数 .
判断标准： 小数位数无限，小数形式为不循环 .
感悟新知
知1－讲
特别警示
1. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.例如： 0. 是无限小数，但不是无理数.
2. 某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数 .例如 ， 就不是无理数.
感悟新知
2. 三种常见形式
(1)开方开不尽而得到的数，如 ， ，…；
(2)含有 π 的一类数，如 π， π， π +1，…；
(3) 以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个 1 之间依次多一个 0) .
知1－讲
感悟新知
3. 无理数与有理数的区别
(1) 有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数；
(2) 所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
考向：利用无理数的定义识别无理数
[母题 教材 P81 练习 T2 ]下列各数：3.141 59， － 3，0.131 131 113…(每相邻两个 3 之间依次多一个 1)，
π － 5， +1， － 中，无理数有_______个 .
例1
3
解题秘方：根据无理数的三种常见形式去辨析.
知1－练
感悟新知
解：∵ 3.141 59 是有限小数， ∴ 3.141 59 是有理数 .
∵ － 3= － 2， ∴ － 3是有理数 .
∵ 0.131 131 113…(每相邻两个 3 之间依次多一个 1)是无限不循环小数， ∴ 0.131 131 113…(每相邻两个 3 之间依次多一个 1)是无理数 .
∵ π 是无理数， ∴ π － 5 是无理数 .
∵ 是无理数， ∴ +1 是无理数 .
∵ － 是分数， ∴ － 是有理数 .
知1－练
感悟新知
1-1. [ 中考·长沙 ] 下列各数中，是无理数的是( )
A． B．π
C． －1 D． 0
B
变式训练
知1－练
感悟新知
1-2.在 ， 3， ，0.124， 3.141 592 6， 中，无理数有 ________个 .
2
感悟新知
知2－讲
知识点
实数的概念及分类
2
1. 定义 有理数和无理数统称为实数 .
特别解读：在实数范围内，一个数不是有理数，那么它就一定是无理数，反之亦成立.
知2－讲
2. 分类 (1)按定义分类：
实数
有限小数或
无限循环小数
感悟新知
知2－讲
感悟新知
特别提醒
1. 实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法，都要按同一标准，做到不重复不遗漏；
2. 对实数进行分类时， 某些数应先进行计算或化简，然后根据最后的结果进行分类. 不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数.
感悟新知
知2－讲
实数
0 既不是正实数也不是负实数.
(2) 按性质分类：
知2－练
[母题 教材P84 练习T1] 把下列各数填入相应的大括号内：
－，－，，，－ 3，0，－π，－，
－4.201，3.101 001 000 1…(每相邻两个1之间0的个数逐次加1).
有理数：｛ …｝；无理数：｛ …｝；
整数：｛ …｝；分数：｛ …｝；
正实数：｛ …｝；负实数：｛ …｝.
. .
例2
考向：利用实数中各类数的特征进行分类
知2－练
解题秘方：根据有理数、无理数等概念进行分类时，应注意先把一些数进行化简再判断.
知2－练
解：有理数：｛－，，－ 3，0， －，
－4. 0，…｝.
无理数：｛－，，－π，3.101 001 000 1… (每相邻两个1 之间0的个数逐次加1)，…｝.
判断时要看结果，不要看表面形式，如 － 3 =2是有理数，而不是无理数.
知2－练
整数：｛－ 3，0， …｝.
分数：｛－，，－，－4.0，…｝.
正实数：｛， ，－ 3，3.101 001 000 1… (每相邻两个1 之间0的个数逐次加1)，…｝.
负实数：｛－，－，－π，－，－4. 0，…｝.
知2－练
. .
. .
2-1. 把下列各数分别填到相应的横线上：
－3.141 519 26，，3 ，，，0.21，0，－3，0.202 002 000 200 002…(每相邻两个2之间0的个数逐次加1).
(1)正有理数：_________________ ；
(2)负无理数： __________________；
(3)负实数： ______________________.
变式训练
知2－练
感悟新知
2-2.在 ， － ，3. ， － 8， 3， － ，0， －π 中，有理数有 m个，整数有 p 个，分数有 k 个，负数有 t 个，则 m－k+t+p= _________．
9
知3－讲
知识点
实数与数轴
3
实数与数轴间的关系
实数与数轴上的点是一一对应的.
“一一对应”包含着两层含义：
①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
②数轴上的每一个点都表示一个实数.
知3－讲
感悟新知
特别解读
借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数.
知3－练
感悟新知
下列说法正确的有( )
①数轴上的任意一点都表示一个有理数；
②每个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；
③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
④有理数与数轴上的点一一对应.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
例3
考向：利用实数与数轴的关系进行判断
知3－练
感悟新知
解题秘方：利用实数与数轴上的点的对应关系进行解答 .
解：数轴上的任意一点都表示一个实数，可以是有理数，也可以是无理数，故① 错误；
每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，故②③正确；
实数与数轴上的点一一对应，故④ 错误.
答案：B
知3－练
感悟新知
3-1. 如图，将面积为 7 的正方形 OABC 和面积为 9 的正方形 ODEF 分别绕原点 O 顺 时 针旋转， 使OA， OD 落在数轴上，点 A， D 在数轴上对应的数分别为 a， b， 则b－a=________ .
变式训练
感悟新知
知4－讲
知识点
实数的性质
4
1. 绝对值：在数轴上，表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值. 实数a 的绝对值记为|a|.
2. 相反数：对于符号不同而绝对值相等的两个实数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. a 的相反数可以表示为-a.
3. 倒数：如果两个实数的积为1，则称这两个实数互为倒数.
知4－讲
感悟新知
特别提醒
在有理数范围内的一些基本概念( 如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用.
感悟新知
知4－练
[母题 教材 P85 练习 T2 ]求下列各数的相反数、倒数和绝对值 .
(1) ；(2) － ；(3)2 － .
例4
考向：利用实数的性质解决实数问题
解题秘方：利用实数的性质求相反数、倒数、绝对值.
知4－练
感悟新知
解： 的相反数是 － ，倒数是 ，绝对值是 .
(1) ；
(2) － ；
(3)2 － .
－ =－ ，则它的相反数是 ，倒数是－，绝对值是 .
2－ 的相反数是 －2，倒数是 ，绝对值是2－ .
知4－练
4-1. [中考·青岛]－的相反数是( )
A. － B. －
C. ± D.
D
变式训练
知4－练
感悟新知
4-2. －｜－ ｜的值为( )
A. B. －
C. ± D. 2
B
感悟新知
知5－讲
知识点
实数的大小比较
5
1. 实数大小的比较
(1)数轴上的两点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
(2)正实数大于0，0 大于负实数，正实数都大于负实数；
(3)两个负实数比较大小，绝对值大的反而小.
感悟新知
知5－讲
2. (1)一般地，对于任意两个正数a 和b，如果 a>b，那么 > ， > ；反过来，如果 > 或 > ，那么 a>b.
(2) 一般地，对于任意两个负数a 和b，如果 a>b，那么 > ；反之，如果 > ，那么a>b.
知5－讲
感悟新知
特别提醒
比较两个实数的大小，可以根据题目特点选用不同的方法.
知5－练
感悟新知
[母题 教材 P87 例 1 ] 比较下列各组数的大小：
(1) － 和 － 1.1；(2) － 和 － ；(3)2.2 和 .
例5
考向：实数的大小比较
解题秘方：紧扣实数的比较大小的方法求解 .
知5－练
感悟新知
解：因为 － ≈ － 1.047 2， | － 1.047 2|<| － 1.1|，
所以 － > － 1.1.
(1) － 和 － 1.1
(2) － 和 －
因为 3<7，所以 < ，所以 － > － .
知5－练
感悟新知
解：方法一 (被开方数比较法)
因为 2 .2= = ，而 4.84<5，
所以 2 .2< .
方法 二(平方比较法)
因为 2 .2 2= 4.84，( ) 2=5， 4.84<5，
所以 2 .2< .
(3)2.2 和
已知两个正数 a，b，如果
a＜ b，那么 ＜ .
已知两个正数 a， b，如
果a2 ＜ b2，那么 a＜ b.
知5－练
感悟新知
5-1. [ 中考·扬州 ] 已知a= ， b=2， c= ，则 a， b， c 的大小关系是( )
A． b>a>c B． a>c>b
C． a>b>c D． b>c>a
C
变式训练
知5－练
感悟新知
5-2.用“<”连接下列各数： － ， ， － ，2.5， 0.
感悟新知
知6－讲
知识点
确定一个无理数的大致范围
6
根据实数大小比较的方法，对一些不易求值的无理数，我们通常用两边夹逼的方法确定这个无理数的大致范围.
因为12=1，2 2=4，1<2<4，所以1< <2；
取1 与2 之间的一个数，如1.5，1.52=2.2 5，而1<2<2.25，所以1< <1.5；
感悟新知
知6－讲
取1 与1.5 之间的一个数，如1.3，1.32=1.6 9，而1.69<2< 2.2 5，所以1.3< <1.5；
取1.3 与1.5 之间的一个数，如1.4，1.42=1.9 6， 而1.96<2<2.2 5，所以1.4< <1.5.
感悟新知
知6－讲
如果精确到0.1，取1.4 与1.5 之间的一个数，如1.45，1.452=2.102 5，而1.96<2<2.102 5，所以1.4< <1.45，那么≈ 1.4，这样进行下去，我们可以得到 的更精确的近似值.
感悟新知
知6－讲
说明：
(1)运用夹逼的方法确定无理数的大致范围的关键是确定比无理数大(或小)的恰当的有理数；
(2)求无理数的小数部分时，可先确定这个无理数的整数部分，那么原数与整数部分的差就是这个无理数的小数部分.
知5－讲
感悟新知
特别解读
在比较的过程中， 利用了被开方数大的， 其算术平方根也大的 性质.
感悟新知
知6－练
[母题 教材P89 练习T1 ] 已知 a， b 为两个连续整数，且 a< 例6
考向：利用估算解决算术平方根问题
5
知6－练
感悟新知
解题秘方：本题运用夹逼法来找出与7 接近的两个平方数，确定 7 的算术平方根的范围，从而确定整数 a 与 b 的值 .
解：因为 2 2< 7<3 2，所以 2< <3.
因为 a， b 为两个连续整数，且 a< 所以 a=2， b=3. 所以 a+b=5.
答案：5
知6－练
感悟新知
6-1.估计 的值应在( )
A． 3.5 和 4 之间
B． 4 和 4.5 之间
C． 4.5 和 5 之间
D． 5 和 5.5 之间
C
变式训练
实数
实数
定义
数轴
性质
运算
有理数
无理数