人教新课标A版选修4-4数学1.1平面直角坐标系、平面上的坐标变换同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-4数学1.1平面直角坐标系、平面上的坐标变换同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 11:56:56 | ||
图片预览
文档简介
登陆21世纪教育 助您教考全无忧
1.1平面直角坐标系、平面上的坐标变换同步检测
一、选择题
1. 直线经伸缩变换后变为,则该伸缩变换为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：设变换为将其代入方程,得.又∵,∴.即
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可.
2. 在体育场排练团体体操，甲、乙二人所在位置的坐标分别为（2，1）,（3，2），丙所在位置的坐标为.若这三人所站的位置是在一条直线上，则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：解答：两点（2，1），（3，2）所在直线的方程为，依题意，得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据平面直角坐标系求解曲线方程即可.
3. 将曲线按变换后得到曲线的焦点坐标为( )
A.B. C. D.(1，0)
答案：A
解析：解答：将曲线按变换后得到曲线方程为，所以焦点坐标为.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
4. 将椭圆按变换后得到圆，则( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：解答：圆即，
由椭圆，得，
所以由变换得，.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是伸缩变换计算即可.
5. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：解答：将直接代入，得，，即为所求曲线C的方程.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换化简计算即可
6.经过伸缩变换后,曲线方程变为( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：解答：由得又∵,∴,即
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可.
7. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线C的方程为( )
A. .B.C.D.
答案：A
解析：解答：由伸缩变换将代入变换后的方程得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
8. 已知等腰中，，，，则点的坐标为( )
A.（3，-3）B.（0，3）或（3，-3）C.（2，-1）D.（0，3）或（2，-1）
答案：D
解析：解答：方法一：若点，则，所以不满足，排除选项A，B；
若点，则，所以，又，故满足题意，由于的中点坐标为（1，1），由对称性，得另一点的坐标为（0，3），故选D.
方法二：设，由，得，即，所以，即①.
由，得，
化简，得.
代入①整理，得，解得，，所以，，
所以点的坐标为（0，3）或（2，-1）.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换的原理结合所给条件计算即可
9. 有相距1400m的A，B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到爆炸声的时间早4s.已知当时声音速度为340m/s，则爆炸点所在的曲线为( )
A.双曲线 B.直线 C.椭圆 D.抛物线
答案：A
解析：解答：由题意知，爆炸点与点的距离差为定值340×4=1360＜1400，
故爆炸点位于以为焦点的且离点B较远的双曲线的一支上.
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给曲线满足的条件分析计算即可
二、填空题
10. 将对数曲线的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为___________.
答案：
解析：解答：由题意知伸缩变换为即代入曲线中得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
11. 将点P(2,3)变换为点（1,1)的一个伸缩变换公式为__________
答案：
解析：解答：设伸缩变换为由解得∴
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
12. 将点P（-2,2）变换为P’（-6,1）的伸缩变换公式为__________.
答案：
解析：解答：由伸缩变换公式得所以.
故伸缩变换公式为
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换的原理计算即可
13. 将圆按变换后得到曲线的离心率等于______.
答案：
解析：解答：将圆按变换后得到曲线方程为，故，，，离心率.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换的原理计算即可
14. 在平面直角坐标系中，方程所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为__________.
答案：
解析：解答：由伸缩变换得
代入直线方程得.
则变换后的直线方程为.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据所给函数结合伸缩变换的原理计算即可
15. ．已知A(2,1)，B (-1,1),O为坐标原点,动点M满足,其中,且,则M的轨迹方程为_____________
答案：
解析：解答：设,
则,
∴又,消去得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给条件求解曲线方程即可
三、解答题
16. 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换，后的图形是什么形状？
(1
答案：解：由伸缩变换可知
将,代入,可得,即.
即伸缩变换之后的图形还是抛物线.
(2
答案：解：将,代入,得,
即,
即伸缩变换之后的图形为焦点在轴上的椭圆.
解析：分析：本题考查伸缩变换的应用,解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程,然后再判断图形的形状.
17. 已知求直角顶点C的轨迹方程.
答案：解：以所在直线为轴,的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有,设顶点.
法一：由是直角三角形可知,即.化简得.依题意可知,.
故所求直角顶点的轨迹方程为.
法二：由是直角三角形可知,所以,则,化简得直角顶点的轨迹方程为.
法三：由是直角三角形可知,且点与点不重合,所以,化简得直角顶点的轨迹方程为.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是需要结合几何图形的结构特点,建立适当的平面直角坐标系,然后设出所求动点的坐标,寻找满足几何关系的等式,化简后即可得到所求的轨迹方程；
求轨迹方程，其实质就是根据题假设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程.(1)求轨迹方程时的一般步骤是：建系设点列式化简检验；(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性；(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从对角度思考问题.
18. 已知中，求证：.
答案：证明：以为坐标原点所在直线为轴,建立平面直角坐标系,
则,设,
则,
∴
,
.
∴.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据条件建立坐标系求解方程即可
19. 已知中，分别为两腰上的高.求证：
答案：证明：如图,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
设.
则直线的方程为,
即：.
直线的方程为,
即：.
由点到直线的距离公式：,
∴,即.
解析：分析：本题考查坐标法在几何中的应用.解答本题可通过建立平面直角坐标系,将几何证明问题转化为代数运算问题. (1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握. (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征.例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等.
20. 某种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍，已知A，B 两地距离为10千米，顾客选择A 或 B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
答案：解：如图，以 A，B所在的直线为x轴，AB中点 O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，.
设某地P的坐标为，且P地居民选择到A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米.
价格+运费×到地的距离≤价格+运费×到地的距离，
即，
因为，所以.
即.
所以以点为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线.
圆C内的居民从A地购货便宜.
圆C外的居民从B 地购货便宜.
圆C上的居民从A，B 地购货的总费用相等，因此，可随意从A，B两地之一购货.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给事件问题建立平面直角坐标系求解即可
21. 在正三角形内有一动点P,已知P到三顶点的距离分别为,且满足,求点P的轨迹方程.
答案：解答：以的中点为原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立如图所示的直角坐标系,
设点用点的坐标表示等式
,
有,
化简得,
即点的轨迹方程为.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给条件建立空间直角坐标系计算即可
22. 在平面直角坐标系中，求下列方程对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1).
答案：解：由伸缩变换得
将其代入，得到经过伸缩变换后的图形的方程是.
所以经过伸缩变换后，直线 成直线.
(2).
答案：解：将代入，得到经过伸缩变换后的图形的方程是，即.
所以经过伸缩变换后，圆变成椭圆.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据平面直角坐标轴中的伸缩变换原理计算即可
23. 已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，动点M满足，求动点M的轨迹方程.
答案：解：以为原点,分别以直线为轴、轴建立直角坐标系,则,.
设为轨迹上任一点,则
,
,
∴由,可得
化简,得.
∴点的轨迹方程为.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给条件建立空间直角坐标系计算即可
24. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（-2，1）,（-1，3）,（3，4），求第四个顶点的坐标.
答案：解：设平行四边行的三个顶点分别为，如图，设第四个顶点为，所以点有三种不同的位置.
若平行四边形为时，设点的坐标为，则，.
由，得解得，即.
若平行四边形为时，同理，求得点的坐标为（4，6）；
若平行四边形为时，同理，求得点的坐标为（-6，0）.
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标分别为（2，2），（4，6）或（-6，0）.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给直线结合所给条件分析计算即可
25. 如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6 km，C在B的北偏西30°，两地相距4 km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．
答案：(8,5)
解析：
解答：设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．
因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又因为|PB|－|PA|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，解得x＝8或x＝－(舍去)，
所以y＝5.
所以点P的坐标为(8,5)．
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上；(2)在以A，B为焦点的双曲线上．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 13 页 （共 13 页） 版权所有@21世纪教育网
1.1平面直角坐标系、平面上的坐标变换同步检测
一、选择题
1. 直线经伸缩变换后变为,则该伸缩变换为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：设变换为将其代入方程,得.又∵,∴.即
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可.
2. 在体育场排练团体体操，甲、乙二人所在位置的坐标分别为（2，1）,（3，2），丙所在位置的坐标为.若这三人所站的位置是在一条直线上，则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：解答：两点（2，1），（3，2）所在直线的方程为，依题意，得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据平面直角坐标系求解曲线方程即可.
3. 将曲线按变换后得到曲线的焦点坐标为( )
A.B. C. D.(1，0)
答案：A
解析：解答：将曲线按变换后得到曲线方程为，所以焦点坐标为.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
4. 将椭圆按变换后得到圆，则( )
A.B.C.D.
答案：D
解析：解答：圆即，
由椭圆，得，
所以由变换得，.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是伸缩变换计算即可.
5. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线C的方程为( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：解答：将直接代入，得，，即为所求曲线C的方程.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换化简计算即可
6.经过伸缩变换后,曲线方程变为( )
A.B.C.D.
答案：A
解析：解答：由得又∵,∴,即
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可.
7. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线C的方程为( )
A. .B.C.D.
答案：A
解析：解答：由伸缩变换将代入变换后的方程得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
8. 已知等腰中，，，，则点的坐标为( )
A.（3，-3）B.（0，3）或（3，-3）C.（2，-1）D.（0，3）或（2，-1）
答案：D
解析：解答：方法一：若点，则，所以不满足，排除选项A，B；
若点，则，所以，又，故满足题意，由于的中点坐标为（1，1），由对称性，得另一点的坐标为（0，3），故选D.
方法二：设，由，得，即，所以，即①.
由，得，
化简，得.
代入①整理，得，解得，，所以，，
所以点的坐标为（0，3）或（2，-1）.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换的原理结合所给条件计算即可
9. 有相距1400m的A，B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到爆炸声的时间早4s.已知当时声音速度为340m/s，则爆炸点所在的曲线为( )
A.双曲线 B.直线 C.椭圆 D.抛物线
答案：A
解析：解答：由题意知，爆炸点与点的距离差为定值340×4=1360＜1400，
故爆炸点位于以为焦点的且离点B较远的双曲线的一支上.
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给曲线满足的条件分析计算即可
二、填空题
10. 将对数曲线的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为___________.
答案：
解析：解答：由题意知伸缩变换为即代入曲线中得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
11. 将点P(2,3)变换为点（1,1)的一个伸缩变换公式为__________
答案：
解析：解答：设伸缩变换为由解得∴
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
12. 将点P（-2,2）变换为P’（-6,1）的伸缩变换公式为__________.
答案：
解析：解答：由伸缩变换公式得所以.
故伸缩变换公式为
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换的原理计算即可
13. 将圆按变换后得到曲线的离心率等于______.
答案：
解析：解答：将圆按变换后得到曲线方程为，故，，，离心率.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据伸缩变换的原理计算即可
14. 在平面直角坐标系中，方程所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为__________.
答案：
解析：解答：由伸缩变换得
代入直线方程得.
则变换后的直线方程为.
分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据所给函数结合伸缩变换的原理计算即可
15. ．已知A(2,1)，B (-1,1),O为坐标原点,动点M满足,其中,且,则M的轨迹方程为_____________
答案：
解析：解答：设,
则,
∴又,消去得.
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给条件求解曲线方程即可
三、解答题
16. 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换，后的图形是什么形状？
(1
答案：解：由伸缩变换可知
将,代入,可得,即.
即伸缩变换之后的图形还是抛物线.
(2
答案：解：将,代入,得,
即,
即伸缩变换之后的图形为焦点在轴上的椭圆.
解析：分析：本题考查伸缩变换的应用,解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程,然后再判断图形的形状.
17. 已知求直角顶点C的轨迹方程.
答案：解：以所在直线为轴,的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有,设顶点.
法一：由是直角三角形可知,即.化简得.依题意可知,.
故所求直角顶点的轨迹方程为.
法二：由是直角三角形可知,所以,则,化简得直角顶点的轨迹方程为.
法三：由是直角三角形可知,且点与点不重合,所以,化简得直角顶点的轨迹方程为.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是需要结合几何图形的结构特点,建立适当的平面直角坐标系,然后设出所求动点的坐标,寻找满足几何关系的等式,化简后即可得到所求的轨迹方程；
求轨迹方程，其实质就是根据题假设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程.(1)求轨迹方程时的一般步骤是：建系设点列式化简检验；(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性；(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从对角度思考问题.
18. 已知中，求证：.
答案：证明：以为坐标原点所在直线为轴,建立平面直角坐标系,
则,设,
则,
∴
,
.
∴.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据条件建立坐标系求解方程即可
19. 已知中，分别为两腰上的高.求证：
答案：证明：如图,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
设.
则直线的方程为,
即：.
直线的方程为,
即：.
由点到直线的距离公式：,
∴,即.
解析：分析：本题考查坐标法在几何中的应用.解答本题可通过建立平面直角坐标系,将几何证明问题转化为代数运算问题. (1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握. (2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征.例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等.
20. 某种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍，已知A，B 两地距离为10千米，顾客选择A 或 B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
答案：解：如图，以 A，B所在的直线为x轴，AB中点 O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，.
设某地P的坐标为，且P地居民选择到A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米.
价格+运费×到地的距离≤价格+运费×到地的距离，
即，
因为，所以.
即.
所以以点为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线.
圆C内的居民从A地购货便宜.
圆C外的居民从B 地购货便宜.
圆C上的居民从A，B 地购货的总费用相等，因此，可随意从A，B两地之一购货.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给事件问题建立平面直角坐标系求解即可
21. 在正三角形内有一动点P,已知P到三顶点的距离分别为,且满足,求点P的轨迹方程.
答案：解答：以的中点为原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立如图所示的直角坐标系,
设点用点的坐标表示等式
,
有,
化简得,
即点的轨迹方程为.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给条件建立空间直角坐标系计算即可
22. 在平面直角坐标系中，求下列方程对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1).
答案：解：由伸缩变换得
将其代入，得到经过伸缩变换后的图形的方程是.
所以经过伸缩变换后，直线 成直线.
(2).
答案：解：将代入，得到经过伸缩变换后的图形的方程是，即.
所以经过伸缩变换后，圆变成椭圆.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换，解决问题的关键是根据平面直角坐标轴中的伸缩变换原理计算即可
23. 已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，动点M满足，求动点M的轨迹方程.
答案：解：以为原点,分别以直线为轴、轴建立直角坐标系,则,.
设为轨迹上任一点,则
,
,
∴由,可得
化简,得.
∴点的轨迹方程为.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给条件建立空间直角坐标系计算即可
24. 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（-2，1）,（-1，3）,（3，4），求第四个顶点的坐标.
答案：解：设平行四边行的三个顶点分别为，如图，设第四个顶点为，所以点有三种不同的位置.
若平行四边形为时，设点的坐标为，则，.
由，得解得，即.
若平行四边形为时，同理，求得点的坐标为（4，6）；
若平行四边形为时，同理，求得点的坐标为（-6，0）.
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标分别为（2，2），（4，6）或（-6，0）.
解析：分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据所给直线结合所给条件分析计算即可
25. 如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6 km，C在B的北偏西30°，两地相距4 km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．
答案：(8,5)
解析：
解答：设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．
因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又因为|PB|－|PA|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，解得x＝8或x＝－(舍去)，
所以y＝5.
所以点P的坐标为(8,5)．
分析：本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程，解决问题的关键是根据题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上；(2)在以A，B为焦点的双曲线上．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 第 13 页 （共 13 页） 版权所有@21世纪教育网