人教新课标A版选修4-4数学1.2极坐标系同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版选修4-4数学1.2极坐标系同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-16 13:26:13 | ||
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文档简介
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1.2极坐标系同步检测
一、选择题
1. O为极点， ，，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：D
解析：解答：因为 ， ，所以 ，则三角形为直角三角形，则面积为 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可.
2. 极坐标系中，集合 表示的图形是( )
A. 射线B. 直线C. 圆D. 半圆
答案：C
解析：解答：由于 表示到极点距离等于2014的点的集合，又 ，即以极点为圆心，半径为2014的圆.
分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标的意义分析即可
3. 极坐标系中，与点的距离为1且与极点距离最近的点的直角坐标为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：依题意，所求的点与极点、点三点共线，且该点的极径为4，故该点的极坐标可以表示为 ，化为直角坐标为 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标系与直角坐标系的关系分析即可
4. 已知定点 ，将极点移至 处，极轴方向不变，则点P的新的极坐标为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：设点P的新极坐标为 ，如图.
则 ，又 ， ，在 中， ，故 http://ww@w.wln100.co(m 未来脑教学云平!台#，又 ，所以 ，所以 ，
所以，
故点的新极坐标为 .
分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标的平移计算即可
5. 直角坐标系中，点 的极坐标可以是
A .B. C. D.
答案：D
解析：解答：因为， ， .
由于点 在第四象限，所以 .
所以点的直角坐标化为极坐标为
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据根据极坐标与直角坐标系关系互化计算即可
6. 若 ，则点 与点的位置关系是( )
A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称
C. 关于过极点与极轴垂直的直线对称D. 重合
答案：B
解析：解答：因为，故点位于过极点的直线上，且到极点距离相等，即关于极点对称.
分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标分析即可
7. 已知点P的坐标为 ，则过点P且垂直极轴的直线方程是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为x=-1，即 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标的意义互化即可
8. 已知极坐标系中，极点为 ，若等边三角形ABC顶点A,B,C按顺时针方向排列）的顶点A,B的极坐标分别是， ，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解答：如图所示，
由于点 ，，故极点O为AB中点，故等边 的边长 ，则 ， ，则C点的极坐标为 ，即 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点满足的几何关系计算即可
9. 下列结论中不正确的是( )
A. . 与 关于极轴对称B. 与 关于极点对称
C 与 关于极轴对称.D. 与 关于极点对称
答案：D
解析：解答：观察四个选项，距离参数符合要求，研究极角关系，与 不是关于极点对称，故选D.
分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标的意义分析即可
10. 圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：法一：∵圆 ，可以看作由圆 顺时针旋转 得到.而 的圆心为 ，顺时针旋转得到，∴ 的圆心坐标为 .
法二：圆 直角坐标方程为 ，∴ ，圆心的直角坐标为 ，化为极坐标为 .
分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系互化化简计算即可
二、填空题
11. 在极坐标系中，已知两点 的极坐标分别为 ， ，则 （其中为极点）的面积为_____________.
答案：3
解析：解答：如图所示， ， ， ，
所以 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系计算即可
12. 直线 的极坐标方程为__________
答案：
解析：解答： ， ，取
分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据所给方程化为极坐标即可
13. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P的极坐标 化成直角坐标 .
答案：
解析：解答：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化,由点P的极坐标为 ,设点P的直角坐标为(x,y),所以 ,故填
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
14. 在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则= ．
答案：
解析：解答：本题考查极坐标系与直角坐标系的互化，意在考查考生的运算求解能力．曲线 化为直角坐标方程为 ，过点(3，0)且与极轴垂直的直线为 直线与圆联立得 ， ，故 ．故本题正确答案为 ．
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
三、解答题
15. 把点M的极坐标 化成直角坐标.
答案：解答：
,
因此,点M的直角坐标是 .
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系分析计算即可
16. 已知定点
(1)将极点移至 处极轴方向不变，求P点的新坐标.
答案：解：设P点新坐标为 ,如图所示,
由题意可知 ,
,
,
∴ .
在 中,
,∴,.
即 .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .∴ .
∴P点的新坐标为 .
(2)极点不变，将极轴顺时针转动 角，求P点的新坐标.
答案：解：如图,
设P点的新坐标为 ,则 .
∴P点的新坐标为 .
解析：分析：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化.解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标. 建立极坐标系的要素是：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边是随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向， 的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径 表示点M与极点O的距离|OM|,因此；但必要时，允许 .
17. 在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是 ,则求第三个顶点C的坐标.
答案：解：由题设知，A，B两点关于极点O对称,又 ,由正三角形的性质知,
,从而C的极坐标为 或
解析：分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据所给点满足的几何意义计算即可
18. 某大学校园的部分平面示意图如图
用点 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中 ， m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标（限定 且极点为（0，0））.
答案：解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为 ， ，故 .
又 ， ， ， ， .
故 ， ， ， ，
解析：分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标系计算即可
19. 如果对点的极坐标定义如下：当已知 时，点M关于极点O的对称点 .
例如， 关于极点O的对称点，就是说 与表示同一点.
已知A点的极坐标是 ，分别在下列给定条件下，写出A点的极坐标：
（1） .
答案：解：如图所示， ，
， ，
即点A与 关于极点O对称.
由极坐标的定义知
当时，
（2） .
答案：解：有（1）可知，当时，
（3） .
答案：解：有（1）可知，当时，
解析：分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标的意义计算即可
20. 边长为2的菱形ABCD，一个内角为60°，建立适当的极坐标系，求出菱形四个顶点的极坐标（限定 ）.
答案：解：如图，
，以A为极点O,AB的方向为极轴的正方向，建立极坐标系，则菱形的四个顶点的极坐标分别为 （答案不惟一）.
解析：分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标系计算即可
21. 已知点M的极坐标为 ，极点O在直角坐标系 中的直角坐标为（2，3），极轴平行于x轴，极轴的方向与x轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直角坐标.
答案：解：以极点为坐标原点，极轴方向为 轴正方向，
建立新直角坐标系 ，设点M的新直角坐标为，于是， ，由 ， ，
易得 与 的关系为 于是点 为 所以点M的直角坐标为 .
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据坐标系的关系分析计算即可。
22.已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
答案：解：由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
答案：解：由P、Q关于直线θ＝对称，
得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为
(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
解析：分析：本题主要考查了，解决问题的关键是根据确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．
23. 在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．
答案：解：作出图形，
可知A(3，)关于直线θ＝的对称点是.
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
24. 在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标
答案：解：设M(r,0)，
因为A，
所以 ＝5，
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化计算即可
25. 根据点的极坐标和直角坐标的互化，解决下列问题
(1)把点A的极坐标化成直角坐标；
答案：解： x＝2cos＝－，
y＝2sin＝－1，
故点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)
答案：解：ρ＝＝2，tan θ＝＝－.
又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝.
因此点P的极坐标是.
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
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1.2极坐标系同步检测
一、选择题
1. O为极点， ，，则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：D
解析：解答：因为 ， ，所以 ，则三角形为直角三角形，则面积为 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可.
2. 极坐标系中，集合 表示的图形是( )
A. 射线B. 直线C. 圆D. 半圆
答案：C
解析：解答：由于 表示到极点距离等于2014的点的集合，又 ，即以极点为圆心，半径为2014的圆.
分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标的意义分析即可
3. 极坐标系中，与点的距离为1且与极点距离最近的点的直角坐标为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解答：依题意，所求的点与极点、点三点共线，且该点的极径为4，故该点的极坐标可以表示为 ，化为直角坐标为 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标系与直角坐标系的关系分析即可
4. 已知定点 ，将极点移至 处，极轴方向不变，则点P的新的极坐标为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：设点P的新极坐标为 ，如图.
则 ，又 ， ，在 中， ，故 http://ww@w.wln100.co(m 未来脑教学云平!台#，又 ，所以 ，所以 ，
所以，
故点的新极坐标为 .
分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标的平移计算即可
5. 直角坐标系中，点 的极坐标可以是
A .B. C. D.
答案：D
解析：解答：因为， ， .
由于点 在第四象限，所以 .
所以点的直角坐标化为极坐标为
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据根据极坐标与直角坐标系关系互化计算即可
6. 若 ，则点 与点的位置关系是( )
A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称
C. 关于过极点与极轴垂直的直线对称D. 重合
答案：B
解析：解答：因为，故点位于过极点的直线上，且到极点距离相等，即关于极点对称.
分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标分析即可
7. 已知点P的坐标为 ，则过点P且垂直极轴的直线方程是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为x=-1，即 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标的意义互化即可
8. 已知极坐标系中，极点为 ，若等边三角形ABC顶点A,B,C按顺时针方向排列）的顶点A,B的极坐标分别是， ，则顶点C的极坐标为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解答：如图所示，
由于点 ，，故极点O为AB中点，故等边 的边长 ，则 ， ，则C点的极坐标为 ，即 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点满足的几何关系计算即可
9. 下列结论中不正确的是( )
A. . 与 关于极轴对称B. 与 关于极点对称
C 与 关于极轴对称.D. 与 关于极点对称
答案：D
解析：解答：观察四个选项，距离参数符合要求，研究极角关系，与 不是关于极点对称，故选D.
分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标的意义分析即可
10. 圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：法一：∵圆 ，可以看作由圆 顺时针旋转 得到.而 的圆心为 ，顺时针旋转得到，∴ 的圆心坐标为 .
法二：圆 直角坐标方程为 ，∴ ，圆心的直角坐标为 ，化为极坐标为 .
分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系互化化简计算即可
二、填空题
11. 在极坐标系中，已知两点 的极坐标分别为 ， ，则 （其中为极点）的面积为_____________.
答案：3
解析：解答：如图所示， ， ， ，
所以 .
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系计算即可
12. 直线 的极坐标方程为__________
答案：
解析：解答： ， ，取
分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据所给方程化为极坐标即可
13. 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P的极坐标 化成直角坐标 .
答案：
解析：解答：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化,由点P的极坐标为 ,设点P的直角坐标为(x,y),所以 ,故填
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
14. 在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则= ．
答案：
解析：解答：本题考查极坐标系与直角坐标系的互化，意在考查考生的运算求解能力．曲线 化为直角坐标方程为 ，过点(3，0)且与极轴垂直的直线为 直线与圆联立得 ， ，故 ．故本题正确答案为 ．
分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
三、解答题
15. 把点M的极坐标 化成直角坐标.
答案：解答：
,
因此,点M的直角坐标是 .
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系关系分析计算即可
16. 已知定点
(1)将极点移至 处极轴方向不变，求P点的新坐标.
答案：解：设P点新坐标为 ,如图所示,
由题意可知 ,
,
,
∴ .
在 中,
,∴,.
即 .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .∴ .
∴P点的新坐标为 .
(2)极点不变，将极轴顺时针转动 角，求P点的新坐标.
答案：解：如图,
设P点的新坐标为 ,则 .
∴P点的新坐标为 .
解析：分析：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化.解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标. 建立极坐标系的要素是：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向.四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角的始边是极轴，它的终边是随着的大小和正负而取得各个位置；的正方向通常取逆时针方向， 的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径 表示点M与极点O的距离|OM|,因此；但必要时，允许 .
17. 在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是 ,则求第三个顶点C的坐标.
答案：解：由题设知，A，B两点关于极点O对称,又 ,由正三角形的性质知,
,从而C的极坐标为 或
解析：分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据所给点满足的几何意义计算即可
18. 某大学校园的部分平面示意图如图
用点 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中 ， m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标（限定 且极点为（0，0））.
答案：解：以O为极点，OA所在射线为极轴建立极坐标系，因为 ， ，故 .
又 ， ， ， ， .
故 ， ， ， ，
解析：分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标系计算即可
19. 如果对点的极坐标定义如下：当已知 时，点M关于极点O的对称点 .
例如， 关于极点O的对称点，就是说 与表示同一点.
已知A点的极坐标是 ，分别在下列给定条件下，写出A点的极坐标：
（1） .
答案：解：如图所示， ，
， ，
即点A与 关于极点O对称.
由极坐标的定义知
当时，
（2） .
答案：解：有（1）可知，当时，
（3） .
答案：解：有（1）可知，当时，
解析：分析：本题主要考查了极坐标刻画点的位置，解决问题的关键是根据极坐标的意义计算即可
20. 边长为2的菱形ABCD，一个内角为60°，建立适当的极坐标系，求出菱形四个顶点的极坐标（限定 ）.
答案：解：如图，
，以A为极点O,AB的方向为极轴的正方向，建立极坐标系，则菱形的四个顶点的极坐标分别为 （答案不惟一）.
解析：分析：本题主要考查了极坐标系，解决问题的关键是根据极坐标系计算即可
21. 已知点M的极坐标为 ，极点O在直角坐标系 中的直角坐标为（2，3），极轴平行于x轴，极轴的方向与x轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M的直角坐标.
答案：解：以极点为坐标原点，极轴方向为 轴正方向，
建立新直角坐标系 ，设点M的新直角坐标为，于是， ，由 ， ，
易得 与 的关系为 于是点 为 所以点M的直角坐标为 .
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据坐标系的关系分析计算即可。
22.已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
答案：解：由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
答案：解：由P、Q关于直线θ＝对称，
得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为
(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
解析：分析：本题主要考查了，解决问题的关键是根据确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．
23. 在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．
答案：解：作出图形，
可知A(3，)关于直线θ＝的对称点是.
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
24. 在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标
答案：解：设M(r,0)，
因为A，
所以 ＝5，
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化计算即可
25. 根据点的极坐标和直角坐标的互化，解决下列问题
(1)把点A的极坐标化成直角坐标；
答案：解： x＝2cos＝－，
y＝2sin＝－1，
故点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)
答案：解：ρ＝＝2，tan θ＝＝－.
又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝.
因此点P的极坐标是.
解析：分析：本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，解决问题的关键是根据(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
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