人教新课标A版选修4-4数学1.3曲线的极坐标系同步检测

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1.3曲线的极坐标系同步检测
一、选择题
1. 在极坐标系中，由三条直线围成图形的面积是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：解答：因为三条直线的直角坐标方程分别为， ， ，将 代入 ，解得.那么结合图形可知，这三条直线围成的三角形的面积是.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据简单曲线的极坐标方程化简计算即可
2. 极坐标方程(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
答案：C
解析：解答：本题主要考查极坐标方程所表示的曲线图形.由(ρ﹣1)(θ﹣π)=0(ρ≥0)可知ρ=1的图形表示一个圆，θ=π的图形表示一条射线(x轴非正半轴).
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据极坐标与直角坐标系的联系计算即可
3. 在极坐标系中，与曲线 关于直线 ()对称的曲线的极坐标方程是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解答：本题考查极坐标方程中对称的问题.设点，它关于直线 对称的的点为 ，所以方程为 ，所以应选C.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据对称的性质结合所给曲线求解即可
4. 极坐标方程 表示的曲线的中心在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案：D
解析：解答：由曲线的极坐标方程
得 ，所以 .
由公式 得 ，配方，得 ，这是圆的标准方程，圆心坐标为(1，-1)，在第四象限.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据极坐标方程化为普通方程，分析计算即可
5. 圆 的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：圆的方程变为 ，所以 ，即 .圆心的直角坐标为 ， ，又点 位于第四象限，故 ，又 http://+www. 未来脑@教学云平台(，故圆心的极坐标为.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据极坐标方程分析即可
6. 极坐标方程 的直角坐标方程为( )
A. 或 B. C. 或 D.
答案：C
解析：解答：极坐标方程 化为 即 ，则 或 .
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据极坐标方程转化为普通方程即可
7. ．已知曲线的极坐标方程为，则其直角坐标系下的方程是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：曲线的极坐标变为 ， 即 ，化为.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据极坐标方程化简即可
8. 在极坐标系中，圆 与直线 +http://www.wln100.co#m 未来脑教学云|平台#的公共点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
答案：C
解析：解答：直线与圆 的普通方程分别为 与 ，圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相交，即直线与圆的公共点个数是2.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据极坐标方程化为普通方程，然后根据几何关系计算即可
9. 极坐标方程 所表示的曲线是（ ）
A.两条相交直线B.圆C.椭圆D.双曲线
答案：D
解析：解答：原极坐标方程化为 ，即 表示双曲线
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是将极坐标方程转化为普通方程即可
二、填空题
10. 直线 的极坐标方程为_______.
答案： 或
解析：解答：直线方程变为 ，即 ，
故 ，故 或 .
所以直线 的极坐标方程为 或.
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是将所给普通方程转化即可
11. 在极坐标系中，曲线 与曲线 的一个交点在极轴上，则 _______.
答案：
解析：解答：曲线的直角坐标方程是 ，曲线 的直角坐标方程是 ，
因为曲线与曲线的一个交点在极轴上，所以与x轴交点的横坐标与a值相等，由 ，知 .
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程分析判定即可
12. 在极坐标系中，过点 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是____.
答案：
解析：解答：因，故过点且垂直于极轴的直线与极轴的交点，
因为过且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .
故过且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标关系分析即可
13. 在极坐标系中，过点 作圆 的切线，则切线的极坐标方程为_________.
答案：
解析：解答：点的直角坐标为(2，2)，圆的直角坐标方程为，配方，得 ，所以过点(2，2)的圆的切线方程为 ，化为极坐标方程为 .
分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程分析即可
三、解答题
14. 在极坐标系中，已知曲线 与 ，求：
(1)两曲线(含直线)的公共点的极坐标.
答案：解：由 得曲线 与 的直角坐标方程分别为 ， .
联立方程组，解得
由
得点 的极坐标为 .
(2)过点，被曲线 截得的弦长为 的直线的极坐标方程.
答案：解：方法一：由上述可知，曲线 即圆 ，如图所示，
过 ，被曲线 截得的弦长为的直线有两条：
一条过原点 ，倾斜角为 ，直线的直角坐标方程为 ，极坐标方程为 ；
另一条过点 ，倾斜角为 ，直线的直角坐标方程为 ，极坐标方程为，即 .
方法二：由上述可知，曲线 即圆，过点 ，被曲线 截得的弦长为的直线有两条：一条过原点 ，倾斜角为 ，极坐标方程为 ；另一条倾斜角为 ，极坐标方程为，即 .
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程分析计算即可
15. 在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l： ，
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程.
答案：解：圆， .
故圆 的直角坐标方程，即 .
直线，即，
则直线l的直角坐标方程，即 .
（2）当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
答案：解： 由 消去 ，得 ，所以 ，
故直线与圆的公共点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为 .
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程分析计算即可
16. 在极坐标系中，已知点 为圆 上任一点.求点P到直线的距离的最小值与最大值.
答案：解：圆 的直角坐标方程为 ，
直线 的直角坐标方程为 ，设点 ，
则点到直线 的距离 ，所以 ； .
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程计算即可
17. 在直角坐标系 中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ， 分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标.
答案：解：由 得，.
从而C的直角坐标方程为 .即 .
当时， ，所以 ；
当时， ，所以 .
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
答案：解：M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为，所以P点的直角坐标为 ，则P点的极坐标为 .所以直线OP的极坐标方程为 .
(注意：不表示为，这是射线的极坐标方程)
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程结合所给几何关系分析计算即可
18. 圆 和圆 的极坐标方程分别为 ， .
(1)把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程.
答案：解：由 得 ，所以 ，即圆 的直角坐标方程为 ，
同理圆 的直角坐标方为 .
(2)求经过圆，圆交点的直线的极坐标方程.
答案：解：由解得 或
即圆 和圆 交于点(0，0)和(2，-2)，则 ，则 或 .即过圆 和圆交点的直线的极坐标方程为则 或 .
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程分析计算即可得到所求量的关系
19. 圆心的极坐标为 ，求半径为3的圆的极坐标方程.
答案：解答：由题意，设圆上一点 ，
因为圆心坐标为 ，半径为3，故
所以所求圆的极坐标方程为
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是根据条件转化即可.
20. 求圆心在 ，半径为r的圆的方程.
答案：解答：在圆周上任取一点P (如图)设其极坐标为 .
由余弦定理知：
,
∴ .
故其极坐标方程为
.
解析：分析：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，解决问题的关键是(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法.
(2)特别地，当圆心在极轴上即 时，方程为 ；若再有 ，则其方程为 ；若，则方程为 ，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置.
21. 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程.
答案：解：设直角三角形的斜边为OD,它的长度是 ,以O为极点,OD所在射线为极轴,建立极坐标系,如图所示：
设为轨迹上的一点,则 .
在直角三角形 中, ,
∵ ,
∴ .
这就是所求轨迹的方程.
解析：分析：本题考查极坐标方程的求法,解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐标系,然后再求直角顶点的轨迹方程. (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下；①建立适当的极坐标系；②设P 是曲线上任一点；③列出 的关系式；④化简整理；(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键.
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