【期末热点.重难点】随机事件与概率（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册
文档属性
| 名称 | 【期末热点.重难点】随机事件与概率（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 307.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-21 16:42:09 | ||
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文档简介
期末热点.重难点 随机事件与概率
一．选择题（共5小题）
1．（2025 市中区校级模拟）为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，则每类项目都被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024秋 呼和浩特期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立
C． D．
3．（2024秋 浦东新区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．P（C）＝0.5 D．A与C相互独立
4．（2025 秦皇岛一模）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（ ）
A．甲分得黄球
B．甲分得白球
C．丙没有分得白球
D．甲分得白球，乙分得黄球
5．（2025 潍坊模拟）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 湖北期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ）
A．该试验的样本空间共有6个样本点
B．事件A与事件C互为对立事件
C．P（B∪C）＝P（）
D．事件B与事件C相互独立
（多选）7．（2024秋 自贡校级期末）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B互为互斥事件 B．与C互为互斥事件
C．A∪B＝C D．与C互为对立事件
（多选）8．（2024秋 广西期末）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（ ）
A．第二次由乙发球的概率为
B．甲先得一分的概率为
C．前两次发球都由乙得分的概率为
D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为
（多选）9．（2024秋 江西期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件 i表示“球取自i号盒子”，则（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 辽宁期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，则P（M∪N）+P（MN）＝ ．
11．（2025 昆明一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同一色棋子的概率为 ．
12．（2025 南宁模拟）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制．五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为3×52+2×51+4＝89．若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 个．若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 市北区校级期末）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：
平均作业时长n（单位：小时） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5）
学业成绩优秀：90≤m≤100 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀：0≤m≤90 136 137 102 18 7
（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若L（B|A）＝0.2，求P（A）．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05．
14．（2024秋 台州期末）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．
现有n（n≥3）人玩游戏．
（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p（3）、p（4）；
（2）求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）（结果用n表示）；
（3）设当n＝5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q．
15．（2024秋 海口校级期末）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）．
（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；
（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；
（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率．
期末热点.重难点 随机事件与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 市中区校级模拟）为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，则每类项目都被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，利用古典概型、排列组合求解．
【解答】解：从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，
基本事件总数n70，
每类项目都被抽到包含的基本事件个数为m30，
∴每类项目都被抽到的概率为P．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024秋 呼和浩特期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立
C． D．
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用古典概型的计算公式先求出P（A），P（B）和P（A∪B），再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断．
【解答】解：古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，
∴，，；
对于A，∵，∴事件A与事件B不互斥，故A错误；
对于B，，∴事件A与事件B不独立，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），得，
∴，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型、互斥事件、独立事件和对立事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024秋 浦东新区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．P（C）＝0.5 D．A与C相互独立
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D．
【解答】解：抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，
用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，
定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，
由题可得，样本空间为：
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），
（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个样本点，
其中A＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4）
（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3）（6，5）}，共包含18个样本点，
B＝{（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3）（5，5）}，共包含9个样本点，
C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（5，6）}，共有18个样本点，
对于A，若x+y为奇数，则x，y一个为奇数，一个为偶数，若xy为奇数，则x，y都为奇数，
∴事件A和事件B不能同时发生，∴事件A与事件B是互斥事件，故A正确；
对于B，事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，例如x＝2，y＝2，
∴事件A与事件B是互斥但不对立事件，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，AC＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，
∴，
∵，∴P（AC）＝P（A）P（C），
∴A与C相互独立，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、列举法、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2025 秦皇岛一模）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（ ）
A．甲分得黄球
B．甲分得白球
C．丙没有分得白球
D．甲分得白球，乙分得黄球
【考点】事件的互为对立及对立事件．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】由对立事件的概念即可得解．
【解答】解：甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件．
故选：C．
【点评】本题考查了对立事件的概念，属于基础题．
5．（2025 潍坊模拟）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据古典概型、列举法能求出抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率．
【解答】解：从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次的所有情况有4×4×4＝64种，
抽到的3张卡片上的数字之和大于9的情况有：
（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（3，4，4），（4，3，4），（4，4，3），
∴抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为P．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 湖北期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ）
A．该试验的样本空间共有6个样本点
B．事件A与事件C互为对立事件
C．P（B∪C）＝P（）
D．事件B与事件C相互独立
【考点】对立事件的概率关系及计算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学抽象．
【答案】AC
【分析】根据题意，列举样本空间Ω以及A、B、C，由此分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，用A、B和a、b表示同一双鞋，其A、a表示左脚的鞋，B、b表示右脚的鞋，
则Ω＝{AB，ab，Aa，Bb，Ab，aB}，
则A＝{AB，ab}，B＝{Aa，Bb}，C＝{Ab，aB}，
依次分析选项：
对于A，该试验的样本空间共有6个样本点，A正确；
对于B，事件A、C可能都不发生，不是对立事件，B错误；
对于C，B∪C{Aa，Bb，Ab，aB}，故P（B∪C）＝P（），C正确；
对于D，BC＝ ，则P（BC）＝0，而P（B）＝P（C），
则P（BC）≠P（B）P（C），事件B与事件C不相互独立，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查相互独立事件、对立事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 自贡校级期末）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B互为互斥事件 B．与C互为互斥事件
C．A∪B＝C D．与C互为对立事件
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合对立事件、互斥事件的定义，即可求解．
【解答】解：事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，
A，B两个事件可以同时发生，故A错误；
与C不可能同时发生，故B正确；
C为A，B的交事件，故C错误；
对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与C互为对立事件，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查对立事件、互斥事件的定义，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 广西期末）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（ ）
A．第二次由乙发球的概率为
B．甲先得一分的概率为
C．前两次发球都由乙得分的概率为
D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】A直接判断，BC根据独立事件，互斥事件同时发生的概率公式即可求解，D根据对立事件的概率公式求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，通过抛硬币决定谁先发球，第一次甲、乙发球的概率都是，
若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，反之，第二次由甲发球
故第二次由乙发球的概率为，故A错误；
对于B，若甲先发球，甲先得一分的概率P1，
若乙先发球，甲先得一分的概率P2，
故甲先得一分的概率P＝P1+P2，B正确；
对于C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误；
对于D，前两次发球都由甲得分的概率为，
则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 江西期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件 i表示“球取自i号盒子”，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】概率的应用；求解条件概率．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由全概率公式分析A，由对立事件的性质分析B，由贝叶斯公式分析C、D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，P（C1）＝P（C2）＝P（C3），
P（A|C1），P（A|C2），P（A|C3）＝1，
依次分析选项：
对于A，P（A）＝P（C1）P（A|C1）+P（C2）P（A|C2）+P（C1）P（A|C2）1，A错误；
对于B，由于P（A），则P（B）＝1﹣P（A），B正确；
对于C，P（AC1）＝P（C1）P（A|C1），
则P（C1|A），C正确；
对于D，P（BC2）＝P（C2）P（B|C2），
P（C2|B），D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查条件概率、全概率公式的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 辽宁期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，则P（M∪N）+P（MN）＝ ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】利用古典概型的概率公式计算出P（M）、P（N），即可求出P（M∪N）+P（MN）的值．
【解答】解：将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，
∵只拨动一粒珠子至梁上，∴数字只表示1或5，
∵个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
∴所得的四位数的个数为24＝16个，
能被3整除的四位数，数字1和5各出现2个，
这样的四位数有：1155、1515、1551、5511、5115、5151，共6个，
∴，
能被5整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为：
1115、1155、1515、1555、5555、5115、5155、5515，共8个，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2025 昆明一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同一色棋子的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】计算两端棋子颜色不同的概率，再使用对立事件概率的性质即可．
【解答】解：现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，
若两端的棋子颜色不同，
则两端的棋子的颜色分布有2种可能，中间的棋子的颜色分布有种可能．
∴两端棋子颜色不同的概率为，
∴两端是同色棋子的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型、对立事件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2025 南宁模拟）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制．五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为3×52+2×51+4＝89．若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 240 个．若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式；简单排列问题．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】240； ．
【分析】应用分步计数，结合排列组合数求数字1，2，3，4组成的五位五进制数的个数，设2，3，4构成的三位五进制数从左到右的数字分别为a，b，c，根据52a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），将问题化为a+2b+c能被3整除，结合a+2b+c∈[8，16]进行分类讨论求五进制数的个数，最后求其概率．
【解答】解：由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都出现，
则需先从1，2，3，4中选取一个数字作为重复出现的数字，有种不同的方法，
再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，有种不同的方法，
最后剩余两个位置排重复数字，根据分步计数原理，
则所求不同的五位五进制数共有个，
数字2，3，4组成的三位五进制数总共有33＝27个，
设这个三位五进制数从左到右的数字分别为a，b，c，
转化成十进制数后此数为52a+5b+c＝25a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），
此数能被3整除等价于a+2b+c能被3整除，
因为a+2b+c∈[8，16]，所以能被3整除的只有9，12，15三种情况，
若a+2b+c＝9，则（a，b，c）的取值有（2，2，3）、（3，2，2）两种，
若a+2b+c＝12，则（a，b，c）的取值有（2，4，2）、（2，3，4）、（4，3，2）、（3，3，3）、（4，2，4）五种，
若a+2b+c＝15，则（a，b，c）的取值有（4，4，3）、（3，4，4）两种，
则能被3整除的数共有2+5+2＝9个，根据古典概率公式，所求概率为．
故答案为：240，．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 市北区校级期末）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：
平均作业时长n（单位：小时） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5）
学业成绩优秀：90≤m≤100 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀：0≤m≤90 136 137 102 18 7
（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若L（B|A）＝0.2，求P（A）．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05．
【考点】概率的应用；求解条件概率；独立性检验．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）有把握；
（2）P（A）＝0.6．
【分析】（1）完善2×2列联表，计算χ2的观测值并与临界值比对即可得解．
（2）设P（A）＝x，根据给定条件，利用条件概率公式、结合互斥事件的加法公式列出方程求解．
【解答】解：（1）根据题意，可得2×2列联表如下：
时长n 2≤n＜3 其他 总计
优秀 80 20 100
不优秀 120 280 400
总计 200 300 500
，
所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关；
（2）根据题意，设P（A）＝x，则选到的学生为女生的概率P（）＝1﹣x，
已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，则，
则有P（B∩）＝P（B|）P（）＝0.25P（）＝0.25（1﹣x），
而P（B）＝P（B∩A）+P（B∩）＝0.2，
则P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．
又L（B|A）0.2，则有P（B|A）＝0.2P（|A），
即0.2，变形可得P（A∩B）＝0.2P（∩A）
而P（A）＝P（A∩B）+P（∩A）＝x，则有P（A∩B），
又由P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．
则有，得x＝0.6，所以P（A）＝0.6．
【点评】本题考查条件概率的计算和的应用，涉及独立性检验的应用，属于中档题．
14．（2024秋 台州期末）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．
现有n（n≥3）人玩游戏．
（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p（3）、p（4）；
（2）求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）（结果用n表示）；
（3）设当n＝5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），．
（2）．
（3）．
【分析】（1）应用古典概型及排列数组合数公式计算即可；
（2）应用古典概型及对立事件概率公式计算即可；
（3）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算即可；
【解答】解：（1）“石头、剪刀、布”游戏中，石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，
3人玩一轮游戏，平局的概率为，
4人玩一轮游戏，平局的概率为．
（2）∵平局的情况比较多，∴考虑n人玩游戏分出胜负的概率，
；
其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，
而分出胜负与平局是对立事件，
故n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）．
（3）由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者，
情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者，
此时，
情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者，
此时，
情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者
此时；
情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者，
此时，
综上所述：．
【点评】本题考查古典概型及排列数组合数公式、对立事件概率公式、独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2024秋 海口校级期末）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）．
（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；
（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；
（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率．
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）利用列举法可得共有10个样本点，“猜对本题得4分”，有3个样本点，利用古典概型的概率公式求解；
（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解．
【解答】解：（1）根据题意，考生甲随机选择一个选项，其样本空间Ω＝{A，B，C，D}，有4个样本点，
设M＝“考生甲猜对本题得5分”，有1个样本点，
则．
（2）根据题意，乙随机猜写答案，其样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD}，共有10个样本点，
设N＝“考生乙本题刚好得4分”，N＝{AB，AD，BD}，有3个样本点，
故．
（3）记丙得i分的事件为Xi，丁得j分为Yj，其中i、j∈{0，3，6}，
由题意；
；
记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为E，易知E＝X6Y0+X3Y3+X0Y6，
由题意P（E）＝P（X6Y0+X3Y3+X0Y6）＝P（X6Y0）+P（X3Y3）+P（X0Y6）
．
【点评】本题考查互斥事件、古典概型的计算，涉及样本空间、样本点的列举，属于基础题．
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一．选择题（共5小题）
1．（2025 市中区校级模拟）为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，则每类项目都被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024秋 呼和浩特期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立
C． D．
3．（2024秋 浦东新区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．P（C）＝0.5 D．A与C相互独立
4．（2025 秦皇岛一模）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（ ）
A．甲分得黄球
B．甲分得白球
C．丙没有分得白球
D．甲分得白球，乙分得黄球
5．（2025 潍坊模拟）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 湖北期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ）
A．该试验的样本空间共有6个样本点
B．事件A与事件C互为对立事件
C．P（B∪C）＝P（）
D．事件B与事件C相互独立
（多选）7．（2024秋 自贡校级期末）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B互为互斥事件 B．与C互为互斥事件
C．A∪B＝C D．与C互为对立事件
（多选）8．（2024秋 广西期末）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（ ）
A．第二次由乙发球的概率为
B．甲先得一分的概率为
C．前两次发球都由乙得分的概率为
D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为
（多选）9．（2024秋 江西期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件 i表示“球取自i号盒子”，则（ ）
A． B．
C． D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 辽宁期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，则P（M∪N）+P（MN）＝ ．
11．（2025 昆明一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同一色棋子的概率为 ．
12．（2025 南宁模拟）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制．五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为3×52+2×51+4＝89．若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 个．若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 市北区校级期末）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：
平均作业时长n（单位：小时） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5）
学业成绩优秀：90≤m≤100 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀：0≤m≤90 136 137 102 18 7
（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若L（B|A）＝0.2，求P（A）．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05．
14．（2024秋 台州期末）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．
现有n（n≥3）人玩游戏．
（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p（3）、p（4）；
（2）求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）（结果用n表示）；
（3）设当n＝5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q．
15．（2024秋 海口校级期末）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）．
（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；
（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；
（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率．
期末热点.重难点 随机事件与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 市中区校级模拟）为了检测学生的身体素质指标，从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，则每类项目都被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，利用古典概型、排列组合求解．
【解答】解：从包括游泳类1项，球类3项，田径类4项的共8项体育项目中随机抽取4项进行测试，
基本事件总数n70，
每类项目都被抽到包含的基本事件个数为m30，
∴每类项目都被抽到的概率为P．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2024秋 呼和浩特期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立
C． D．
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用古典概型的计算公式先求出P（A），P（B）和P（A∪B），再由互斥事件、独立事件和对立事件的性质即可逐项判断．
【解答】解：古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足n（Ω）＝10，n（A）＝4，n（B）＝3，n（A∪B）＝6，
∴，，；
对于A，∵，∴事件A与事件B不互斥，故A错误；
对于B，，∴事件A与事件B不独立，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），得，
∴，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型、互斥事件、独立事件和对立事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2024秋 浦东新区校级期末）抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，则下列结论错误的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立
C．P（C）＝0.5 D．A与C相互独立
【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用互斥事件的概念判断选项A；利用对立事件的定义判断选项B；利用古典概型判断选项C；利用事件独立性概念判断选项D．
【解答】解：抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数用x表示红色骰子的点数，
用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，
定义事件：事件A为“x+y为奇数”，事件B为“xy为奇数”，事件C为“x为奇数”，
由题可得，样本空间为：
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），
（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），
（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个样本点，
其中A＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4）
（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3）（6，5）}，共包含18个样本点，
B＝{（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3）（5，5）}，共包含9个样本点，
C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），
（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）（5，6）}，共有18个样本点，
对于A，若x+y为奇数，则x，y一个为奇数，一个为偶数，若xy为奇数，则x，y都为奇数，
∴事件A和事件B不能同时发生，∴事件A与事件B是互斥事件，故A正确；
对于B，事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，例如x＝2，y＝2，
∴事件A与事件B是互斥但不对立事件，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，AC＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，
∴，
∵，∴P（AC）＝P（A）P（C），
∴A与C相互独立，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型、列举法、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2025 秦皇岛一模）将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（ ）
A．甲分得黄球
B．甲分得白球
C．丙没有分得白球
D．甲分得白球，乙分得黄球
【考点】事件的互为对立及对立事件．
【专题】对应思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】由对立事件的概念即可得解．
【解答】解：甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球，即丙分得白球，与丙没有分得白球互为对立事件．
故选：C．
【点评】本题考查了对立事件的概念，属于基础题．
5．（2025 潍坊模拟）从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】集合思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据古典概型、列举法能求出抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率．
【解答】解：从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次的所有情况有4×4×4＝64种，
抽到的3张卡片上的数字之和大于9的情况有：
（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3），（2，4，4），（4，2，4），（4，4，2），（3，4，4），（4，3，4），（4，4，3），
∴抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为P．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 湖北期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ）
A．该试验的样本空间共有6个样本点
B．事件A与事件C互为对立事件
C．P（B∪C）＝P（）
D．事件B与事件C相互独立
【考点】对立事件的概率关系及计算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学抽象．
【答案】AC
【分析】根据题意，列举样本空间Ω以及A、B、C，由此分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，用A、B和a、b表示同一双鞋，其A、a表示左脚的鞋，B、b表示右脚的鞋，
则Ω＝{AB，ab，Aa，Bb，Ab，aB}，
则A＝{AB，ab}，B＝{Aa，Bb}，C＝{Ab，aB}，
依次分析选项：
对于A，该试验的样本空间共有6个样本点，A正确；
对于B，事件A、C可能都不发生，不是对立事件，B错误；
对于C，B∪C{Aa，Bb，Ab，aB}，故P（B∪C）＝P（），C正确；
对于D，BC＝ ，则P（BC）＝0，而P（B）＝P（C），
则P（BC）≠P（B）P（C），事件B与事件C不相互独立，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查相互独立事件、对立事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 自贡校级期末）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A．A，B互为互斥事件 B．与C互为互斥事件
C．A∪B＝C D．与C互为对立事件
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据已知条件，结合对立事件、互斥事件的定义，即可求解．
【解答】解：事件A＝“第一次投篮投中”，事件B＝“第二次投篮投中”，事件C＝“两次投篮均投中”，
A，B两个事件可以同时发生，故A错误；
与C不可能同时发生，故B正确；
C为A，B的交事件，故C错误；
对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与C互为对立事件，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查对立事件、互斥事件的定义，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 广西期末）甲、乙两人准备进行一场乒乓球比赛，规定每球交换发球权，通过抛硬币决定谁先发球．已知两人在自己发球时得分的概率均为，则（ ）
A．第二次由乙发球的概率为
B．甲先得一分的概率为
C．前两次发球都由乙得分的概率为
D．前两次发球甲、乙各得1分的概率为
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BD
【分析】A直接判断，BC根据独立事件，互斥事件同时发生的概率公式即可求解，D根据对立事件的概率公式求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，通过抛硬币决定谁先发球，第一次甲、乙发球的概率都是，
若第一次由甲发球，则第二次由乙发球，反之，第二次由甲发球
故第二次由乙发球的概率为，故A错误；
对于B，若甲先发球，甲先得一分的概率P1，
若乙先发球，甲先得一分的概率P2，
故甲先得一分的概率P＝P1+P2，B正确；
对于C，前两次发球都由乙得分的概率为，故C错误；
对于D，前两次发球都由甲得分的概率为，
则前两次发球甲、乙各得一分的概率为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 江西期末）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件 i表示“球取自i号盒子”，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】概率的应用；求解条件概率．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由全概率公式分析A，由对立事件的性质分析B，由贝叶斯公式分析C、D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，P（C1）＝P（C2）＝P（C3），
P（A|C1），P（A|C2），P（A|C3）＝1，
依次分析选项：
对于A，P（A）＝P（C1）P（A|C1）+P（C2）P（A|C2）+P（C1）P（A|C2）1，A错误；
对于B，由于P（A），则P（B）＝1﹣P（A），B正确；
对于C，P（AC1）＝P（C1）P（A|C1），
则P（C1|A），C正确；
对于D，P（BC2）＝P（C2）P（B|C2），
P（C2|B），D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查条件概率、全概率公式的计算，涉及古典概型的计算，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 辽宁期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，则P（M∪N）+P（MN）＝ ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】利用古典概型的概率公式计算出P（M）、P（N），即可求出P（M∪N）+P（MN）的值．
【解答】解：将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
设事件M＝“表示的四位数能被3整除”，N＝“表示的四位数能被5整除”，
∵只拨动一粒珠子至梁上，∴数字只表示1或5，
∵个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，
∴所得的四位数的个数为24＝16个，
能被3整除的四位数，数字1和5各出现2个，
这样的四位数有：1155、1515、1551、5511、5115、5151，共6个，
∴，
能被5整除的四位数，个位数为5，则这样的四位数为：
1115、1155、1515、1555、5555、5115、5155、5515，共8个，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2025 昆明一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同一色棋子的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】计算两端棋子颜色不同的概率，再使用对立事件概率的性质即可．
【解答】解：现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，
若两端的棋子颜色不同，
则两端的棋子的颜色分布有2种可能，中间的棋子的颜色分布有种可能．
∴两端棋子颜色不同的概率为，
∴两端是同色棋子的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型、对立事件概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2025 南宁模拟）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制．五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为3×52+2×51+4＝89．若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有 240 个．若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式；简单排列问题．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】240； ．
【分析】应用分步计数，结合排列组合数求数字1，2，3，4组成的五位五进制数的个数，设2，3，4构成的三位五进制数从左到右的数字分别为a，b，c，根据52a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），将问题化为a+2b+c能被3整除，结合a+2b+c∈[8，16]进行分类讨论求五进制数的个数，最后求其概率．
【解答】解：由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都出现，
则需先从1，2，3，4中选取一个数字作为重复出现的数字，有种不同的方法，
再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，有种不同的方法，
最后剩余两个位置排重复数字，根据分步计数原理，
则所求不同的五位五进制数共有个，
数字2，3，4组成的三位五进制数总共有33＝27个，
设这个三位五进制数从左到右的数字分别为a，b，c，
转化成十进制数后此数为52a+5b+c＝25a+5b+c＝24a+3b+（a+2b+c），
此数能被3整除等价于a+2b+c能被3整除，
因为a+2b+c∈[8，16]，所以能被3整除的只有9，12，15三种情况，
若a+2b+c＝9，则（a，b，c）的取值有（2，2，3）、（3，2，2）两种，
若a+2b+c＝12，则（a，b，c）的取值有（2，4，2）、（2，3，4）、（4，3，2）、（3，3，3）、（4，2，4）五种，
若a+2b+c＝15，则（a，b，c）的取值有（4，4，3）、（3，4，4）两种，
则能被3整除的数共有2+5+2＝9个，根据古典概率公式，所求概率为．
故答案为：240，．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 市北区校级期末）某校高一学生共有500人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长n与学业成绩m的数据表：
平均作业时长n（单位：小时） [1，1.5） [1.5，2） [2，2.5） [2.5，3） [3，3.5）
学业成绩优秀：90≤m≤100 1 14 37 43 5
学业成绩不优秀：0≤m≤90 136 137 102 18 7
（1）试判断：是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关？
（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，现从所有高一学生中任选一人，A表示“选到的是男生”，B表示“选到的学生成绩优秀”，若L（B|A）＝0.2，求P（A）．
附：，P（χ2≥3.841）≈0.05．
【考点】概率的应用；求解条件概率；独立性检验．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）有把握；
（2）P（A）＝0.6．
【分析】（1）完善2×2列联表，计算χ2的观测值并与临界值比对即可得解．
（2）设P（A）＝x，根据给定条件，利用条件概率公式、结合互斥事件的加法公式列出方程求解．
【解答】解：（1）根据题意，可得2×2列联表如下：
时长n 2≤n＜3 其他 总计
优秀 80 20 100
不优秀 120 280 400
总计 200 300 500
，
所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于2小时且小于3小时有关；
（2）根据题意，设P（A）＝x，则选到的学生为女生的概率P（）＝1﹣x，
已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比25%，则，
则有P（B∩）＝P（B|）P（）＝0.25P（）＝0.25（1﹣x），
而P（B）＝P（B∩A）+P（B∩）＝0.2，
则P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．
又L（B|A）0.2，则有P（B|A）＝0.2P（|A），
即0.2，变形可得P（A∩B）＝0.2P（∩A）
而P（A）＝P（A∩B）+P（∩A）＝x，则有P（A∩B），
又由P（A∩B）＝0.25x﹣0.05．
则有，得x＝0.6，所以P（A）＝0.6．
【点评】本题考查条件概率的计算和的应用，涉及独立性检验的应用，属于中档题．
14．（2024秋 台州期末）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．
现有n（n≥3）人玩游戏．
（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率p（3）、p（4）；
（2）求n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）（结果用n表示）；
（3）设当n＝5时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率Q．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），．
（2）．
（3）．
【分析】（1）应用古典概型及排列数组合数公式计算即可；
（2）应用古典概型及对立事件概率公式计算即可；
（3）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算即可；
【解答】解：（1）“石头、剪刀、布”游戏中，石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头，
3人玩一轮游戏，平局的概率为，
4人玩一轮游戏，平局的概率为．
（2）∵平局的情况比较多，∴考虑n人玩游戏分出胜负的概率，
；
其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，
而分出胜负与平局是对立事件，
故n（n≥3）人玩一轮游戏，平局的概率p（n）．
（3）由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者，
情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者，
此时，
情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者，
此时，
情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者
此时；
情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者，
此时，
综上所述：．
【点评】本题考查古典概型及排列数组合数公式、对立事件概率公式、独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2024秋 海口校级期末）单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）．
（1）有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；
（2）有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；
（3）现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为.丙、丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率．
【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）利用列举法可得共有10个样本点，“猜对本题得4分”，有3个样本点，利用古典概型的概率公式求解；
（3）分丙得0分丁得6分；丙得3分丁得3分；丙得6分丁得0分三种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解．
【解答】解：（1）根据题意，考生甲随机选择一个选项，其样本空间Ω＝{A，B，C，D}，有4个样本点，
设M＝“考生甲猜对本题得5分”，有1个样本点，
则．
（2）根据题意，乙随机猜写答案，其样本空间Ω＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD}，共有10个样本点，
设N＝“考生乙本题刚好得4分”，N＝{AB，AD，BD}，有3个样本点，
故．
（3）记丙得i分的事件为Xi，丁得j分为Yj，其中i、j∈{0，3，6}，
由题意；
；
记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为E，易知E＝X6Y0+X3Y3+X0Y6，
由题意P（E）＝P（X6Y0+X3Y3+X0Y6）＝P（X6Y0）+P（X3Y3）+P（X0Y6）
．
【点评】本题考查互斥事件、古典概型的计算，涉及样本空间、样本点的列举，属于基础题．
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