人教新课标A版选修4-4数学1.4圆的极坐标方程同步检测

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1.4圆的极坐标方程同步检测
一、选择题
1. 已知直线和圆的极坐标方程分别为和，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交且直线过圆心
C．相交但直线不过圆心 D．相离
答案：C
解析：解答：直角坐标系中，直线和圆的方程分别为 EMBED Equation.DSMT4 和，即，从而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交。因为圆心不在直线上，所以选C
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标方程化为普通方程，利用几何关系分析计算即可.
2. 已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析： 解答：法一：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，进行代换，
圆的直角坐标方程为，所以，即．
法二：圆的直角坐标方程为，即，
设是圆上任一点，，若为钝角，则10
所以．
故选B．
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标方程转化为普通方程计算即可
3. 圆的极坐标方程分别是和，两个圆的圆心距离是( ).
A．2 B． C． D． 5
答案：C
解析：解答：圆的普通方程为，即；圆的普通方程为，即；所以两圆的圆心距离为.
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程计算即可
4. 极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是（ ）
A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线
答案：A
解析：解答：∵极坐标p=cosθ，x=pcosθ，y=psinθ，消去θ和p，∴x2+y2=x， x2+y2=x为圆的方程；参数方程（t为参数）消去t得，3x+y+1=0，为直线的方程，故选A．
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题
5. 极坐标方程表示的曲线为（ ）
A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线
C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆
答案：C
解析：解答：因为极坐标方程
，
因此表示一个圆和一条直线。选C
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标方程化简分析即可
6. 极坐标方程表示的图形是（）
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
答案：C
解析：解答：方程或，
是半径为的圆，
是一条射线．
故选C．
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是化简分析即可
7. 极坐标方程所表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线
答案：B
解析：解答：由已知得，故，故表示一个圆
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是化为普通方程分析即可
8. 在极坐标系中，圆C过极点，且圆心的极坐标是()，则圆C的极坐标方程是（ ）
A．． B．． C．． D．．
答案：B
解析：解答：由题意得圆心的直角坐标是半径为直角坐标方程为
极坐标方程是
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据普通方程转化为极坐标方程即可
9. 已知在极坐标系下两圆的极坐标方程分别为，则此两圆的圆心距为（ ）
A、 B、 C、 D、1
答案：D
解析：解答：化为直角坐标方程为，即
，圆心为化为直角坐标方程为
，即，圆心为；则此两圆的圆心距为
故选D
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是化为普通方程分析计算即可
10. 已知圆的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的位
置关系是 （ ）
A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
答案：D
解析：解答：圆的参数方程 EMBED Equation.DSMT4 （θ为参数），
∴圆的普通方程为x2+y2=4
直线的极坐标方程为3ρcosα-4ρsinα-9=0，
∴直线的普通方程为3x-4y-9=0
而d=＜2,∴直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心,故选D．
分析：本题主要考查了极坐标方程，解决问题的关键是先利用sin2θ+cos2θ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，然后利用利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将直线的极坐标方程化成普通方程，最后计算圆心到直线的距离与半径进行比较即可判定位置关系．
11. 下列极坐标方程表示圆的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答： 化为直角坐标方程为，表示圆心在原点半径为1的圆，故A正确；化为直角坐标方程为化，表示射线，故B不正确；为直角坐标方程为，表示直线，故C不正确；化为直角坐标方程为，表示直线，故D不正确.
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标方程化为普通方程分析判断即可
12. 极坐标方程表示的曲线是（ ）
A.直线；B.射线；C. 圆；D.椭圆
答案：C
解析：解答：根据极坐标方程中表示的为圆心在原点的单位圆，故答案为C.
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是化为普通方程分析即可
13. ．在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是( )．
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为：x2+y2-2x=0，
方程 的直角坐标方程为：y=x
解方程组：
x2+y2-2x=0
y=x(x＞0) ，得交点的坐标是 （1，1），
∴交点的极坐标是 ，故选C
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给方程化为普通方程分析即可
14. 在极坐标系下，已知圆C的方程为=2cosθ，则下列各点中，在圆C上的是(　　)
A．(1，-) B．(1，)
C．(，) D．(，)
答案：A
解析：解答：将四个选项极坐标分别代入及坐标方程验证可知只有A项成立，所以点(1，-)在圆C上
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是点是否在曲线上只需将点的坐标带入验证
15. 极坐标系中，以（9，）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：结合图形分析，借助于直角三角形中的边角关系，极坐标系中，以（9，）为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为，选A。
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给点的极坐标结合极坐标系特征转化即可
二、填空题
16. 已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是 ．
答案：
解析：解答：∵，∴，∴，即
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给极坐标方程转化即可
17. 设有半径为4的圆，在极坐标系内它的圆心坐标为（4，π），则这个圆的极坐标方程是________
答案：
解析：解答：根据公式圆心为，半径的圆的极坐标方程是得此圆的极坐标方程是
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是根据所给普通方程转化即可
18. 圆和圆的极坐标方程分别为，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．
答案：
解析：解答：圆：的直角坐标方程为，其圆心为；圆：的直角坐标方程为，其圆心为，由直线两点式方程求得经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为。
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是要解决坐标系与参数方程的问题，需将问题转化为直角坐标系的问题
19. 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C, 点P的极坐标为, 则|CP| = .
答案：
解析：解答：由题意知，圆心坐标为（2，0），设点P，则，=2，，
所以点P的坐标为，所以|CP| =.
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是化为普通方程分析计算即可
20. 已知某圆的极坐标方程为，若点在该圆上，则的最大值是_______
答案：
解析：解答：极坐标方程，整理的，圆心半径，看作连接的直线斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最值，设直线为
分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是数形结合法将所求转化为切线斜率，进而利用直线与圆相切得到求解，此题用到了数形结合法，此法解题时经常用到，本题难度适中
三、解答题
21. 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
答案：解答：以极点为原点、极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，
所以x2＋y2＝4x.即圆O1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，
同理圆O2的直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.
(2)求经过圆O1、圆O2交点的直线的直角坐标方程．
答案：解：以极点为原点、极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
由解得或者
即圆O1、圆O2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
解析：分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是将所给极坐标方程转化为普通方程分析计算即可
22. 已知☉O1和☉O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ(a是非零常数).
(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程.
答案：解答：由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,
所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1.
由ρ=2asinθ,得ρ2=2aρsinθ.
所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay,
即x2+(y-a)2=a2.
(2)若两圆的圆心距为,求a的值.
答案：解：☉O1与☉O2的圆心之间的距离为,解得a=±2.
解析：分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是转化为普通方程分析计算即可
23. 已知圆的极坐标方程为：．
（1）将极坐标方程化为普通方程；
答案：解：；
（2）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
答案：解：圆的参数方程为
所以，那么x＋y最大值为6，最小值为2．
解析：分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是应用参数方程，将求二元函数的最值问题，转化成了三角函数问题，也很好体现了“换元思想”
24. 选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
答案：解：圆的普通方程为，又，所以圆的极坐标方程为；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．
答案：解：设为点的极坐标，则有，解得，设为点的极坐标，，解得，由于，所以，所以线段的长为2．
解析：分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是（1）由圆C的参数方程为参数），化为普通方程为，利用，即得圆C的极坐标方程；（2）求线段的长，由于三点共线，故，可设，，则，关键是求出的值，由可求得的值，由可求得的值，从而可解．
25. 设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。
（1）求圆的极坐标方程；
答案：解：圆的极坐标方程为
（2）求点轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
答案：解：设点的极坐标为，点的极坐标为，
∵点为线段的中点， ∴，
将，代入圆的极坐标方程，得
∴点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆．
解析： 分析：本题主要考查了圆的极坐标方程，解决问题的关键是(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式可将极坐标方程化为直角坐标方程。(2)因为点在圆上则可设的极坐标为的极坐标为，点的极坐标为则，并代入可得点的极坐标方程
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