人教新课标A版选修4-4数学2.1曲线的参数方程同步检测

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2.1曲线的参数方程同步检测
一、选择题
1. 已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是( )
A．线段 B．圆 C．双曲线的一部分 D．圆的一部分
答案：C
解析：解答：对关于x,y的两个式子两边平方相减得,因为该曲线是双曲线的一部分.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程化为普通方程即可
2. 曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（ ）
A.线段 B.双曲线的一支 C.圆 D.射线
答案：D
解析：解答：消去t2,可得,由于,所以此曲线为一条射线.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程消去参数得到其普通方程，分析其轨迹即可
3. 参数方程（t为参数）的曲线与坐标轴的交点坐标为（ ）
A.（1,0），（0，-2） B.（0,1），（-1,0）
C.（0，-1），（1,0） D.（0,3），（-3,0）
答案：D
解析：解答：因为参数方程，可知y=x+3,令x=0,y=0得到的坐标分别是（0,3），（-3,0）选D
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程化为普通方程，然后计算其余坐标轴交点即可
4. ．参数方程（t为参数）表示的曲线是 （ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
答案：B
解析：解答：由题可知：，故此参数方程为双曲线
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程消去参数得到其普通方程分析即可
5. 参数方程（为参数）表示的曲线是（ ）
A． 抛物线 B． 抛物线的一部分 C．一条直线 D．一条线段
答案：B
解析：解答：因为参数方程为，消去参数，上式的平方就等于下式，即x2=y因此轨迹是抛物线。并且注到x的有界性，因此表示的抛物线的一部分
分析：本题主要考查了抛物运动轨迹的参数方程，解决问题的关键是根据所给参数方程消去参数得到其普通方程，分析即可.
6. 参数方程(为参数)所表示的曲线是 ( )
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：解答：由参数方程消去t得，作出分段函数得选项C的图象，故选C
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程消去参数得到其普通方程分析其图像即可
7. 设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为( )
A.1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：解答：化曲线C的参数方程为普通方程：（x-2）2+（y+1）2=9，
圆心（2，-1）到直线x-3y+2=0的距离d=<3，
直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求
>3-,在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，
故选B
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据其对应的普通方程计算即可
8. 曲线C:(为参数)的普通方程为 ( )
A (x-1)2+(y+1)2=1 B (x+1)2+(y+1)2=1 C (x+1)2+(y-1)2=1 D (x-1)2+(y-1)2=1
答案：C
解析：解答：由题，故选C.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是注意一般的“消参”方法，涉及正弦、余弦函数，一般采用平方关系消元法。
9. 在方程为参数）表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）
A、（2，-7） B、（1，0） C、 D、
答案：C
解析：解答：由题：为参数），因此，故将点代入，满足题意.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是参数方程化为普通方程的思路是把参数消去，常用三角函数间的关系式
10. 方程（t为参数）表示的曲线是（ ）.
A. 一条直线 B. 两条射线 C. 一条线段 D. 抛物线的一部分
答案：B
解析：解答：因为所以方程表示的是两条射线.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据消参方法得到其普通方程分析即可
11. 方程为参数）所表示的曲线是（ ）
A.圆 B.抛物线 C.直线 D.抛物线的一部分
答案：D
解析：解答：消去得， ,所以此方程表示的曲线为抛物线的一部分.
分析：本题主要考查了抛物运动轨迹的参数方程，解决问题的关键是根据其根据方程分析即可
12. 过点M（2,1）作曲线C：（为参数）的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解答：曲线C： x=4cosθ y=4sinθ （θ为参数），消去参数可得x2+y2=16，表示以原点为圆心，4为半径的圆，∴OM的斜率为：1 2∴要使M为弦的中点，则此弦所在直线的斜率为-2，∴过点M（2，1），使M为弦的中点的直线的方程为y-1=-2（x-2），故选B．
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程消参化为普通方程分析计算即可
13. 设是方程x=0的两个实根，那么过点和 （）的直线与曲线 (为参数)的位置关系是( )
A．相交 B． 相切 C．相交或相切 D．相离
答案：C
解析：解答：由于是方程x=0的两个实根，则判别式大于等于零，可知tan2+8cos ,a+b=tan,ab=-2cos,那么直线AB的斜率为k=b+a，那么即为k=tan,而曲线,直线AB：y-,联立方程组可知结论为相交或相切，选C.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是利用方程有两个实根，得到方程的两个根，然后利用联立方程组的思想得到直线与椭圆的位置关系
二、填空题
14. 曲线的参数方程是，则它的普通方程为_________________
答案：
解析：解答：而，即
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给方程消参化简即可
15. 已知两曲线的参数方程分别为和，它们的交点坐标为__________
答案：
解析：解答：因为两曲线的参数方程分别为和消去参数后得到椭圆和抛物线，然后联立方程得到x=-5（舍）或x=1，所以y=,故交点坐标为
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是化为普通方程后联立计算交点即可
16. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为 _________ ．
答案：（1，1）
解析：解答：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为 y2=x，x2+y2=2．
解方程组 可得 ，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），
故答案为 （1，1）．
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是化为普通方程后计算交点即可
17. P为曲线C1： ，（θ为参数）上一点，则它到直线C2： （t为参数）距离的最小值为
答案：1
解析：解答：首先，将曲线和曲线化为普通方程，然后，求解最小值即可．
将曲线化成普通方程是，圆心是（1，0），
直线化成普通方程是y-2=0，则圆心到直线的距离为2，
∴曲线C1上点到直线的距离为1，该点为（1，1），
故答案为：1．
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是化为普通方程分析计算即可
18. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）的普通方程为___________.
答案：
解析：解答：由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得，，即为曲线C的普通方程.
分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是根据所给参数方程消去参数即可得到所求普通方程
三、解答题
19. 已知曲线的参数方程是，直线的参数方程为，
（1）求曲线与直线的普通方程；
答案：解：由得，（1）的平方加（2）的平方得曲线的普通方程为：；由得代入得，所以直线的普通方程为．
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值
答案：解：圆心到直线的距离为，所以由勾股定理得
，解之得或．
解析：分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是：（1）利用三角关系中的平方关系将曲线参数方程中的参数消去即可得曲线的普通方程；用代入消元法，即由直线参数方程中的一个表达式中求出参数，代入另一个参数方程表达式中即可求出直线的普通方程；（2）由点到直线的距离公式求出弦心距，利用圆的性质及勾股定理即可求出参数的值
20. 已知曲线（为参数），（为参数）．
（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
答案：解：，
是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆
（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．
答案：解：当时，，，故；
为直线，到的距离
当，时，取最小值
解析：分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是第一问将参数消掉，求得其普通方程，根据方程确定出曲线的类型，第二问根据确定出的坐标，利用中点坐标公式，确定出，将的方程消参，求得直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值，求得距离的最小值
21. 已知曲线C的参数方程是（t为参数）
(1)判断点和与曲线C的位置关系.
答案：解：把点的坐标代入参数方程得 ∴ .
即点在曲线C上.
把点的坐标代入参数方程 得 方程组无解.
即点不在曲线C上.
(2)已知点 在曲线C上，求a的值.
答案：解：∵点 在曲线C上,
∴
∴ .
即a的值为2.
解析：分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上.
22. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),直线l与y轴的交点为P.
(1)写出点P的极坐标(ρ,θ)(其中ρ>0,0≤θ<2π);
答案：解：因直线l的参数方程为(t为参数),
故直线l的普通方程为2x+y-4=0.
可求得直线2x+y-4=0与y轴的交点坐标为(0,4),
所以P点的极坐标为(4,).
(2)求曲线上的点到P点距离的最大值.
答案：解：将曲线方程化为普通方程(x-2)2+y2=1,故曲线是一个圆,其圆心坐标为(2,0).由圆的几何意义可知,曲线上的点到P点距离的最大值即点P到圆心的距离加上半径,所以所求的最大值为+1=2+1.
解析：分析：本题主要考查了，解决问题的关键是应先将直线和曲线的参数方程化为普通方程,再进行求解.
23. 已知曲线C的参数方程为 (为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程;
答案：解：∵曲线C的参数方程为 (为参数),
∴曲线C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5,
将,代入并化简得： .
即曲线C的极坐标方程为.
(2)若直线l的极坐标方程为，求直线l被曲线C截得的弦长.
答案：解：∵l的直角坐标方程为x+y-1=0,
∴圆心到直线l的距离为 ,∴弦长为.
解析：分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是(1)利用三角函数消参即可求得曲线C的普通方程，然后将代入并化简即可求得曲线C的极坐标方程． (2)先将直线l的极坐标方程化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离d，从而求得弦长．
24. 在直角坐标系中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 (t为参数),曲线 ;
(1)将曲线化成普通方程,将曲线 化成参数方程;
答案：解：∵ ,∴ ,
代入 得,,即 .
∴曲线 的普通方程是.
将 代入曲线 的方程 ,得
即 .
设 ,
得曲线的参数方程：(为参数)
(2)判断曲线和曲线的位置关系.
答案：解：由(1)知,曲线 是经过点 的直线,曲线是以为圆心半径为 的圆.
∵ ,
∴在曲线内,
∴曲线和曲线相交.
解析：分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是(1)利用极坐标与普通坐标之间的转化即可求出曲线的普通方程,从而可得到曲线的参数方程,利用消去参数的方程即可求出直线的普通方程;(2)求出曲线曲线的圆心到直线的距离并与半径作比较,即可得到直线与曲线的位置关系.
25. 试判断直线l: (t为参数)与曲线C: (θ为参数)的位置关系.
答案：解：直线l的方程可化为x-y+1=0,
曲线C的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,则曲线C是一个圆,其圆心为C(-1,2),半径为2.
因为圆C的圆心到直线l的距离d= <2=r,所以直线l与曲线C相交.
解析：分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是以先把直线和曲线的参数方程分别化为普通方程,方法一是联立方程消元,运用判别式Δ来判断直线与圆的位置关系;方法二是先由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,再由d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系.
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