人教新课标A版选修4-4数学2.4渐开线与摆线同步检测

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2.4渐开线与摆线同步检测
一、选择题
1. 已知圆的摆线的参数方程是（为参数)，则当时对应两点间的距离是（ ）
A.2 B.4 C. D.
答案：D
解析：解答：当 时， 当时， 此时两点间的距离是
分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据摆线的参数方程计算即可
2. 已知一个圆的参数方程为 (为参数)那么圆的摆线方程中参数取 对应的点A与点 之间的距离为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线参数方程为 把 代入参数方程中可得
即 .∴
分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据摆线的参数方程分析计算即可.
3. ( 为参数)表示的是（ ）
A.半径为5的圆的渐开线的参数方程 B.半径为5的圆的摆线的参数方程
C.直径为5的圆的渐开线的参数方程 D.直径为5的圆的摆线的参数方程
答案：B
解析：解答：根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确
分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的渐开线与摆线的参数方程分析即可
4. 对于参数方程和 下列结论正确的是( )
A.是倾斜角为30°的两平行直线 B.是倾斜角为150°的两重合直线
C.是两条垂直相交于点(1，2)的直线 D.是两条不垂直相交于点(1，2)的直线
答案：B
解析：解答：因为参数方程 可化为标准形式， 所以其倾斜角为150°.同理，参数方程 可化为标准形式，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合.
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据渐开线性质分析计算即可
5. 关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
答案：C
解析：解答：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线,渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
分析：本题主要考查了渐开线和摆线的基本概念，解决问题的关键是渐开线和摆线的基本概念分析即可
6. 已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解答：圆的摆线的参数方程为令 ,将 代入 ,得 .又过 (1,0) , ,∴ ,又 ,∴ .
分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据其它摆线的生成过程分析计算即可
7. 当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A．(6,0) B．(6,6π) C．(6，－12π) D．(－π，12π)
答案：C
解析：解答：当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程．∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是圆的渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
二、填空题
8.已知圆的渐开线的参数方程是 ( 为参数)则此渐开线对应的基圆的直径是______________，当参数 时对应的曲线上的点的坐标为__________.
答案：2|
解析：解答：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当时对应的坐标只需 代入曲线的参数方程,得 ,由此可得对应的坐标.
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
9. 已知圆的渐开线方程为 (为参数)，则该基圆半径为____.当圆心角时，曲线上点A的直角坐标为____.
答案：|
解析：解答：圆的渐开线方程变为 (为参数)， (为参数)，则基圆的半径为.
将 代入上式得 得
则点 的坐标为 .
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据圆的渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
10. 我们知道关于直线对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线 ( 为参数)关于直线 对称的曲线的参数方程为_________
答案：，(为参数)
解析：解答：关于直线对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y互换,所以要写出摆线方程关于对称的曲线方程,只需把其中的互换.
分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的摆线方程分析计算即可
11. 已知一个圆的参数方程为 (为参数)，那么圆的摆线方程中与参数 对应的点A与点 之间的距离为____.
答案：
解析：解答：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为（ 为参数)，把 代入参数方程中可得
即 ，所以
分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的摆线参数方程分析计算即可
12. 圆的渐开线参数方程为： (为参数)则基圆的面积为______________.
答案：
解析：解答：易知,基圆半径为 .∴面积为
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据圆的渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
13. 已知圆的渐开线的参数方程为 (为参数)，则此渐开线对应基圆的面积为 ，当 时对应的曲线上的点的坐标为
答案：|
解析：解答：已知圆的渐开线的参数方程变为 (为参数)，则基圆的半径为3，故面积
当 时，
得
故时对应点的坐标为 .
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据圆的渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
14. 渐开线 ( 为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_________
答案： 和
解析：解答：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径,其方程 ,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍 (纵坐标不变 ),得到的曲线的方程为 ,整理可得 ,这是一个焦点在x轴上的椭圆. ,故焦点坐标为 和 .
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据圆的渐开线的生成过程及其参数方程结合椭圆性质分析计算即可
15. 圆的渐开线上与 对应的点的直角坐标为________
答案：
解析：解答：对应点的直角坐标为
∴ 对应的点的直角坐标为.
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据圆的渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
16. 设圆的半径是r，则其摆线的一个拱的宽度与高度分别是______、______．
答案：2πr|2r
解析：解答：∵圆的半径是r，∴其摆线的一个拱的宽度为圆的周长，即2πr，每一拱的拱高为圆的直径，2r．故答案为：2πr，2r．
分析：本题主要考查了摆线在实际中应用的实例，解决问题的关键是根据所给问题结合摆线定义分析计算即可
17. 半径为4的圆的渐开线的参数方程是_______
答案：
解析：解答：由圆的渐开线的参数方程 ，得 .
分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据渐开线的生成过程及其参数方程结合所给条件写出其对应的渐开线参数方程即可
三、解答题
18. 如图ABCD边长为1的正方形，曲线 叫做“正方形的渐开线”，其中 的圆心依次按 循环，它们依次相连接，求曲线 的长。
答案：解：根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为 ,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为 ； 是半径为3的圆周长,长度为；是半径为4的 圆周长,长度为 .所以曲线AEFGH的长是
解析：分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据渐开线的生成过程分析计算即可
19. 已知圆C的参数方程是 (a为参数)直线l的普通方程 .
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？
答案：解：圆C平移后圆心为O（0,0）,它到直线 的距离为 ,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.
(2)写出平移后圆的摆线方程。
答案：解：由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是
(3)求摆线和x轴的交点。
答案：令 ,得 ,所以 .代入 得 ,即圆的摆线和x轴的交点
解析：分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据其它摆线的生成的过程分析计算即可
20. 当 时，求圆的摆线 为参数)上对应的点的坐标.
答案：解：将代入 得即
故 时摆线上点的坐标为
解析：分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的摆线的参数方程分析计算即可
21.已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是 和，求A、B两点的距离．
答案：解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是 (φ为参数)，分别把φ＝和φ＝代入，可得A、B两点的坐标分别为，B(，1)．那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
解析：分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是先写出圆的渐开线的参数方程，再把A、B对应的参数代入参数方程可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A、B之间的距离
22. 当φ＝，时，求出渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．
答案：解： 将φ＝代入参数方程，得 ，把φ＝代入方程，得
∴A(－，－1)，点B(，1)．因此|AB|＝ ，
故点A、B间的距离为.
解析：分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
23. 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
答案：解：令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r>0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为x＝2，(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0,
C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)．所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得r＝ (k∈Z)．又由实际可知r>0，所以r＝ (k∈N＋)．易知，当k＝1时，r取最大值为.
解析：分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的摆线的参数方程 (φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
24. 已知一个圆的摆线方程是，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
答案：解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：(φ为参数)．
解析：分析：本题主要考查了其它摆线的生成过程，解决问题的关键是根据圆的其它摆线的生成过程分析计算即可
25. 已知圆C的参数方程是 (α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
答案：解：圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
答案：解：由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是 (φ为参数).
解析：分析：本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程，解决问题的关键是根据渐开线的生成过程写出其参数方程
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