【期末热点.重难点】棱台（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 棱台
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 汉寿县校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形
2．（2024 安徽学业考试）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（　　）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
3．（2024春 桐城市期中）下列说法正确的是（　　）
A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆台的所有母线延长不一定交于一点
D．一个多面体至少有3个面
4．（2024秋 岳麓区校级月考）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB＝4，A1B1＝3，则该三棱台的高为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．1或7
5．（2024春 郊区校级期中）下列命题中正确的是（　　）
A．梯形的直观图可能是平行四边形
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
D．底面是矩形的直平行六面体是长方体
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 广东一模）某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右．若上底面边长、下底面边长、高均依次递增dcm，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为α1，α2，α3，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为θ1，θ2，θ3，则（　　）
A．sinα1+sinα3＝2sinα2 B．tanα1+tanα3＝2tanα2
C．cosθ1+cosθ3＝2cosθ2 D．tanθ1+tanθ3＝2tanθ2
（多选）7．（2024春 吴川市校级期中）下列说法不正确的有（　　）
A．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．圆锥的轴截面是等腰三角形
（多选）8．（2024春 赫章县期中）下面关于空间几何体的表述，正确的是（　　）
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C．正四棱柱一定是长方体
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
（多选）9．（2024春 伊宁市期中）下列说法正确的是（　　）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
三．填空题（共3小题）
10．（2023秋 五莲县校级期末）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 　 　．
11．（2024 四川模拟）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若A1B1＝2，AB＝4，则该四棱台的高是 　 　．
12．（2024 沙依巴克区校级模拟）若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则该棱台的高为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 秦都区校级月考）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点．证明：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）多面体EFB1﹣GBH是三棱台．
14．（2020秋 蚌埠期末）一个正四棱台的高是17cm，上、下底面边长分别为4cm和16cm．求这个棱台的侧棱长和斜高．
15．（2012秋 武城县校级月考）若一个正三棱台的两个底面的边长分别为1cm和7cm，侧棱长为5cm，求它的高和斜高．
期末热点.重难点 棱台
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 汉寿县校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形
【考点】棱台的结构特征；棱柱的结构特征．
【专题】综合题；整体思想；分析法；立体几何；直观想象．
【答案】D
【分析】由多面体、棱台、棱柱等几何体的定义逐项判断即可．
【解答】解：对于A，长方体是四棱柱，但是底面是平行四边形的直棱柱不是长方体，故选项A错误；
对于B，有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故选项B错误；
对于C，各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故选项C错误；
对于D，由棱柱定义知，棱柱的各侧棱平行且相等，故侧面是平行四边形，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了棱柱和棱台的几何特征，属于基础题．
2．（2024 安徽学业考试）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（　　）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可．
【解答】解：根据棱柱的性质可知A正确；
当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；
正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；
棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查几何体的定义和性质，属于基础题．
3．（2024春 桐城市期中）下列说法正确的是（　　）
A．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，该圆锥―定被分为一个小圆锥和一个圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆台的所有母线延长不一定交于一点
D．一个多面体至少有3个面
【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；构成空间几何体的基本元素；棱柱的结构特征．
【专题】数形结合；分析法；立体几何；数学抽象．
【答案】A
【分析】根据圆锥、棱柱以及圆台和多面体的定义，一一判断各选项，即得答案．
【解答】解：对于A项，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，原圆锥一定被分为一个小圆锥和一个圆台，故A正确；
对于B项，满足条件的几何体可能是组合体，如图，故B错误；
对于C项，圆台的所有母线延长一定交于一点，故C错误；
对于D项，多面体至少有4个面，所以D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了立体几何的相关知识，注意棱台，圆台等几何体的结构特征，属于中档题．
4．（2024秋 岳麓区校级月考）已知正三棱台ABC﹣A1B1C1所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB＝4，A1B1＝3，则该三棱台的高为（　　）
A．1 B．4 C．7 D．1或7
【考点】棱台的结构特征．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；空间想象．
【答案】A
【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到过球心，上下底面所在外接圆圆心的截面，根据勾股关系可得球心到三棱台上下底面的距离，得解．
【解答】解：根据题意，正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝4，A1B1＝3，
所以上下底面所在外接圆的半径分别为r1＝3，r2＝4，
过点A，A1，O1，O2的截面如图：
，，
∴h＝OO2﹣OO1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查棱台的结构特征，属于中档题．
5．（2024春 郊区校级期中）下列命题中正确的是（　　）
A．梯形的直观图可能是平行四边形
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
D．底面是矩形的直平行六面体是长方体
【考点】棱台的结构特征；圆锥的结构特征；平面图形的直观图．
【专题】对应思想；定义法；立体几何；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法判断选项A，
根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式判断选项B，
根据棱台的定义判断选项C，
根据直棱柱的定义判断选项D．
【解答】解：对于A，因为梯形平行的一组对边长度不相等，所以它们的直观图的长度也不相等，
即梯形的直观图不可能是平行四边形，选项A错误；
对于B，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为，显然当，面积S最大，
所以当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不是最大的，选项B错误；
对于C，根据棱台的定义，棱台的侧棱延伸后必须交于同一点，选项C错误；
对于D，底面是矩形的直平行六面体是长方体，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 广东一模）某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右．若上底面边长、下底面边长、高均依次递增dcm，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为α1，α2，α3，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为θ1，θ2，θ3，则（　　）
A．sinα1+sinα3＝2sinα2 B．tanα1+tanα3＝2tanα2
C．cosθ1+cosθ3＝2cosθ2 D．tanθ1+tanθ3＝2tanθ2
【考点】棱台的结构特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】BD
【分析】先根据正四棱台的特点，分别求出侧棱和底面所成角和侧面和底面所成角，然后分别求出对应的角的正弦余弦和正切值，再对照各选项中的等式进行验证，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，作出正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，如图所示，连接BD，
设点B在平面ABCD内的射影为点O，则点O在线段BD上，过B1作B1M⊥BC，交BC于M点，连接MO，
由图可知侧棱与底面所成的角为∠B1BO，因为B1O⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，所以B1O⊥BC，
又因为B1M⊥BC，且B1M 平面B1OM，B1O 平面B1OM，B1O∩BM＝B，所以BC⊥平面B1OM，
而OM 平面B1OM，所以BC⊥OM，所以∠B1MO为平面B1C1CB与平面ABCD的夹角，即为四棱台的侧面与底面所成角．
令图①四棱台高为h，上下底面边长分别为a、b，
对于A，，同理可得，．
因此，sinα1+sinα3≠2sinα2，A项不正确；
对于B，，同理可得所以tanα1+tanα3＝2tanα2，B正确；
对于C，，同理可得，．
所以cosθ1+cosθ3≠2cosθ2，C项不正确；
对于D，，同理可得，，可得等式tanθ1+tanθ3＝2tanθ2成立，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查棱台的结构特征、直线与平面所成角和二面角的求法、锐角三角函数的应用，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
（多选）7．（2024春 吴川市校级期中）下列说法不正确的有（　　）
A．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．圆锥的轴截面是等腰三角形
【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据棱台的定义判断A；根据圆锥的定义判断B；根据正方体的定义判断C；根据圆锥的结构特征判断D．
【解答】解：对于A，棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的，
而两个平面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，
有可能不交于一点，就不是棱台，故A错误；
对于B，以直角三角形的斜边为轴，旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故B错误；
对于C，各侧面都是正方形的四棱柱中，底面有可能是菱形，不一定是正方体，故C错误；
对于D，由圆锥的结构特征得：圆锥的轴截面是等腰三角形，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查棱台、圆锥、正方体、圆锥的定义、性质等基础知识，是基础题．
（多选）8．（2024春 赫章县期中）下面关于空间几何体的表述，正确的是（　　）
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C．正四棱柱一定是长方体
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．
【专题】对应思想；综合法；立体几何；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可．
【解答】解：对于A：棱柱的所有侧面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，故A正确；
对于B：只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体，故B错误；
对于C：正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确；
对于D：只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．
（多选）9．（2024春 伊宁市期中）下列说法正确的是（　　）
A．圆柱的所有母线长都相等
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；棱锥的结构特征．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；直观想象．
【答案】ABD
【分析】根据圆柱，棱柱，正棱锥以及棱台的结构特征，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，由圆柱的结构特征可知，圆柱的所有母线长都相等，故A正确；
对于B，由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；
对于C，底面是正多边形，且侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故C错误；
对于D，由棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了简单几何体的结构特征，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2023秋 五莲县校级期末）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的高为 　　．
【考点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，利用正四棱台的几何性质，结合勾股定理求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：在正四棱台ABCD﹣EFGH，EQ、OM分别为侧面上的高以及棱台的高，
设棱台的上下底面的边长分别为a、b，则4b﹣4a＝16，可得b﹣a＝4，
在等腰梯形ABFE中，，
等腰梯形AEGC中，过E作EN⊥AC，垂足为N，
可得，即棱台的高为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正四棱台的结构特征、勾股定理与等腰梯形的性质等知识，考查了计算能力、空间想象能力，属于基础题．
11．（2024 四川模拟）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若A1B1＝2，AB＝4，则该四棱台的高是 　　．
【考点】棱台的结构特征；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意，作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案．
【解答】解：根据题意，设球O与上底面、下底面分别切于点O1，O2，与面ADD1A1，面BCC1B1分别切于点E、F，
其截面如图所示：
则MO1＝ME＝1，EN＝NO2＝2，
于是，MN＝1+2＝3，
过点M作MH⊥O2N于点H，则NH＝NO2﹣MO1＝1，
由勾股定理可得：，
所以，
所以该四棱台的高是．
故答案为：．
【点评】本题考查圆台、球的结构特征，关键是作出圆台、球的轴截面，属于基础题．
12．（2024 沙依巴克区校级模拟）若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则该棱台的高为 　3　．
【考点】棱台的结构特征．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用正四棱台的对角面为等腰梯形，再根据条件即可求出结果．
【解答】解：由题意，正四棱台的对角面为等腰梯形，
其中上底长为5，下底长为7，对角线长为9，
则高为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查棱台的结构特征，属基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 秦都区校级月考）如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点．证明：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）多面体EFB1﹣GBH是三棱台．
【考点】棱台的结构特征；平面的基本性质及推论．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，得到四点共面；
（2）作出辅助线，得到四边形EFHG为梯形，延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设EG∩FH＝P，由点线面的关系得到P∈BB1，故GE，FH，B1B交于一点，由平面EFB1∥平面GBH，得到多面体EFB1﹣GBH是三棱台．
【解答】解：（1）证明：连接AC，A1C1，如图所示，
在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，
∵E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点，
∴EF∥A1C1，GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
（2）证明：∵A1C1≠AC，∴EF≠GH，且EF∥GH，
∴四边形EFHG为梯形，
延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设EG∩FH＝P，
∵GE 平面AA1B1B，∴P∈平面AA1B1B，
∵HF 平面BB1C1C，∴P∈平面BB1C1C，
又∵平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，∴P∈BB1，
∴GE，FH，B1B交于一点，
又平面EFB1∥平面GBH，
∴多面体EFB1﹣GBH是三棱台．
【点评】本题考查几何体的结构特征，属于中档题．
14．（2020秋 蚌埠期末）一个正四棱台的高是17cm，上、下底面边长分别为4cm和16cm．求这个棱台的侧棱长和斜高．
【考点】棱台的结构特征．
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．由此能求出这个棱台的侧棱长和斜高．
【解答】解：如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，
连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，
则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．
∵A1B1＝4 cm，AB＝16 cm，
∴O1E1＝2 cm，OE＝8 cm，
O1B1＝2 cm，OB＝8 cm，
∴B1B2＝O1O2+（OB﹣O1B1）2＝361 cm2，
E1E2＝O1O2+（OE﹣O1E1）2＝325cm2，
∴B1B＝19 cm，E1E＝5cm．
∴这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5cm．
【点评】本题考查棱台的侧棱长和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正四棱台的结构特征的合理运用．
15．（2012秋 武城县校级月考）若一个正三棱台的两个底面的边长分别为1cm和7cm，侧棱长为5cm，求它的高和斜高．
【考点】棱台的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出正三棱台的图形，连接上下底面中心，就是棱台的高，求出AE，利用勾股定理，求出A′E即可．在侧面等腰梯形中，计算出棱台的斜高的长度．
【解答】解：如图，设正三棱台的上下底的中心分别为O、O1，
连接上下底面中心OO1，
则AE2，AA′＝5，
所以A′E＝OO1，
即它的高为；
作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，
则由等腰梯形的性质，
可得斜高h'4．
【点评】本题给出正三棱台棱台上下底面边长和侧棱长，求三棱台的高和斜高，着重考查了正棱台的结构特征，属于基础题．
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