【期末热点.重难点】频率与概率（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 频率与概率
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 湖北期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生0 9之间的随机数，当出现随机数0 6时，表示一局甲获胜，其概率是0.7．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数：
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲获胜的概率为（　　）
A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85
2．（2024秋 徐汇区校级期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（　　）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
3．（2024秋 高邮市月考）已知一批产品中有90%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（　　）
A．0.855 B．0.856 C．0.86 D．0.865
4．（2024春 太原期末）某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1～5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
534 123 512 114 125 334 432 332 314 152
423 443 423 344 541 453 525 151 354 345
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（　　）
A．0.24 B．0.3 C．0.7 D．0.76
5．（2024 云南）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下：
等级 一等奖 二等奖 三等奖
人数（单位：人） 3 6 1
现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（　　）
A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 任城区校级月考）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
（多选）7．（2024春 太原期末）下列结论正确的是（　　）
A．任何事件的概率总是在（0，1）内
B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率
C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率
（多选）8．（2024春 曲靖期末）下列说法不正确的是（　　）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
（多选）9．（2023秋 德阳期末）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354，根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（　　）
A．甲获得冠军的概率近似值为0.65
B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5
C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.55
D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 四川校级期末）一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件M发生的概率为 　 　．
11．（2024秋 孝感期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 　 　个．
12．（2024秋 汉台区月考）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如表：
（0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在（40，70]内的频率为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023 甘肃一模）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C三个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 45 30 25
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 40 10 50
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？
14．（2022 临汾三模）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f（x），其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．
（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；
（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数
就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
15．（2021 临汾模拟）在区间[0，1]上产生两组均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点（xi，yi）（i＝1，2，…，N），统计yi≤xi}的点（xi，yi）数目为X．
（1）当N＝1时，求X＝1的概率；
（2）设平面区域Ω：．
（ⅰ）求Ω的面积S；
（ⅱ）某计算机兴趣小组用以上方法估计Ω的面积，当N＝100时，求其估计值与实际值之差在区间（﹣0.1，0.1）内的概率．
附表：P（k）P（X＝t）．
k 39 40 41 59 60 61
P（k） 0.01760 0.02844 0.04431 0.97155 0.98239 0.98951
期末热点.重难点 频率与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 湖北期末）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生0 9之间的随机数，当出现随机数0 6时，表示一局甲获胜，其概率是0.7．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数：
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲获胜的概率为（　　）
A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85
【考点】模拟方法估计概率；随机数法简单随机抽样及其步骤．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，结合随机数的含义，分析20组随机数中，表示甲获胜的组数，由古典概型公式计算可得答案
【解答】解．根据题意，20组随机数中，除099，977外，表示甲获胜的共有18组，
则据此估计甲获胜的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查随机数的应用，考查概率的计算，属于基础题．
2．（2024秋 徐汇区校级期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（　　）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【考点】频率及频率的稳定性．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解；数据分析．
【答案】B
【分析】根据频率和概率的关系求解．
【解答】解：设盒子中球的总数为n，
由题意可知，0.1，
解得n＝50，
所以估计盒子中红球的个数约为50﹣5＝45个．
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了频率与概率的关系，属于基础题．
3．（2024秋 高邮市月考）已知一批产品中有90%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（　　）
A．0.855 B．0.856 C．0.86 D．0.865
【考点】频率与概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】记事件A：抽取的一个产品为合格品，事件B：抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得P（B）的值．
【解答】解：记事件A：抽取的一个产品为合格品，事件B：抽查一个产品被判为合格品，
一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01，
则P（A）＝0.9，P（B|A）＝0.95，，
故．
所以任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为0.856．
故选：B．
【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．
4．（2024春 太原期末）某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1～5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下：
534 123 512 114 125 334 432 332 314 152
423 443 423 344 541 453 525 151 354 345
根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（　　）
A．0.24 B．0.3 C．0.7 D．0.76
【考点】模拟方法估计概率；求随机数法抽样的样本．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况，
所以可估计甲获得冠军的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用随机数法模拟事件发生的概率，属于基础题．
5．（2024 云南）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下：
等级 一等奖 二等奖 三等奖
人数（单位：人） 3 6 1
现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（　　）
A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6
【考点】频率与概率；古典概型．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据古典概率的知识求得正确答案．
【解答】解：获一等奖员工有3个人，
根据古典概型公式可知，所求概率为．
故选：B．
【点评】本题考查古典概型，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 任城区校级月考）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（　　）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
【考点】频率与概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误．
【解答】解：从中任取100件，可能有10件，也可能少于10件或多于10件，A错误；
10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确“的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，
但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确．
多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，C中描述不符合概率定义，C错误；
做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查概率与频率的定义，属于基础题．
（多选）7．（2024春 太原期末）下列结论正确的是（　　）
A．任何事件的概率总是在（0，1）内
B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率
C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率
【考点】频率与概率．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断．
【解答】解：对于A：任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错误；
对于B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确；
对于C：由选项B可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误；
对于D：因为P（AB）≥0，则，
且随机事件A，B中至少有一个发生的概率为P（A∪B），
A，B中恰有一个发生的的概率为，
所以随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定不小于A，B中恰有一个发生的概率，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查概率的定义和性质，注意理解概率的定义，属于基础题．
（多选）8．（2024春 曲靖期末）下列说法不正确的是（　　）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水
【考点】频率与概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义，对各项依次判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于A．中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；
对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；
对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人能治愈的可能性还是10%，故C错误；
对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，不是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水，而是明天降水概率为70%指明天该地区降水的可能性为70%，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假的判断，概率的基本知识的应用，是基础题．
（多选）9．（2023秋 德阳期末）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354，根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（　　）
A．甲获得冠军的概率近似值为0.65
B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5
C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.55
D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由20组随机数中分别先求出甲获得冠军的数，甲以2：0的比分获得冠军的数，比赛总共打满三局的数和乙以2：0的比分获得冠军的数，从而可求出各选项频率，进而可得答案．
【解答】解：对于A，表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13组数，
故估计该场比赛甲获胜的概率为，故A正确；
对于B，表示甲以2：0的比分获得冠军的数有：123，114，332，125，334，314，共6组数，
故估计甲以2：0的比分获得冠军概率为，故B错误；
对于C，表示比赛总共打满三局的数有：423，423，344，525，152，342，534，512，432，151，354共11组数，
故估计比赛总共打满三局的概率为，故C正确；
对于D，表示乙以2：0的比分获得冠军的数有：453，443，541共3组数，
故估计乙以2：0的比分获得冠军的概率为0.15，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的应用，考查了利用频率估算概率，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 四川校级期末）一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率．利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
110 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件M发生的概率为 　　．
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出事件M发生的情况，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：事件M包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1，
随机产生的18组数中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组，
故所求概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
11．（2024秋 孝感期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 　8　个．
【考点】频率与概率；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】8．
【分析】用频率估计概率，根据绿球个数除以总个数即可．
【解答】解：因为通过大量重复的摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，
所以利用频率估算概率，摸到绿球的概率为0.4，
设不透明的袋中有绿球x个，
则，
解得x＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了概率的概念，属于基础题．
12．（2024秋 汉台区月考）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如表：
（0，10] （10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70]
12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在（40，70]内的频率为 　0.36　．
【考点】频率与概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.36．
【分析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
【解答】解：由频数表可知，样本数据落在（40，70]内的频率为：．
故答案为：0.36．
【点评】本题主要考查频率与频数的关系，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2023 甘肃一模）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C三个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 45 30 25
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 40 10 50
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.45，0.4；
（2）甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为17.25，乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为17，应该选甲分厂承接加工业务．
【分析】（1）由试加工产品等级的频数分布表能分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级的概率．
（2）由数据分别求出甲、乙分厂加工出来的100件产品利润，比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应该选乙分厂承接加工业务．
【解答】解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知：
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.45，
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为0.4；
（2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为：
利润 40 10 ﹣15
频数 45 30 25
∴甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为：
[40×45+10×30+（﹣15）×25]＝17.25，
乙分厂产品等级的频数分布表
利润 45 15 ﹣5
频数 40 10 50
∴乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为：
[45×40+15×10+（﹣5）×50]＝17，
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应该选甲分厂承接加工业务．
【点评】本题考查概率、平均利润的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2022 临汾三模）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f（x），其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．
（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；
（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数
就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）根据题意可知每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是，再利用古典概型的概率公式求解．
（2）先求出20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的个数，再利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：（1）由题知平均数μ＝2600，所以每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是，
这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．
设三个灯泡寿命超过2600小时分别为A，B，C；没有超过2600小时分别为，，，
则样本空间，
三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的事件，
所以．
（2）20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的有191，271，932，812，393共计5组，
所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过2800小时的概率估计值．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了正态分布的定义．属于基础题．
15．（2021 临汾模拟）在区间[0，1]上产生两组均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点（xi，yi）（i＝1，2，…，N），统计yi≤xi}的点（xi，yi）数目为X．
（1）当N＝1时，求X＝1的概率；
（2）设平面区域Ω：．
（ⅰ）求Ω的面积S；
（ⅱ）某计算机兴趣小组用以上方法估计Ω的面积，当N＝100时，求其估计值与实际值之差在区间（﹣0.1，0.1）内的概率．
附表：P（k）P（X＝t）．
k 39 40 41 59 60 61
P（k） 0.01760 0.02844 0.04431 0.97155 0.98239 0.98951
【考点】模拟方法估计概率．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数据分析．
【答案】（1）；（2）（i），（ii）0.94311；详解见解析．
【分析】（1）根据题意可画图求解；（2）（i）由（1）中图求解即可，（ii）由题可得到估计值与随机数之间的比值关系，再根据表格求解即可．
【解答】解：（1）当N＝1时，X＝1，即在0≤x≤1，0≤y≤1内随机产生了一个点，并且这个点位于直线y＝x下方，
由几何概型可知P；
（2）（i）由图可知S，
（ii）设面积的估计值为S′，则，
因为面积误差在区间（﹣0.1，0.1）内，即|S﹣S′|＜0.1，
得0.4＜S′＜0.6，所以40＜X＜60，
P（40＜X＜60）0.97155﹣0.02844＝0.94311．
【点评】本题考查了几何概型及其应用，属于基础题．
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