【期末热点.重难点】平面向量的概念（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 平面向量的概念
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 丽水期末）已知点O（0，0），向量，向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 昆明一模）已知向量（0，2），（1，0），则||＝（　　）
A． B． C．2 D．
3．（2024秋 浙江期末）已知向量，不共线且满足，则t＝（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 北京校级期末）已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中i＝1，2，j＝1，2， ，k），则k的最大值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025 李沧区校级一模）已知向量，，若与同向共线，则x＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．0或3
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则s＝t＝0
D．若且，则
（多选）7．（2024秋 大连期末）下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为1：3
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得λ
（多选）8．（2024 故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
D．向量的模为
（多选）9．（2024秋 喀什市期中）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有（　　）
A． B． C． D．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 抚顺期末）若非零向量与单位向量共线，且||＝||，则||＝ 　 　．
11．（2024秋 北京校级期末）已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对（x，y）：　 　．
12．（2024秋 延庆区期末）已知||＝2，||＝4，则||的最大值为 　 　，最小值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
14．（2024秋 淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
15．（2024春 香坊区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）．
（1）若∥，且||||，求向量的坐标；
（2）若∥，求y＝cos2θ﹣cosθ+t2的最小值．
期末热点.重难点 平面向量的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 丽水期末）已知点O（0，0），向量，向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得x，y求出，再由模长公式求解即可．
【解答】解：设，
由题意可知，，
，
因为，
所以，解得，
所以．
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．
2．（2025 昆明一模）已知向量（0，2），（1，0），则||＝（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】首先求出，再根据坐标法计算其模．
【解答】解：因为向量（0，2），（1，0），
所以，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的模，是基础题．
3．（2024秋 浙江期末）已知向量，不共线且满足，则t＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据向量共线的判定定理可知存在k∈R，使得，进而列式求解即可．
【解答】解：已知向量，不共线，则，
由，得存在k∈R，使得，
又向量，不共线，∴，解得．
故选：D．
【点评】本题考查共线向量基本定理的应用，是基础题．
4．（2024秋 北京校级期末）已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中i＝1，2，j＝1，2， ，k），则k的最大值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据条件不妨设，，，这样由模的几何意义可得满足的点（x，y）所在曲线，满足的点（x，y）所在曲线，两曲线的公共点即为所求，由此可得结论．
【解答】解：根据条件不妨设，，，
因为，
由，可得x2+y2＝1，
由，可得x2+y2＝4，
如图这两个圆用实线表示；
由，可得x2+（y﹣1）2＝1，
由，可得x2+（y﹣1）2＝4，
如图这两个圆用虚线表示；
由条件可知点（x，y）既要在实线曲线上，又要在虚线曲线上，
由图象可知，共有6个交点，即k是最大值是6．
故选：B．
【点评】本题考查向量的模的结合意义，考查圆与圆的位置关系，属中档题．
5．（2025 李沧区校级一模）已知向量，，若与同向共线，则x＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．0或3
【考点】平面向量的相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得．
【解答】解：因为向量，，与同向共线，
由9×1﹣x2＝0，可得x＝3或x＝﹣3，
当x＝3时，，，，满足题意，
当x＝﹣3时，，，，不满足题意，
所以x＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 岳阳县校级期末）下列关于向量的说法错误的是（　　）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则s＝t＝0
D．若且，则
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断．
【解答】解：A：当时，满足，，但与不一定平行，A错误；B：单位向量，夹角为，可得向量在向量上的投影向量为，B正确；
C：不妨假设s≠0，则，可知与共线，这与题设相矛盾，假设不成立，
所以s＝t＝0，C正确；
D：因为，则，
又，则，显然不能确定，D错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题也是易错题．
（多选）7．（2024秋 大连期末）下列关于向量说法，正确的是（　　）
A．若∥，∥，则∥
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为1：3
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数λ使得λ
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】时，可判断A的正误；
根据条件得出O为△ABC的重心，然后即可判断B的正误；
根据向量减法的三角形法则即可判断C的正误；
根据共线向量基本定理即可判断D的正误．
【解答】解：，满足，得不出，A错误；
若，则，则O是△ABC的重心，
根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍即可得出：，B正确；
都为非零向量，满足，则得出向量反向，C正确；
，只有时，才存在唯一的实数λ，使得，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，重心的定义，共线向量基本定理，是基础题．
（多选）8．（2024 故城县校级模拟）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若空间向量，满足，则
B．空间任意两个单位向量必相等
C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有
D．向量的模为
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；命题的真假判断与应用．
【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；数学抽象．
【答案】CD
【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断．
【解答】解：对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A错误；
对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，的方向相同，长度相等，故，故C正确；
对于D，由向量，可得||，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查空间向量的基本概念及模长公式，属基础题．
（多选）9．（2024秋 喀什市期中）在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用；直观想象．
【答案】BC
【分析】直接利用相等向量的定义即可求解．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，与向量相等的向量有3个，
分别是，，．
故选：BC．
【点评】此题考查了相等向量，属于基础题，比较简单，直接利用相等向量的定义即可求解．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 抚顺期末）若非零向量与单位向量共线，且||＝||，则||＝ 　2　．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】先判断非零向量与单位向量反向共线，再结合单位向量的定义，即可求解．
【解答】解：||＝||，非零向量与单位向量共线，
则非零向量与单位向量反向共线，
则，
故||＝ 2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量的模，属于基础题．
11．（2024秋 北京校级期末）已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对（x，y）：　（4，2）（答案不唯一）　．
【考点】平面向量的相等与共线．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（4，2）（答案不唯一）．
【分析】由共线向量的基本定理求解即可．
【解答】解：，，
若点A，C，D共线，存在实数λ，使得，
即，所以．
故答案为：（4，2）（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查共线向量的基本定理，属于基础题．
12．（2024秋 延庆区期末）已知||＝2，||＝4，则||的最大值为 　6　，最小值为 　2　．
【考点】平面向量的模．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学抽象．
【答案】6；2．
【分析】根据向量加法的几何性质即可得出结论．
【解答】解：根据向量模长的性质，
当向量和同向时，取得最大值，
等于两个向量模长之和，即2+4＝6；
当向量和反向时，取得最小值，
等于两个向量模长之差的绝对值，即|2﹣4|＝2；
因此，的最大值为6，最小值为2．
故答案为：6；2．
【点评】本题考查向量的模的性质，属基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
【考点】平面向量的概念与平面向量的模；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）由重心性质可得得坐标，从而求得模长；
（2）由平面向量基本定理的推论得，再利用基本不等式求得最值．
【解答】解：（1）根据题意：，，
由G是△ABC的重心，
可得，
所以；
（2）由，
可得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，所以，
则，
当且仅当，即λ＝1，时等号成立，
所以2λ+8μ的最小值为6．
【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．
14．（2024秋 淮安月考）设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
【考点】平面向量的平行向量（共线向量）；平面向量数量积的坐标运算．
【专题】方程思想；数形结合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）．
【分析】（1）设D（x，y），利用，可求D点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得D（3﹣4λ，1+3λ），利用数量积可求D点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1），
∴，解得，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且，
可设，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴，
又 4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
15．（2024春 香坊区校级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）．
（1）若∥，且||||，求向量的坐标；
（2）若∥，求y＝cos2θ﹣cosθ+t2的最小值．
【考点】平面向量的相等与共线．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣1，﹣1）．
（2）ymin．
【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长的公式，解方程可得t，进而得到所求向量的坐标；
（2）由向量平行的条件，运用配方法和余弦函数的性质，可得所求最小值．
【解答】解：（1）∵向量（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）．
∴（cosθ﹣1，t），又∥，∴2t﹣cosθ+1＝0，∴cosθ﹣1＝2t，①
又||||，∴（cosθ﹣1）2+t2＝5，②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1，∴t＝±1，
当t＝1时，cosθ＝3（舍去），
当t＝﹣1时，cosθ＝﹣1，∴B（﹣1，﹣1），即（﹣1，﹣1）．
（2）由（1）可知t，
∴y＝cos2θ﹣cosθ（cos）2，
又∵cosθ∈[﹣1，1]；
∴当cosθ时，ymin．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，注意运用二次函数的最值的求法，属于中档题．
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