【期末热点.重难点】平面向量的基本定理及坐标表示（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 平面向量的基本定理及坐标表示
一．选择题（共5小题）
1．（2025 聊城校级模拟）已知向量，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 洛阳期末）已知向量（6，2a﹣3），（﹣1，2），且⊥，则实数a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024秋 辽宁期末）如图，在△ABC中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，（m＞0），（n＞0），则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 雷州市校级期末）已知向量，，，则实数m＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
5．（2024秋 房山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 威海期末）设向量（x+4，x），（x，2），则（　　）
A．x＝0是⊥的充分条件
B．x＝﹣6是⊥的必要条件
C．∥是x＝4的必要条件
D．∥是x＝﹣2的充分条件
（多选）7．（2024秋 锦州期末）已知，，与夹角为，若且（x≥0，y≥0），则x+y的可能值为（　　）
A．2 B． C． D．1
（多选）8．（2024秋 辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）9．（2024秋 白城校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则（　　）
A．m B．m C．n D．n
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 海淀区期末）已知向量（x，1），（x，﹣1），则 　 　，||的最小值为 　 　．
11．（2024秋 安徽期末）已知向量，若，则λ＝ 　 　．
12．（2024秋 福州校级期末）如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 辽宁期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，连DM，P为线段CD上的一个动点．
（1）用基底表示；
（2）求的值；
（3）设，求x（y﹣2）的取值范围．
14．（2024秋 房山区期末）已知向量，．
（1）求；
（2）若向量c满足，求向量；
（3）在（2）的条件下，若，求实数m，n的值．
15．（2024秋 大连期末）如图，在△ABC中，．
（Ⅰ）若E是BD的中点，试用和表示；
（Ⅱ）若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H．若，，其中λ，μ均为正实数，求λ+μ的最小值．
期末热点.重难点 平面向量的基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 聊城校级模拟）已知向量，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据条件，求出，再利用模长的计算公式，即可求出结果．
【解答】解：因为，
所以，
得到．
故选：A．
【点评】本题考查了向量坐标的减法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，是基础题．
2．（2024秋 洛阳期末）已知向量（6，2a﹣3），（﹣1，2），且⊥，则实数a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据向量垂直的性质即可求解结论．
【解答】解：因为向量（6，2a﹣3），（﹣1，2），且⊥，
所以 6+2（2a﹣3）＝0，解得a＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3．（2024秋 辽宁期末）如图，在△ABC中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，（m＞0），（n＞0），则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理；基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】利用平面向量的基本定理推导出m+2n＝6，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：因为D、G、E三点共线，设，则，
所以，
因为，，则，，
所以，
因为，所以，
所以，
因为G为AO的中点，则，
因为、不共线，所以由平面向量基本定理可得，
所以，
所以m+2n＝6，即，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量基本定理与基本不等式的应用，属于中档题．
4．（2024秋 雷州市校级期末）已知向量，，，则实数m＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出向量的坐标，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算可得出实数m的值．
【解答】解：因为，，
所以，
因为，
所以，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．
5．（2024秋 房山区期末）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由向量的定义，加法法则，平面向量基本定理即可解出．
【解答】解：由题意可知，，
，设，
∴，
又点D，N，M三点共线，所以，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的基本知识，相关的运算，学生的运算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 威海期末）设向量（x+4，x），（x，2），则（　　）
A．x＝0是⊥的充分条件
B．x＝﹣6是⊥的必要条件
C．∥是x＝4的必要条件
D．∥是x＝﹣2的充分条件
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量（x+4，x），（x，2），
若⊥，
则（x+4）x+2x＝0，解得x＝0或x＝﹣6，
故x＝0是⊥的充分条件，故A正确；x＝﹣6是⊥的非必要条件，故B错误；
若，
则2（x+4）＝x2，解得x＝4或x＝﹣2，
故是x＝4的必要条件，故C正确；不是x＝﹣2的充分条件，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查向量垂直、平行的性质，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 锦州期末）已知，，与夹角为，若且（x≥0，y≥0），则x+y的可能值为（　　）
A．2 B． C． D．1
【考点】平面向量的基本定理；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】CD
【分析】由题意将平方可得x2+y2+xy＝1，再由基本不等式可求得x+y的取值范围，从而求得．
【解答】解：由，，与夹角为，
所以，
因为且（x≥0，y≥0），
所以4x2+4y2+4xy，
即x2+y2+xy＝1，所以，
所以，所以0，当且仅当x＝y时等号成立，
结合选项可得C，D符合题意．
故选：CD．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可．
【解答】解：要使平面中两个向量作为基底，
必须满足是非零向量，且不共线，故A不能作为基底；
对于B，由，可得B不能作为基底；
对于D，由，可得D不能作为基底；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C能作为基底．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量基底的概念及判定，属基础题．
（多选）9．（2024秋 白城校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且mn，则（　　）
A．m B．m C．n D．n
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】直接利用向量的三角形、平行四边形法则求解．
【解答】解：（）
∴，n．
故选：AD．
【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 海淀区期末）已知向量（x，1），（x，﹣1），则 　（0，1）　，||的最小值为 　2　．
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（0，1）；2．
【分析】由平面向量的坐标运算计算即可．
【解答】解：因为向量（x，1），（x，﹣1），
所以（0，2），即，
所以，
所以||2，当且仅当x＝0时等号成立，
所以||的最小值为2．
故答案为：（0，1）；2．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
11．（2024秋 安徽期末）已知向量，若，则λ＝ 　3　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】利用共线向量的坐标表示，列式计算得解．
【解答】解：若，向量，
则﹣2（2﹣λ）＝λ﹣1，解得λ＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
12．（2024秋 福州校级期末）如图，在△ABC中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 　　．
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由平面向量的线性运算可得，再由C，P，D三点共线可得到参数m的方程，解之即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
又因为C，P，D三点共线，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算与基本定理，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 辽宁期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC中点，AM与BD交于点N，连DM，P为线段CD上的一个动点．
（1）用基底表示；
（2）求的值；
（3）设，求x（y﹣2）的取值范围．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由平面向量的线性运算法可得，，结合可得出关于的表达式，再由可得结果；
（2）设，，将表示为基底的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于λ、t的方程组，解出t的值，即可得出的值；
（3）设，将表示为的表达式，利用平面向量的基本定理可得出y关于m的表达式，求出y的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求出x（y﹣2）的取值范围．
【解答】解：（1）因为①，②，
因为M为线段AB中点，所以，
因为，
则①+②得：，
整理得：，
所以；
（2）由AM与BD交于点N，设③，
设，可得，即④，
由③④得，消去λ得，所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得：．
又，
所以由平面向量基本定理可得：，即．
因为，且函数在上单调递减，所以，
所以，
因为函数在单调递减，
所以f（y）max＝f（1）＝0，，
所以x（y﹣2）的取值范围为．
【点评】本题考查平面向量的线性运算与平面向量基本定理的应用，属于中档题．
14．（2024秋 房山区期末）已知向量，．
（1）求；
（2）若向量c满足，求向量；
（3）在（2）的条件下，若，求实数m，n的值．
【考点】平面向量数量积的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用向量坐标的运算求出表示的坐标，再求其模长；
（2）利用向量坐标的运算解向量方程即得；
（3）将各向量坐标代入，利用方程两边对应项系数相等可得方程组，解之即得．
【解答】解：（1）由题意可知，．
所以；
（2）因为，
所以．
所以．
（3）因为，由（2）知，．
所以．
所以即．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
15．（2024秋 大连期末）如图，在△ABC中，．
（Ⅰ）若E是BD的中点，试用和表示；
（Ⅱ）若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H．若，，其中λ，μ均为正实数，求λ+μ的最小值．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量；运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式；运算求解．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）1．
【分析】（Ⅰ）根据题意，可得（），（），两式消去，即可得到本题的答案；
（Ⅱ）根据平面向量的线性运算法则，算出，结合F、D、H三点共线，推导出1，然后利用基本不等式与“1的代换”，求出λ+μ的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为E是BD的中点，，所以．
由，可得，化简得（）…①，
同理，由，可得（）…②，
由①②消去，化简得；
（Ⅱ）根据题意，可得（）．
结合，，可得，
因为F、D、H三点共线，所以1，λ＞0且μ＞0．
所以λ+μ＝（λ+μ）（）＝11+21．
当且仅当，即，时，等号成立．
综上所述，当，时，λ+μ取得最小值1．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
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