【期末热点.重难点】平面向量的应用（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 平面向量的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2025 温州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则a＝（　　）
A． B．5 C． D．
2．（2025 浙江模拟）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．设P是其内部一点，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，PD＝4，则（　　）
A． B． C．2 D．3
3．（2024秋 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线为CM交AB于M且a＝2，，c＝1，则线段CM＝（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2025 安阳二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025 安徽模拟）已知△ABC中，角A，B满足sinA﹣cosB+A+B，则下列结论一定正确的是（　　）
A．sinA＜cosC B．sinA＞cosB C．sinB＜cosA D．sinC＜sinB
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 聊城校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（　　）
A．△ABC外接圆的面积为16π
B．若c＝4，则
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC周长的最大值为
（多选）7．（2024秋 重庆校级期末）已知正实数x，y，z满足，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．xy+2yz+xz＝2
（多选）8．（2025 芜湖一模）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，∠BAC的角平分线交BC于D，则（　　）
A．△ABC是钝角三角形 B．
C．AD＝2 D．
（多选）9．（2024秋 承德期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，b＝3，，c＝1，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，A＝4C，则a＝ 　 　．
11．（2024秋 丽水期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足sinB（acosB+bcosA）＝2asin（A+B）．若c＝2，则△ABC的面积的最大值是 　 　．
12．（2024秋 扬州期末）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别a，b，c，△ABC的面积，3cosBcosC＝1，a＝3，则△ABC的周长为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 江西模拟）已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）已知向量，且，求sin（B﹣A）的值．
14．（2024秋 遵义期末）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，．
（1）求A；
（2）求的取值范围．
15．（2024秋 洛阳期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝acosB﹣bcosA，b≠c．
（1）证明：a2＝b2+2c2；
（2）证明：；
（3）证明：3c＜2a＜6b．
期末热点.重难点 平面向量的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 温州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则a＝（　　）
A． B．5 C． D．
【考点】利用正弦定理解三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意可求A是锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，进而利用正弦定理以及二倍角公式即可求解a的值．
【解答】解：因为在△ABC中，B＝2A，
则A是锐角，
又sinA，
则cosA，
又b＝8，
所以由正弦定理，可得．
故选：B．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理以及二倍角公式在解三角形中的应用，属于基础题．
2．（2025 浙江模拟）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．设P是其内部一点，满足PA＝1，PB＝2，PC＝3，PD＝4，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设BC＝kAD（k＞0），利用题设数据代入点的坐标进行运算即可求得结论．
【解答】解：设BC＝kAD（k＞0），以BC中点为原点，
BC方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，
不妨设A（﹣a，h），则B（﹣ka，0），C（ka，0），D（a，h），
再假设P（x0，y0），
于是有，，
两式相减，得，①
另一方面，，，
两式相减，得，②
结合①②，可以得出，故．
故选：D．
【点评】本题考查建立坐标系求解平面距离，属中档题．
3．（2024秋 会泽县期末）在△ABC中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线为CM交AB于M且a＝2，，c＝1，则线段CM＝（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，利用余弦定理求出∠ABC的余弦值，再根据三角形内角平分线定理求出BM的长度．最后在△BCM中利用余弦定理求出CM的长度．
【解答】解：由题意，a＝2，，c＝1，
则由余弦定理，可得，
根据内角平分线定理，有，
又AM+BM＝1，解得，
在△BCM 中，由余弦定理，可得
可得CM2＝BC2+BM2﹣2BC BM cos∠ABC
，
解得．
故选：B．
【点评】本题考查余弦定理的应用，属中档题．
4．（2025 安阳二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】解三角形．
【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得tanAtanC＝3，然后结合和差公式将所求化简为关于tanA，tanC的表达式，利用基本不等式可得．
【解答】解：由题知，由正弦定理得，
即，
因为B∈（0，π），sinB＞0，所以cosB＝2cosAcosC，
又cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinAsinC，
所以﹣cosAcosC+sinAsinC＝2cosAcosC，得tanAtanC＝3，
所以A，C最多有一个是钝角，所以tanA＞0，tanC＞0，
因为
，
由基本不等式得，
当且仅当，即tanA＝3，tanC＝1时等号成立，
所以的最小值为3．
故选：A．
【点评】本题考查了正弦定理、三角恒等变换和基本不等式的应用，属于中档题．
5．（2025 安徽模拟）已知△ABC中，角A，B满足sinA﹣cosB+A+B，则下列结论一定正确的是（　　）
A．sinA＜cosC B．sinA＞cosB C．sinB＜cosA D．sinC＜sinB
【考点】正弦定理；三角函数线．
【专题】转化思想；构造法；解三角形；逻辑思维．
【答案】C
【分析】根据不等式关系进行转化，然后构造函数f（x）＝sinx+x，判断函数的单调性得到AB，然后根据三角函数的单调性分别进行判断即可．
【解答】解：∵sinA﹣cosB+A+B，∴sinA+A＜cosB﹣Bsin（B）B，
设f（x）＝sinx+x，则不等式等价为f（A）＜f（B），
当0＜x＜π时，f′（x）＝1+cosx＞0，则f（x）为增函数，同时也是奇函数，
由f（A）＜f（B），得AB，
∴sinA＜sin（B）＝cosB，故B错误；
cosA＞cos（B）＝sinB，故C正确；
∵A+B，∴π＞C，则cosC＜0，故A错误；
∵C＞B，∴c＞b，由正弦定理得sinC＞sinB，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查与三角形有关的命题的真假判断，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 聊城校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（　　）
A．△ABC外接圆的面积为16π
B．若c＝4，则
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC周长的最大值为
【考点】解三角形．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由正弦定理求出外接圆半径，即可判断A；由正弦定理可求出角C，判断B；由余弦定理可求出ac的最大值，判断C；由余弦定理求出，可判断D．
【解答】解：对于A，由题意知，，
故设△ABC外接圆的半径为R，则，即得R＝2，
则△ABC外接圆的面积为4π，A错误；
对于B，若c＝4，，，
则由正弦定理可得，可得sinC＝1，
又C∈（0，π），
可得，B正确；
对于C，由题意可得12＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，
则，
故△ABC面积的最大值为，C正确；
对于D，由余弦定理可得12＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，
则，当且仅当a＝c时等号成立，
即得，故△ABC周长的最大值为，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 重庆校级期末）已知正实数x，y，z满足，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．xy+2yz+xz＝2
【考点】解三角形．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】可利用基本不等式来判断A，B选项，对于C，D选项，则需要利用余弦定理来构造几何图形，利用数形结合思想来判断即可．
【解答】解：对于A，因为，
又由x2+y2+xy＝4，可得 （x+y）2﹣xy＝4，
则有，解得，当且仅当x＝y时取等号，但根据x2+y2+xy＝4，可得，
此时，显然不成立，等号无法取得，所以，故A正确；
对于B，由可得：x2+3z2+3xz＝3，
又，
所以，
解得，当且仅当时取等号，同上可得，即，故B正确；
对于C，由可得：x2+3z2+3xz＝3，
构造成余弦定理得：，
由x2+y2+xy＝4，也构造成余弦定理得：，
由y2+3z2＝1，构造成勾股定理得：，
令，
如图则有：，
，，
根据图形可知：MB+MA＞AB，所以，故C错误；
对于D，由上可知：AB2+AC2＝BC2，则∠CAB＝90°，
则，又由S△ABC＝S△ABM+S△MBC+S△AMC，
而，
所以有xy+2yz+xz＝2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了不等式性质，基本不等式的应用，还考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
（多选）8．（2025 芜湖一模）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，∠BCA＝45°，∠BAC的角平分线交BC于D，则（　　）
A．△ABC是钝角三角形 B．
C．AD＝2 D．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据三角形内角和定理判断出A项的正误；在△ABC中，根据正弦定理算出BC的长，即可判断出B项的正误；在△ABD中，计算出∠B＝∠ADC＝75°，从而可得AD＝AB＝2，即可判断出C项的正误；求出sin75°，然后在△ABD中利用正弦定理算出BD的长，即可判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，由三角形内角和定理，得∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝75°，
所以△ABC的三个内角均为锐角，可得△ABC是锐角三角形，故A项不正确；
对于B，在△ABC中，由正弦定理得，
可得BC，故B项正确；
对于C，由AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，
△ABD中，∠ADB＝∠CAD+∠C＝30°+45°＝75°，
所以∠B＝∠ADC，可得AD＝AB＝2，故C项正确；
对于D，sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°cos30°+cos45°sin30°，
在△ABD中，由正弦定理得，
可得BD，故D项不正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、两角和的正弦公式、正弦定理等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 承德期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，b＝3，，c＝1，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由向量的线性运算可判断A；由余弦定理计算可判断B；由同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式计算可判断C；由向量模的求法可判断D．
【解答】解：因为D为BC的中点，所以，即，所以，故A正确；
因为b＝3，，c＝1，所以由余弦定理得：6，所以，故B正确；
因为，所以，，故C错误；
因为，所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，A＝4C，则a＝ 　3　．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据正弦定理化简已知等式，可得sinB+sinC（sinBtanB+sinCtanC），根据三角恒等变换公式化简得，可得B＝C，结合A＝4C，利用三角形内角和定理算出，，进而利用余弦定理求出边a的值．
【解答】解：根据，由正弦定理得sinB+sinC（sinBtanB+sinCtanC），
可得cos（sinB+sinC）＝sin（sinB sinC ），
结合sinsin（）＝cos，coscos（）＝sin，
去分母得（sin2BcosC+cosBsin2C），
移项得，
即，整理得，可得B﹣C＝0，即B＝C．
又因为A＝4C，所以A+B+C＝6C＝π，解得，．
在△ABC中，b＝c，，由余弦定理得，可得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题．
11．（2024秋 丽水期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足sinB（acosB+bcosA）＝2asin（A+B）．若c＝2，则△ABC的面积的最大值是 　　．
【考点】解三角形．
【专题】数形结合；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知利用正弦定理及三角恒等变形，得b＝2a，通过建立平面直角坐标系，设C（x，y），求出点C的轨迹是圆，将△ABC的面积的最大值问题转化为|y|的最大值来解决．
【解答】解：因为sinB（acosB+bcosA）＝2asin（A+B），
所以由正弦定理得：sinB（sinAcosB+sinBcosA）＝2sinAsin（A+B），
所以sinB sin（A+B）＝2sinA sin（A+B），
因为A+B∈（0，π），所以sin（A+B）≠0，
所以sinB＝2sinA，由正弦定理可得：b＝2a，
如图以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
因为c＝2，所以A（﹣1，0），B（1，0），
设C（x，y），由b＝2a，得，
化简得：，即，
所以点C的轨迹是以，半径为的圆．
所以△ABC的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的应用，动点的轨迹方程求法，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
12．（2024秋 扬州期末）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别a，b，c，△ABC的面积，3cosBcosC＝1，a＝3，则△ABC的周长为 　3+3　．
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】3+3．
【分析】由三角形的面积公式结合正弦定理可得，结合条件及两角和余弦公式可求得sinA，cosA，再由正弦定理可得，，从而求得bc，再由余弦定理可求得b+c，从而求得周长．
【解答】解：由三角形的面积公式可得，则3bcsin2A＝2a2，
由正弦定理可得：3sinBsinCsin2A＝2sin2A，
因为sinA≠0，所以，
又3cosBcosC＝1，则，
所以，
即，所以，所以，
因为a＝3，所以，
所以，，
则，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，则9＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，
即，解得，
所以△ABC的周长为a+b+c＝3+3．
故答案为：．
【点评】本题考查理由三角形的面积公式，正、余弦定理，三角恒等变换知识解三角形，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 江西模拟）已知在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）已知向量，且，求sin（B﹣A）的值．
【考点】解三角形；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）3；（2）．
【分析】（1）结合二倍角公式，正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得cosC，从而知角C的大小，再利用平面向量数量积的运算法则，可得ab的值，然后根据三角形的面积公式，求解即可；
（2）结合平面向量数量积的运算法则与二倍角公式，求出sin2A和cos2A的值，再由两角差的正弦公式展开运算即可．
【解答】解：（1）∵，∴，
∴ccosB＝（2a﹣b）cosC，
由正弦定理得sinCcosB＝（2sinA﹣sinB）cosC，
∴sinCcosB+sinBcosC＝2sinAcosC，
即sin（B+C）＝sinA＝2sinAcosC，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosC，
又C∈（0，π），∴C，
∵，∴ab＝12，
∴△ABC的面积．
（2）∵，且，
∴，即cosA，
又A∈（0，π），∴sinA，
∴sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，
由（1）知C，
∴，
∴sin（B﹣A）＝sin（2A）＝sincos2A﹣cossin2A（）﹣（）．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，平面向量数量积的运算法则，两角和差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 遵义期末）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，．
（1）求A；
（2）求的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）借助向量平行的坐标运算和三角恒等变换公式化简后即可得；
（2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到tanC的范围即可得．
【解答】解：（1）因为，，且，
所以，
即
，
因为△ABC为锐角三角形，所以A，，所以sinB≠0，
则有，即，所以；
（2）由正弦定理可得：
，
因为△ABC为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，所以．
【点评】本题考查理由正弦定理和三角恒等变换知识，三角函数的值域求法解三角形，属于中档题．
15．（2024秋 洛阳期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝acosB﹣bcosA，b≠c．
（1）证明：a2＝b2+2c2；
（2）证明：；
（3）证明：3c＜2a＜6b．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；不等式；运算求解．
【答案】见解析．
【分析】（1）根据余弦定理，将cosB、cosA代入已知等式并化简，即可得到等式a2＝b2+2c2成立；
（2）由（1）的结论推导出2（），然后运用基本不等式以及取等号的条件，证出不等式4成立；
（3）根据a2＝b2+2c2与a＜b+c，消去a并化简，证出c＜2b，即b，然后利用不等式的性质算出，进而证出所求结论．
【解答】证明：（1）因为cosB，cosA，
所以2c＝acosB﹣bcosA＝a b ，
整理得a2＝b2+2c2，结论成立；
（2）由（1）得a2+b2＝2（b2+c2），所以2（），
而22，当且仅当b＝c时，取等号．
所以4，结合题设b≠c，可得4，原不等式成立；
（3）由（1）知a2＝b2+2c2，结合a＜b+c，可得b2+2c2＜（b+c）2，
整理得c2＜2bc，可得c＜2b，即b．
所以，即，
所以，即3c＜2a＜6b，结论成立．
【点评】本题主要考查余弦定理、不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
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