【期末热点.重难点】平面向量的运算（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 平面向量的运算
一．选择题（共6小题）
1．（2025 江西模拟）已知平面向量满足，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 市中区校级模拟）已知实数λ＞0，向量的模都等于λ，且，，，则λ＝（　　）
A．1 B．5 C． D．
3．（2024秋 北京校级期末）已知△ABC中，D，E分别为边AC，BC的中点，且，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
4．（2024秋 常德校级期末）已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
5．（2024秋 湛江校级期末）已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024秋 济南期末）已知向量，且，则在上的投影向量为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（2025 温州模拟）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于的事件是（　　）
A．
B．
C．
D．在条件下，
（多选）8．（2024秋 雷州市校级期末）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为60°
D．在方向上的投影向量是
（多选）9．（2025 湖北模拟）已知点M为△ABC所在平面内一点，则（　　）
A．若，则
B．若，且，则△ABC为等边三角形
C．若，则
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西一模）已知向量，满足||＝2，|2|＝||，则||＝ 　 　．
11．（2024秋 亳州期末）已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则　 　．
12．（2025 福建模拟）已知，则△OAB的面积为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 牡丹江期末）已知，．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量，的夹角θ．
14．（2024秋 萧县校级期末）已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值．
15．（2024秋 昌平区期末）已知A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2）．
（Ⅰ）若向量与共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若k＝4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及||．
期末热点.重难点 平面向量的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025 江西模拟）已知平面向量满足，且，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：因为平面向量，满足，且，，
所以，所以，解得，
所以，．
故选：D．
【点评】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查计算能力，属于基础题．
2．（2025 市中区校级模拟）已知实数λ＞0，向量的模都等于λ，且，，，则λ＝（　　）
A．1 B．5 C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算即可求解．
【解答】解：已知向量，，的模都等于λ，
且，，，
由，可知与垂直，
设，则由和，
可得，，
即，，
根据向量模长公式，有，
代入x 和y的值，解得．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
3．（2024秋 北京校级期末）已知△ABC中，D，E分别为边AC，BC的中点，且，则（　　）
A．2 B． C．1 D．
【考点】平面向量的数乘与线性运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得．
【解答】解：由题意，D，E分别为边AC，BC的中点，
则，，
由，得，
即，则，
而，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
4．（2024秋 常德校级期末）已知非零向量（0，t），（1，﹣4），若向量在方向上的投影向量为2，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义列式即可计算求得t．
【解答】解：由（0，t），（1，﹣4），
可得在方向上的投影向量为，
解得t＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查投影向量的定义，属基础题．
5．（2024秋 湛江校级期末）已知非零向量、满足，则与的夹角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由向量模的求法和数量积的运算律计算即可求得，再由夹角公式计算即可．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
因为，
，
设与的夹角为θ，则．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
6．（2024秋 济南期末）已知向量，且，则在上的投影向量为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【考点】平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由求出，再利用投影向量公式求解．
【解答】解：，
则，
所以，
，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
【点评】本题主要考查投影向量公式，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（2025 温州模拟）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于的事件是（　　）
A．
B．
C．
D．在条件下，
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】由平面向量数量积的运算性质，结合古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：向量是矢量，有方向有长度，故有种取法．
A项：，
故且与同向，
所以P只能在A，Q只能在B一种，
所以，
即选项A不满足；
B项：可为图中：
，共18种，
所以，
即选项B满足；
C项：，
即与垂直，
又可为：四种，
所以，
即选项C不满足；
D项：在条件下，
即可为，共16种，
与平行有四种，
所以，
即选项D满足．
故选：BD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，重点考查了古典概型，属中档题．
（多选）8．（2024秋 雷州市校级期末）已知和为单位向量，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角为60°
D．在方向上的投影向量是
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用平面向量数量积的运算性质计算出的值，可判断AC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用投影向量的定义可判断D选项．
【解答】解：已知和为单位向量，且，
则，
则，
故，
即A对，C错；
又，
即B对；
又，
所以在方向上的投影向量是，
即D对．
故选：ABD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，重点考查了投影向量的定义，属中档题．
（多选）9．（2025 湖北模拟）已知点M为△ABC所在平面内一点，则（　　）
A．若，则
B．若，且，则△ABC为等边三角形
C．若，则
D．若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】若，根据平面向量的线性运算法则，推导出，从而判断出A项的正误；若，且，根据单位向量的性质、两个向量垂直的条件、平面向量的夹角公式，判断出△ABC是等边三角形，从而判断出B项的正误；若，根据向量的线性运算法则、平面向量数量积的运算性质，推导出，从而判断出C项的正误；若，且，通过作辅助线，结合平面向量的线性运算法则，算出点M到BC的距离等于点A到BC距离的，进而判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，若，则，
整理得（）（），即，
可得2，所以，故A项不正确；
对于B，由，得（）⊥，
可知∠BAC的平分线与BC垂直，所以△ABC中，AB＝AC．
由，可知单位向量、的夹角余弦值等于，
即cos∠BAC，结合∠BAC为三角形的内角，可得∠BAC＝60°．
因此，△ABC是等边三角形，可知B项正确；
对于C，若，则0，
可得（） （）＝0，
即 2 0，可得 2 0，
即（） 0，可得 0，故C项正确；
对于D，若，且，延长AM到N，使AN＝3AM，
则33x3y，满足3x+3y＝1，所以点N在BC上．
由，可知点M到BC的距离等于点A到BC距离的，所以S△MBCS△ABC，故D项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质、等边三角形的判断、三角形的面积计算等知识，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西一模）已知向量，满足||＝2，|2|＝||，则||＝ 　2　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的模．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】2．
【分析】由|2|＝||，利用向量的模的公式、平面向量数量积的运算性质，推导出2 ||2＝0，由此算出（）2＝4，进而可得||的值．
【解答】解：由|2|＝||，可得（2）2＝（）2，
即||2+4 4||2＝||2﹣2 ||2，整理得2 ||2＝0．
所以（）2＝||2+2 ||2＝22+0＝4，可得||2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于基础题．
11．（2024秋 亳州期末）已知向量，为两个相互垂直的单位向量，则　　．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】直接利用向量的夹角运算公式求出结果．
【解答】解：向量，为两个相互垂直的单位向量，
由题意得：，，
则，
由于，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：单位向量，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2025 福建模拟）已知，则△OAB的面积为 　5　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】5．
【分析】利用平面向量的数量积得到OA⊥AB，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可．
【解答】解：因为，
所以，
故OA⊥AB，
又，，
则．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 牡丹江期末）已知，．
（1）求向量的坐标；
（2）求向量，的夹角θ．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量数乘和线性运算的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣4，﹣3）；
（2）．
【分析】运用向量的坐标运算，结合夹角公式进行计算即可．
【解答】解：（1）因为，，所以．
（2），．
则．
因为θ∈[0，π]，所以向量，的夹角．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
14．（2024秋 萧县校级期末）已知向量与的夹角，且．
（1）求；
（2）求与的夹角的余弦值．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用向量的数量积和模长公式即可求解；
（2）利用向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：（1）因为向量与的夹角，且，
所以，
．
（2）由（1）知，，因为，
所以，，
所以．
【点评】本题考查平面向量的数量积与模的求法，属于中档题．
15．（2024秋 昌平区期末）已知A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2）．
（Ⅰ）若向量与共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若k＝4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及||．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）k＝15；
（Ⅱ）D（0，1），||．
【分析】（Ⅰ）求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于k的方程，解可得答案；
（Ⅱ）设D（x，y），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得，解可得x、y的值，可得D的坐标，进而求出的坐标，计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2），
则（4，1），（k+1，4），
若向量与共线，则有k+1＝4×4＝16，解可得k＝15，
故k＝15；
（Ⅱ）根据题意，若k＝4，则C（4，2），设D（x，y），
由平行四边形的性质，AC的中点就是BD的中点，
则有，解可得，即D的坐标为（0，1），
（﹣3，2），故||．
【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行的坐标表示以及向量模的计算，属于基础题．
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