【期末热点.重难点】复数的四则运算（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）数学高一下册

期末热点.重难点 复数的四则运算
一．选择题（共5小题）
1．（2025 江西模拟）若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i
2．（2024秋 湛江校级期末）若1+2i＝（i﹣2）（z﹣1），则z＝（　　）
A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i
3．（2024秋 浙江期末）若，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
4．（2024秋 仓山区校级期末）若复数z满足（2﹣i）z＝3+i，则z的共轭复数（　　）
A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i
5．（2025 郑州模拟）若复数z满足（1+i）（z+i）＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 无锡期末）已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．为实数 B．
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．
（多选）7．（2025 浙江模拟）已知复数z满足|z﹣1|＝|z|＝1，则（　　）
A．z∈R B． C． D．1
（多选）8．（2024秋 抚顺期末）已知i为虚数单位，虚数z满足z2﹣3iz﹣1+3i＝0，则（　　）
A． B．z2 C．z2＝﹣8﹣6i D．iz＝3﹣i
（多选）9．（2024秋 昭通期末）已知复数z1＝1﹣i9，z2＝3i10+2i，则（　　）
A．|z1+z2|＝5
B．
C．z1z2的虚部为5
D．在复平面内对应的点位于第三象限
三．填空题（共3小题）
10．（2025 上海）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝ 　 　．
11．（2025 肇庆一模）若复数z满足z （1﹣2i）＝1+i，则z＝　 　．
12．（2024秋 天津期末）复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合．
（1）设a是方程的一个根，试用列举法表示集合Ma；
（2）若复数ω∈Mz，求证Mω Mz．
14．（2024秋 单县校级期中）已知复数z1＝﹣2+4i，z2＝﹣1﹣3i．
（1）若，求|z|；
（2）在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，其中O是原点，求∠AOB的大小．
15．（2024秋 昭通校级期中）已知复数．
（1）求复数z的模|z|；
（2）若，求a，b的值．
期末热点.重难点 复数的四则运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 江西模拟）若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i
【考点】复数的乘法及乘方运算；复数的实部与虚部．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．
【解答】解：∵z1＝（2﹣i）（b+i）＝（2b+1）+（2﹣b）i∈R，复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，
∴2﹣b＝0，解得b＝2，
∴z＝（2﹣i）i＝1+2i，则复数z的虚部为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，是基础题．
2．（2024秋 湛江校级期末）若1+2i＝（i﹣2）（z﹣1），则z＝（　　）
A．1﹣i B．1+i C．2﹣i D．2+i
【考点】复数的混合运算．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】由复数的四则运算化简可得复数z．
【解答】解：由1+2i＝（i﹣2）（z﹣1），
得z﹣1，
故z＝1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（2024秋 浙江期末）若，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】根据复数的乘除法计算，即可求得答案．
【解答】解：由题意可得，z＝（z+1）（1﹣i），
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的乘除法计算，属于基础题．
4．（2024秋 仓山区校级期末）若复数z满足（2﹣i）z＝3+i，则z的共轭复数（　　）
A．1﹣i B．1+i C．2+i D．2﹣i
【考点】复数的除法运算；共轭复数．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝3+i，
得z，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．（2025 郑州模拟）若复数z满足（1+i）（z+i）＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则化简求解．
【解答】解：由（1+i）（z+i）＝2，
得z+i，
则z＝1﹣2i，其虚部为﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 无锡期末）已知复数z1，z2，为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．为实数 B．
C．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 D．
【考点】复数的混合运算；共轭复数；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：对于AB，设z1＝a+bi（a，b∈R），
则，
，故A正确；
，故B正确；
对于C，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，故C错误；
对于D，|z2||z1|＝|z2z1|，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
（多选）7．（2025 浙江模拟）已知复数z满足|z﹣1|＝|z|＝1，则（　　）
A．z∈R B． C． D．1
【考点】复数的混合运算；共轭复数；复数的模．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BC
【分析】设z＝a+bi，a，b∈R，由复数z满足|z﹣1|＝|z|＝1，解得a，b，从而z，利用复数的运算法则、共轭复数求解．
【解答】解：设z＝a+bi，a，b∈R，
∵复数z满足|z﹣1|＝|z|＝1，
∴（a﹣1）2+b2＝a2+b2＝1，
解得a，b，
∴z，不是整数，故A错误；
i，
||1，故B正确；
z1，故C正确；
i，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查复数的运算法则、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）8．（2024秋 抚顺期末）已知i为虚数单位，虚数z满足z2﹣3iz﹣1+3i＝0，则（　　）
A． B．z2 C．z2＝﹣8﹣6i D．iz＝3﹣i
【考点】复数的混合运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，进而可求得答案．
【解答】解：由z2﹣3iz﹣1+3i＝（z+1﹣3i）（z﹣1）＝0，得z＝﹣1+3i或z＝1（舍去），
则|z|，2，z2＝﹣8﹣6i，iz＝﹣3﹣i．
故选：AC．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
（多选）9．（2024秋 昭通期末）已知复数z1＝1﹣i9，z2＝3i10+2i，则（　　）
A．|z1+z2|＝5
B．
C．z1z2的虚部为5
D．在复平面内对应的点位于第三象限
【考点】复数的混合运算；复数对应复平面中的点；共轭复数；复数的模．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BCD
【分析】利用虚数单位i的性质化简，然后逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：∵z1＝1﹣i9＝1﹣i，z2＝3i10+2i＝﹣3+2i，
∴|z1+z2|＝|1﹣i﹣3+2i|＝|﹣2+i|，故A错误；
z1﹣z2＝1﹣i+3﹣2i＝4﹣3i，4+3i，故B正确；
z1z2＝（1﹣i）（﹣3+2i）＝﹣3+2i+3i+2＝﹣1+5i，则z1z2的虚部为5，故C正确；
，
则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第三象限，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 上海）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝ 　　．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可．
【解答】解：，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
11．（2025 肇庆一模）若复数z满足z （1﹣2i）＝1+i，则z＝　　．
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】利用复数的除法运算即可得解．
【解答】解：因为z （1﹣2i）＝1+i，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
12．（2024秋 天津期末）复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为 　　．
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：，
则z的虚部为．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 周口校级期末）对任意一个非零复数z，定义集合．
（1）设a是方程的一个根，试用列举法表示集合Ma；
（2）若复数ω∈Mz，求证Mω Mz．
【考点】复数的运算；集合的包含关系判断及应用．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求解方程得，，再由有理指数幂及i的运算性质可得{}＝{}；同理求得{}．则Ma可求；
（2）由ω∈MZ，可知存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1，则对任意n∈N，有ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），结合（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，得ω2n﹣1∈Mz，即Mω MZ．
【解答】（1）解：由，得，
∴，，
当时，∵，，
∴{}＝{}；
当时，∵，
∴{}．
∴Ma＝{}；
（2）证明：∵ω∈MZ，
∴存在m∈N，使得ω＝z2m﹣1．
于是对任意n∈N，ω2n﹣1＝z（2m﹣1）（2n﹣1），
由于（2m﹣1）（2n﹣1）是正奇数，ω2n﹣1∈Mz，
∴Mω MZ．
【点评】本题考查了复数的周期性、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（2024秋 单县校级期中）已知复数z1＝﹣2+4i，z2＝﹣1﹣3i．
（1）若，求|z|；
（2）在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，其中O是原点，求∠AOB的大小．
【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；共轭复数．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出z，再求其模长即得；
（2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得∠AOB．
【解答】解：（1）由复数z1＝﹣2+4i，z2＝﹣1﹣3i，
得，
∴|z|；
（2）依题意向量
于是有
∵∠AOB为与的夹角，
∴
∵∠AOB∈[0，π]，∴．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
15．（2024秋 昭通校级期中）已知复数．
（1）求复数z的模|z|；
（2）若，求a，b的值．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；
（2）a＝3，b＝﹣5．
【分析】（1）先利用复数除法化简题给复数z，进而求得复数z的模|z|；
（2）利用复数相等列出关于a，b的方程组，解之即可求得a，b的值．
【解答】解：（1），
则；
（2）∵，
又，
∴，解得a＝3，b＝﹣5．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
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