【期末热点.重难点】正态分布（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册
文档属性
| 名称 | 【期末热点.重难点】正态分布（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-21 18:05:00 | ||
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文档简介
期末热点.重难点 正态分布
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 保山期末）已知随机变量ξ～N（3，σ2）且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），则（0＜x＜a）的最小值是（ ）
A．9 B． C． D．2
2．（2025 昆明一模）某次测试成绩X～N（105，225），记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（ ）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545．
A．31.73% B．15.87% C．4.55% D．2.28%
3．（2024秋 济南期末）已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 厦门模拟）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，则a＝（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．
5．（2024秋 青岛校级期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在（180，220）的人数为X，则（ ）
A．P（180＜ξ＜220）＝0.9 B．P（X≥1）＝0.488
C．E（X）＝2.4 D．D（X）＝0.16
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 安徽期末）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则下列结论正确的是（ ）
A．若P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则
B．P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ）
C．若μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（X＜2σ）
D．2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）
（多选）7．（2025 四川模拟）芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974）
A．P（B）＞P（B|A）
B．
C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.84
D．P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为54
（多选）8．（2024秋 洛阳期末）设随机变量X～N（3，m），且P（2≤X＜5）＝0.6，则下列结论正确的有（ ）
A．P（1≤X＜2）＜0.2 B．P（2≤X＜4）＜0.4
C．P（3≤X＜5）＜0.4 D．P（X≥5）＞0.25
（多选）9．（2024秋 吉安期末）已知X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b）（a，b均为正数），则（ ）
A．0＜ab≤1 B．
C．|a﹣1|＞|b﹣1| D．a2+b2﹣ab≥1
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 丽水期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，则P（1＜X≤1.5）＝ ．
11．（2024秋 日照期末）假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量X服从正态分布N（500，σ2），对于X≥502的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用Y表示这100包中质量X位于区间（498，502）的包数，则随机变量Y的方差是 ．
12．（2025 武汉模拟）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[5.12，5.28]内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2024 江西模拟）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．
（1）计算样本平均数和样本方差s2；
（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．
14．（2024 四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
15．（2025 仁寿县校级模拟）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．
（1）若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
（2）设随机变量ξ服从二分布B（n，p），记，则当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0，1）．若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，求该同学至少要投多少次．
附：若η N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜1.645）＝0.95．
期末热点.重难点 正态分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 保山期末）已知随机变量ξ～N（3，σ2）且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），则（0＜x＜a）的最小值是（ ）
A．9 B． C． D．2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用正态分布曲线的对称性可知a＝5，所以0＜x＜5，即5﹣x＞0，所以（）[x+（5﹣x）]，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），
所以3，
解得a＝5，
因为0＜x＜5，所以5﹣x＞0，
所以（）[x+（5﹣x）]（5），
当且仅当，即x时，等号成立，
所以（0＜x＜a）的最小值是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
2．（2025 昆明一模）某次测试成绩X～N（105，225），记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（ ）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545．
A．31.73% B．15.87% C．4.55% D．2.28%
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性，结合题中参考数据，即可求得优秀率．
【解答】解：因为测试成绩X～N（105，225），
所以μ＝105，σ＝15，
因为120＝105+15＝μ+σ，
所以由正态分布性质得120分以上的概率为，
故优秀率约为15.87%．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
3．（2024秋 济南期末）已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正态曲线关于直线x＝2对称，得出a+2b＝4，即a﹣2x+2（x﹣b）＝4，再利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】解：因为随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），
所以2，
即a﹣2b＝4，
所以a﹣2x+2（x﹣b）＝4，
因为，所以b＜x且a＞2x，
则a﹣2x＞0，x﹣b＞0，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
4．（2025 厦门模拟）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，则a＝（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为X～N（1，σ2），P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，
所以P（X≤a+2）＝P（X≤a）+P（a≤X≤a+2）＝0.3+0.4＝0.7，
所以P（X≥a+2）＝1﹣0.7＝0.3，
又因为P（X≤a）＝0.3，
所以1，
解得a＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．（2024秋 青岛校级期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在（180，220）的人数为X，则（ ）
A．P（180＜ξ＜220）＝0.9 B．P（X≥1）＝0.488
C．E（X）＝2.4 D．D（X）＝0.16
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，ξ在（180，220）的概率为P（180＜ξ＜220）＝0.8，则X B（3，0.8），从而求得期望，方差及概率．
【解答】解：对于A，因为ξ N（200，σ2），所以P（ξ≥220）＝P（ξ≤180）＝0.1，
所以P（180＜ξ＜220）＝1﹣P（ξ≥220）﹣P（ξ≤180）＝0.8，故A错误；
对于B，ξ在（180，220）的概率为P（180＜ξ＜220）＝0.8，则X B（3，0.8），
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣0.23＝1﹣0.008＝0.992，故B错误；
对于C，由B知，X B（3，0.8），所以E（X）＝3×0.8＝2.4，故C正确；
对于D，由B知，X B（3，0.8），所以D（X）＝3×0.8×（1﹣0.8）＝0.48，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点和二项分布的期望与方差，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 安徽期末）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则下列结论正确的是（ ）
A．若P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则
B．P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ）
C．若μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（X＜2σ）
D．2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的对称轴，性质及特点可判断各选项正误．
【解答】解：因为X～N（μ，σ2）（σ＞0），关于x＝μ对称，
对于选项A，因为P（μ＜X＜μ+σ）＝m，
则P（X＞μ﹣σ）＝P（μ＞X＞μ﹣σ）+P（X＞μ），故A正确；
对于选项B，P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ）+P（μ＜X＜μ+2σ）
＝P（μ﹣2σ＜X＜μ）+P（μ＜X＜μ+3σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ），故B正确；
对于选项C，因为μ＝σ，
则P（X＞﹣σ）＝P（μ＞X＞﹣μ）+P（X＞μ），P（X＜2μ）＝P（2μ＞X＞μ）+P（X＜μ），
则P（X＞﹣σ）＞P（X＜2σ），故C错误；
对于选项D，因为X～N（μ，σ2）（σ＞0），
所以P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）﹣2P（X＞μ﹣2σ）＝P（μ﹣2σ＞X＞μ﹣3σ）﹣P（μ﹣σ＞X＞μ﹣2σ），
又因为P（μ﹣2σ＞X＞μ﹣3σ）＜P（μ﹣σ＞X＞μ﹣2σ），
所以P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）﹣2P（X＞μ﹣2σ）＜0，
即得2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）7．（2025 四川模拟）芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974）
A．P（B）＞P（B|A）
B．
C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.84
D．P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为54
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】A选项，由条件概率的定义进行判断；
B选项，在A选项基础上，推出P（AB）＞P（A）P（B），结合，得到，简单变形即可得到B正确；
C选项，利用正态分布的对称性和3σ原则得到答案；
D选项，m B（M，0.84），，令，作商法得到其单调性，求出f（53）＞f（52），f（53）＞f（54），得到答案．
【解答】解：根据题意，A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．
芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），
对于A选项，由条件概率的定义可知，P（B|A）＞P（B），A错误；
对于B选项，因为P（B|A）＞P（B），所以P（A）P（B|A）＞P（A）P（B），
其中，故P（AB）＞P（A）P（B），
又，
于是，
即，
即，而P（B）∈（0，1），
所以，即，故，B正确；
对于D选项，m B（M，0.84），，
设，
令，
解得，故f（53）＞f（52），
令，
解得，即f（53）＞f（54），
所以P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为53，D错误；
对于C选项，指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），故μ＝5.40，σ＝0.05，
则μ﹣σ＝5.35，μ+3σ＝5.55，
因为P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974，
所以，C正确．
故选：BC．
【点评】本题考查正态分布曲线性质以及对立事件，条件概率相关知识，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 洛阳期末）设随机变量X～N（3，m），且P（2≤X＜5）＝0.6，则下列结论正确的有（ ）
A．P（1≤X＜2）＜0.2 B．P（2≤X＜4）＜0.4
C．P（3≤X＜5）＜0.4 D．P（X≥5）＞0.25
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：不妨记P（2≤X＜3）＝t，则P（3≤X＜4）＝t，P（4≤X＜5）＝0.6﹣2t，
由P（3≤X＜4）＞P（4≤X＜5）可知t＞0.2，
对于A，P（1≤X＜2）＝P（4≤X＜5）＝0.6﹣2t＜0.2，故A正确；
对于B，P（2≤X＜4）＝P（2≤X＜3）+P（3≤X＜4）＝2t＞0.4，故B错误；
对于C，P（3≤X＜5）＝P（3≤X＜4）+P（4≤X＜5）＝0.6﹣t＜0.4，故C正确；
对于D，0.2＜0.25，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 吉安期末）已知X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b）（a，b均为正数），则（ ）
A．0＜ab≤1 B．
C．|a﹣1|＞|b﹣1| D．a2+b2﹣ab≥1
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：∵随机变量X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b），由正态曲线的对称性，可得 a+b＝2，
对于选项A，∵a＞0，b＞0可得，可得，∴0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；
对于选项B，由，
∵0＜ab≤1，
∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B错误；
对于选项C，令a，b，则|a﹣1|＝|b﹣1|，故C错误；
对于D，0＜ab≤1，且a+b＝2，
则a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝4﹣3ab≥1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 丽水期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，则P（1＜X≤1.5）＝ 0.38 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.38．
【分析】根据正态分布的特点即可得到答案．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，
所以P（1＜X≤1.5）＝0.5﹣P（X＞1.5）＝0.5﹣0.12＝0.38．
故答案为：0.38．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
11．（2024秋 日照期末）假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量X服从正态分布N（500，σ2），对于X≥502的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用Y表示这100包中质量X位于区间（498，502）的包数，则随机变量Y的方差是 9 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】9．
【分析】由正态分布曲线的对称性可得Y～B（100，0.9），再利用二项分布的方差公式求解．
【解答】解：由题意可知，X～N（500，σ2），P（X≥502）＝0.05，
所以P（498＜X＜502）＝1﹣2P（X≥502）＝1﹣2×0.05＝0.9，
所以Y～B（100，0.9），
所以DY＝100×0.9×（1﹣0.9）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
12．（2025 武汉模拟）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[5.12，5.28]内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为 840 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】840．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵X～N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，
∴P（5.12≤X≤5.28）＝1﹣2P（X＞5.28）＝1﹣2×0.08＝0.84，
∴估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为1000×0.84＝840．
故答案为：840．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024 江西模拟）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．
（1）计算样本平均数和样本方差s2；
（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），s2＝12
（2）分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．
【分析】（1）由平均数，方差的计算公式计算可得；
（2）结合问题中给出的概率和正态分布的性质，确定各等级的分数线即可．
【解答】解：（1），
；
（2）该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布N（84，12），
设竞赛成绩达到a以上为特等奖，成绩达到b以上但小于或等于a为一等奖，成绩达到c以上但小于或等于b为二等奖，成绩小于或等于c为参与奖，
则P（X＞a）＝2.28%，P（b＜X≤a）＝13.59%，P（c＜X≤b）＝68.26%，P（X≤c）＝15.87%．
因为，
所以a≈μ+2σ≈90.92，
因为，
所以b≈μ+σ≈87.46，
因为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，所以c≈μ﹣σ≈80.54，
综上，分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的定义，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
14．（2024 四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）60；
（2）①3274人；②不可信．
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得P（190≤X≤355），再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得P（X＞μ+3σ），估计成绩高于410分的人数，即可判断．
【解答】解：（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种，
在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，
则有种，共2×6＝12种；
若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种．
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12+48＝60．
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X N（245，552）．
由题知μ＝245，σ＝55，μ+2σ＝245+110＝355，μ﹣σ＝245﹣55＝190，
则，
所以4000×0.8186＝3274.4≈3274．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
μ+3σ＝245+3×55＝410＜425，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有4000×0.00135＝5.4人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．
15．（2025 仁寿县校级模拟）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．
（1）若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
（2）设随机变量ξ服从二分布B（n，p），记，则当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0，1）．若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，求该同学至少要投多少次．
附：若η N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜1.645）＝0.95．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率．
【专题】转化思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%．
【分析】（1）直接利用条件概率计算公式求解；
（2）根据题意得P（0.40.6）≥0.9，然后转化为正态分布的概率求解．
【解答】解：（1）记该同学投篮4次，投中2次为事件A，第二次没投中为事件B，
则P（A），
P（AB），
∴在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率为P（B|A）；
（2）设至少投n次，其中投中的次数ξ B（n，0.5），
若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，即P（0.40.6）≥0.9，
即P（0.4n＜ξ＜0.6n）≥0.9，
由已知条件可知P（）≥0.9，
又∵P（η＜1.645）＝0.95，0.21.645，解得n≥67.6，
∴至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%．
【点评】本题考查条件概率及其计算公式，考查正态分布曲线的特点及其几何意义，考查运算求解能力，是中档题．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 保山期末）已知随机变量ξ～N（3，σ2）且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），则（0＜x＜a）的最小值是（ ）
A．9 B． C． D．2
2．（2025 昆明一模）某次测试成绩X～N（105，225），记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（ ）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545．
A．31.73% B．15.87% C．4.55% D．2.28%
3．（2024秋 济南期末）已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 厦门模拟）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，则a＝（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．
5．（2024秋 青岛校级期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在（180，220）的人数为X，则（ ）
A．P（180＜ξ＜220）＝0.9 B．P（X≥1）＝0.488
C．E（X）＝2.4 D．D（X）＝0.16
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 安徽期末）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则下列结论正确的是（ ）
A．若P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则
B．P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ）
C．若μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（X＜2σ）
D．2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）
（多选）7．（2025 四川模拟）芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974）
A．P（B）＞P（B|A）
B．
C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.84
D．P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为54
（多选）8．（2024秋 洛阳期末）设随机变量X～N（3，m），且P（2≤X＜5）＝0.6，则下列结论正确的有（ ）
A．P（1≤X＜2）＜0.2 B．P（2≤X＜4）＜0.4
C．P（3≤X＜5）＜0.4 D．P（X≥5）＞0.25
（多选）9．（2024秋 吉安期末）已知X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b）（a，b均为正数），则（ ）
A．0＜ab≤1 B．
C．|a﹣1|＞|b﹣1| D．a2+b2﹣ab≥1
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 丽水期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，则P（1＜X≤1.5）＝ ．
11．（2024秋 日照期末）假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量X服从正态分布N（500，σ2），对于X≥502的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用Y表示这100包中质量X位于区间（498，502）的包数，则随机变量Y的方差是 ．
12．（2025 武汉模拟）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[5.12，5.28]内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2024 江西模拟）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．
（1）计算样本平均数和样本方差s2；
（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．
14．（2024 四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
15．（2025 仁寿县校级模拟）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．
（1）若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
（2）设随机变量ξ服从二分布B（n，p），记，则当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0，1）．若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，求该同学至少要投多少次．
附：若η N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜1.645）＝0.95．
期末热点.重难点 正态分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 保山期末）已知随机变量ξ～N（3，σ2）且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），则（0＜x＜a）的最小值是（ ）
A．9 B． C． D．2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用“1”的代换构造基本不等式．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用正态分布曲线的对称性可知a＝5，所以0＜x＜5，即5﹣x＞0，所以（）[x+（5﹣x）]，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ≤1）＝p（ξ≥a），
所以3，
解得a＝5，
因为0＜x＜5，所以5﹣x＞0，
所以（）[x+（5﹣x）]（5），
当且仅当，即x时，等号成立，
所以（0＜x＜a）的最小值是．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
2．（2025 昆明一模）某次测试成绩X～N（105，225），记成绩120分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（ ）
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545．
A．31.73% B．15.87% C．4.55% D．2.28%
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性，结合题中参考数据，即可求得优秀率．
【解答】解：因为测试成绩X～N（105，225），
所以μ＝105，σ＝15，
因为120＝105+15＝μ+σ，
所以由正态分布性质得120分以上的概率为，
故优秀率约为15.87%．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
3．（2024秋 济南期末）已知随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用正态曲线关于直线x＝2对称，得出a+2b＝4，即a﹣2x+2（x﹣b）＝4，再利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】解：因为随机变量ξ～N（2，σ2），且P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），
所以2，
即a﹣2b＝4，
所以a﹣2x+2（x﹣b）＝4，
因为，所以b＜x且a＞2x，
则a﹣2x＞0，x﹣b＞0，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
4．（2025 厦门模拟）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，则a＝（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为X～N（1，σ2），P（X≤a）＝0.3，且P（a≤X≤a+2）＝0.4，
所以P（X≤a+2）＝P（X≤a）+P（a≤X≤a+2）＝0.3+0.4＝0.7，
所以P（X≥a+2）＝1﹣0.7＝0.3，
又因为P（X≤a）＝0.3，
所以1，
解得a＝0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．（2024秋 青岛校级期末）“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm）服从正态分布N（200，σ2），且P（ξ≥220）＝0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ在（180，220）的人数为X，则（ ）
A．P（180＜ξ＜220）＝0.9 B．P（X≥1）＝0.488
C．E（X）＝2.4 D．D（X）＝0.16
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，ξ在（180，220）的概率为P（180＜ξ＜220）＝0.8，则X B（3，0.8），从而求得期望，方差及概率．
【解答】解：对于A，因为ξ N（200，σ2），所以P（ξ≥220）＝P（ξ≤180）＝0.1，
所以P（180＜ξ＜220）＝1﹣P（ξ≥220）﹣P（ξ≤180）＝0.8，故A错误；
对于B，ξ在（180，220）的概率为P（180＜ξ＜220）＝0.8，则X B（3，0.8），
所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣0.23＝1﹣0.008＝0.992，故B错误；
对于C，由B知，X B（3，0.8），所以E（X）＝3×0.8＝2.4，故C正确；
对于D，由B知，X B（3，0.8），所以D（X）＝3×0.8×（1﹣0.8）＝0.48，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点和二项分布的期望与方差，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 安徽期末）已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则下列结论正确的是（ ）
A．若P（μ＜X＜μ+σ）＝m，则
B．P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ）
C．若μ＝σ，则P（X＞﹣σ）＝P（X＜2σ）
D．2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的对称轴，性质及特点可判断各选项正误．
【解答】解：因为X～N（μ，σ2）（σ＞0），关于x＝μ对称，
对于选项A，因为P（μ＜X＜μ+σ）＝m，
则P（X＞μ﹣σ）＝P（μ＞X＞μ﹣σ）+P（X＞μ），故A正确；
对于选项B，P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ）+P（μ＜X＜μ+2σ）
＝P（μ﹣2σ＜X＜μ）+P（μ＜X＜μ+3σ）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+3σ），故B正确；
对于选项C，因为μ＝σ，
则P（X＞﹣σ）＝P（μ＞X＞﹣μ）+P（X＞μ），P（X＜2μ）＝P（2μ＞X＞μ）+P（X＜μ），
则P（X＞﹣σ）＞P（X＜2σ），故C错误；
对于选项D，因为X～N（μ，σ2）（σ＞0），
所以P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）﹣2P（X＞μ﹣2σ）＝P（μ﹣2σ＞X＞μ﹣3σ）﹣P（μ﹣σ＞X＞μ﹣2σ），
又因为P（μ﹣2σ＞X＞μ﹣3σ）＜P（μ﹣σ＞X＞μ﹣2σ），
所以P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ）﹣2P（X＞μ﹣2σ）＜0，
即得2P（X＞μ﹣2σ）＞P（X＞μ﹣3σ）+P（X＞μ﹣σ），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）7．（2025 四川模拟）芯片时常制造在半导体晶元表面上．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ位于区间（5.35，5.55），则下列说法正确的是（ ）（参考数据：P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974）
A．P（B）＞P（B|A）
B．
C．P（5.35＜ξ＜5.55）≈0.84
D．P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为54
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】A选项，由条件概率的定义进行判断；
B选项，在A选项基础上，推出P（AB）＞P（A）P（B），结合，得到，简单变形即可得到B正确；
C选项，利用正态分布的对称性和3σ原则得到答案；
D选项，m B（M，0.84），，令，作商法得到其单调性，求出f（53）＞f（52），f（53）＞f（54），得到答案．
【解答】解：根据题意，A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．
芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），
对于A选项，由条件概率的定义可知，P（B|A）＞P（B），A错误；
对于B选项，因为P（B|A）＞P（B），所以P（A）P（B|A）＞P（A）P（B），
其中，故P（AB）＞P（A）P（B），
又，
于是，
即，
即，而P（B）∈（0，1），
所以，即，故，B正确；
对于D选项，m B（M，0.84），，
设，
令，
解得，故f（53）＞f（52），
令，
解得，即f（53）＞f（54），
所以P（m＝45）取得最大值时，M的估计值为53，D错误；
对于C选项，指标ξ服从正态分布N（5.40，0.052），故μ＝5.40，σ＝0.05，
则μ﹣σ＝5.35，μ+3σ＝5.55，
因为P（μ﹣σ＜ξ≤μ﹣σ）≈0.6826，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9974，
所以，C正确．
故选：BC．
【点评】本题考查正态分布曲线性质以及对立事件，条件概率相关知识，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 洛阳期末）设随机变量X～N（3，m），且P（2≤X＜5）＝0.6，则下列结论正确的有（ ）
A．P（1≤X＜2）＜0.2 B．P（2≤X＜4）＜0.4
C．P（3≤X＜5）＜0.4 D．P（X≥5）＞0.25
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：不妨记P（2≤X＜3）＝t，则P（3≤X＜4）＝t，P（4≤X＜5）＝0.6﹣2t，
由P（3≤X＜4）＞P（4≤X＜5）可知t＞0.2，
对于A，P（1≤X＜2）＝P（4≤X＜5）＝0.6﹣2t＜0.2，故A正确；
对于B，P（2≤X＜4）＝P（2≤X＜3）+P（3≤X＜4）＝2t＞0.4，故B错误；
对于C，P（3≤X＜5）＝P（3≤X＜4）+P（4≤X＜5）＝0.6﹣t＜0.4，故C正确；
对于D，0.2＜0.25，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 吉安期末）已知X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b）（a，b均为正数），则（ ）
A．0＜ab≤1 B．
C．|a﹣1|＞|b﹣1| D．a2+b2﹣ab≥1
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：∵随机变量X～N（1，9），且P（X≤a）＝P（X≥b），由正态曲线的对称性，可得 a+b＝2，
对于选项A，∵a＞0，b＞0可得，可得，∴0＜ab≤1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；
对于选项B，由，
∵0＜ab≤1，
∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B错误；
对于选项C，令a，b，则|a﹣1|＝|b﹣1|，故C错误；
对于D，0＜ab≤1，且a+b＝2，
则a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣2ab﹣ab＝4﹣3ab≥1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及基本不等式的公式，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 丽水期末）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，则P（1＜X≤1.5）＝ 0.38 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.38．
【分析】根据正态分布的特点即可得到答案．
【解答】解：因为随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X＞1.5）＝0.12，
所以P（1＜X≤1.5）＝0.5﹣P（X＞1.5）＝0.5﹣0.12＝0.38．
故答案为：0.38．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
11．（2024秋 日照期末）假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量X服从正态分布N（500，σ2），对于X≥502的食盐即为不合格，不合格食盐出现的概率为0.05，现从这批食盐中随机抽取100包，用Y表示这100包中质量X位于区间（498，502）的包数，则随机变量Y的方差是 9 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】9．
【分析】由正态分布曲线的对称性可得Y～B（100，0.9），再利用二项分布的方差公式求解．
【解答】解：由题意可知，X～N（500，σ2），P（X≥502）＝0.05，
所以P（498＜X＜502）＝1﹣2P（X≥502）＝1﹣2×0.05＝0.9，
所以Y～B（100，0.9），
所以DY＝100×0.9×（1﹣0.9）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
12．（2025 武汉模拟）已知某种零件的尺寸（单位：mm）在[5.12，5.28]内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸X服从正态分析N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为 840 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】840．
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵X～N（5.2，σ2），且P（X＞5.28）＝0.08，
∴P（5.12≤X≤5.28）＝1﹣2P（X＞5.28）＝1﹣2×0.08＝0.84，
∴估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为1000×0.84＝840．
故答案为：840．
【点评】本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024 江西模拟）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．
（1）计算样本平均数和样本方差s2；
（2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据：）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1），s2＝12
（2）分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．
【分析】（1）由平均数，方差的计算公式计算可得；
（2）结合问题中给出的概率和正态分布的性质，确定各等级的分数线即可．
【解答】解：（1），
；
（2）该市所有参赛者的成绩X近似服从正态分布N（84，12），
设竞赛成绩达到a以上为特等奖，成绩达到b以上但小于或等于a为一等奖，成绩达到c以上但小于或等于b为二等奖，成绩小于或等于c为参与奖，
则P（X＞a）＝2.28%，P（b＜X≤a）＝13.59%，P（c＜X≤b）＝68.26%，P（X≤c）＝15.87%．
因为，
所以a≈μ+2σ≈90.92，
因为，
所以b≈μ+σ≈87.46，
因为P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，所以c≈μ﹣σ≈80.54，
综上，分数小于或等于80.54的为参与奖，分数大于80.54且小于或等于87.46的为二等奖，分数大于87.46且小于或等于90.92的为一等奖，分数大于90.92的为特等奖．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的定义，考查了正态分布曲线的对称性，属于中档题．
14．（2024 四川模拟）新高考改革后部分省份采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理、历史里选一门，“2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲、乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（245，552）．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）60；
（2）①3274人；②不可信．
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得P（190≤X≤355），再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得P（X＞μ+3σ），估计成绩高于410分的人数，即可判断．
【解答】解：（1）甲、乙两名学生必选语文、数学、外语．
若另一门相同的为物理、历史中的一门，有种，
在生物、化学、思想政治、地理4门中，甲、乙选择不同的2门，
则有种，共2×6＝12种；
若另一门相同的为生物、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种．
所以甲、乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为12+48＝60．
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X N（245，552）．
由题知μ＝245，σ＝55，μ+2σ＝245+110＝355，μ﹣σ＝245﹣55＝190，
则，
所以4000×0.8186＝3274.4≈3274．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
μ+3σ＝245+3×55＝410＜425，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有4000×0.00135＝5.4人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于中档题．
15．（2025 仁寿县校级模拟）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．
（1）若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
（2）设随机变量ξ服从二分布B（n，p），记，则当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0，1）．若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，求该同学至少要投多少次．
附：若η N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜1.645）＝0.95．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率．
【专题】转化思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）；
（2）至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%．
【分析】（1）直接利用条件概率计算公式求解；
（2）根据题意得P（0.40.6）≥0.9，然后转化为正态分布的概率求解．
【解答】解：（1）记该同学投篮4次，投中2次为事件A，第二次没投中为事件B，
则P（A），
P（AB），
∴在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率为P（B|A）；
（2）设至少投n次，其中投中的次数ξ B（n，0.5），
若保证投中的频率在区间[0.4，0.6）的概率不低于90%，即P（0.40.6）≥0.9，
即P（0.4n＜ξ＜0.6n）≥0.9，
由已知条件可知P（）≥0.9，
又∵P（η＜1.645）＝0.95，0.21.645，解得n≥67.6，
∴至少要投68次才能保证投中的频率在0.4到0.6之间的概率不低于90%．
【点评】本题考查条件概率及其计算公式，考查正态分布曲线的特点及其几何意义，考查运算求解能力，是中档题．
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