【期末热点.重难点】离散型随机变量的数字特征（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册
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| 名称 | 【期末热点.重难点】离散型随机变量的数字特征（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 152.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 08:36:03 | ||
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文档简介
期末热点.重难点 离散型随机变量的数字特征
一．选择题（共5小题）
1．（2025 九江一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则EX＝（ ）
A． B．4 C． D．2
2．（2025 陕西校级一模）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A、B、C、D、E共五个等级（见下表）．第二步，将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分．
等级 A B C D E
比例 赋分区间 15% 100﹣86 35% 85﹣71 35% 13% 2% 70﹣56 55﹣41 40﹣30
赋分公式：，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩．
某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85 B．88 C．91 D．95
3．（2025 温州模拟）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E（X）＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024秋 南阳期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为X，则D（X）＝（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2024秋 河南期末）随机变量X的分布列如下，且，则（ ）
X 0 1 2
P 0.2 p1 p2
A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 湖北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，则数据x1，x1，…，x2025，a的平均数为a
B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，则a＝2
C．若随机变量ξ～B（9，），则E（ξ）
D．若随机变量ξ～B（9，），设η＝3ξ+1，则D（η）
（多选）7．（2025 濮阳一模）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1
B．若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84，则P（3＜ξ＜6）＝0.34
C．若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
（多选）8．（2024秋 滨州期末）已知袋子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取3次，则下列结论中正确的是（ ）
A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B．若每次取出的球不放回，则第2次取到红球的概率为
C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第3次取到红球的概率为
D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为2
（多选）9．（2024秋 赣州期末）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列选项正确的是（ ）
X 2 4 6 8 10
P 2a 0.25 0.1 0.25 a+0.1
A．a＝0.1 B．EX＝6
C．E（2X+1）＝12 D．D（2X+1）＝33.6
三．填空题（共3小题）
10．（2025 新疆模拟）已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P m 3m
则D（4X）＝ ．
11．（2024秋 青山湖区校级期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X+1）＝ ．
12．（2024秋 黄岛区期末）从编号1，2，…，n（n≥3，n∈N*）的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．
（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ；
（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 张家口模拟）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：
时间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.20 0.05
将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取结果是相互独立的．求X的分布列、期望E（X）和方差V（X）．
附：．
P（χ2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
14．（2024秋 北京校级期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个数，设甲掷出的点数为x，乙掷出的点数为y，求：
（1）求x为奇数的概率；
（2）求x+y＝7的概率；
（3）若甲乙两人各掷出骰子5次，x的值依次为：6，1，3，2，4；y的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程）．
15．（2025 江西模拟）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，升与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率．
期末热点.重难点 离散型随机变量的数字特征
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 九江一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则EX＝（ ）
A． B．4 C． D．2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，求出每名教师抽到问题A的概率，根据二项分布的期望公式求解即可．
【解答】解：易知每名教师抽到问题A的概率P，
此时X～B（6，），
则EX＝62．
故选：D．
【点评】本题考查二项分布，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
2．（2025 陕西校级一模）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A、B、C、D、E共五个等级（见下表）．第二步，将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分．
等级 A B C D E
比例 赋分区间 15% 100﹣86 35% 85﹣71 35% 13% 2% 70﹣56 55﹣41 40﹣30
赋分公式：，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩．
某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85 B．88 C．91 D．95
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据赋分公式有，即可求化学赋分分数．
【解答】解：由题意，该学生的化学赋分分数为X，
则，
所以35X＝13×100+86×22，解得X＝91分．
故选：C．
【点评】本题主要考查统计的新定义，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2025 温州模拟）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E（X）＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】D
【分析】先确定X的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望．
【解答】解：玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，
∴，
玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出：
（1，2），（2，1），（4，1），（5，2），（6，3），共5种情况，
∴，
玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出：
（1，1，1），（1，3，1），（1，4，2），（1，5，3），（1，6，4），
（2，2，1），（2，3，2），（2，4，3），（2，5，4），（2，6，5），
（4，2，1），（4，3，2），（4，4，3），（4，5，4），（4，6，5），
（5，1，1），（5，3，1），（5，4，2），（5，5，3），（5，6，4），
（6，1，2），（6，2，1），（6，4，1），（6，5，2），（6，6，3），共25种情况，
∴，
设玩家投掷n次即可到达终点，那么第n次掷得的点数可以为1，2，3，4，5，
分别记作（ ，1），（ ，2），（ ，3），（ ，4），（ ，5），
则玩家投掷n+1次的基本事件是投掷n次的6倍，能到达终点的掷法：
之前的（ ，1）对应（ ，2，1），（ ，3，2），（ ，4，3），（ ，5，4），（ ，6，5）；
（ ，2）对应（ ，1，1），（ ，3，1），（ ，4，2），（ ，5，3），（ ，6，4）；
（ ，3）对应（ ，1，2），（ ，2，1），（ ，4，1），（ ，5，2），（ ，6，3）；
（ ，4）对应（ ，1，3），（ ，2，2），（ ，3，1），（ ，5，1），（ ，6，2）；
（ ，5）对应（ ，1，4），（ ，2，3），（ ，3，2），（ ，4，1），（ ，6，1），
∴玩家投掷n+1次即可到达终点的掷法是投掷n次即可到达终点的5倍．
∴P（X＝n）是以为首项，以为公比的等比数列．
∴P（X＝n），
∴，
∴，①
两边同乘以，得5E（X）3×（）3+…，②
①﹣②，得该玩家到达终点时投掷骰子的次数X的数学期望为：
．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、等比数列、错位相减法及无穷数列的和等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（2024秋 南阳期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为X，则D（X）＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，得到X的所有可能取值和相对应的概率，代入公式求解即可．
【解答】解：易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
此时P（X＝0），P（X＝1），
P（X＝2），P（X＝3），
所以E（X）＝0123，
则D（X）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
5．（2024秋 河南期末）随机变量X的分布列如下，且，则（ ）
X 0 1 2
P 0.2 p1 p2
A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质和期望可求p1，p2，从而可求方差．
【解答】解：根据题意可得解得
所以0.16．
故选：C．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的方差，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 湖北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，则数据x1，x1，…，x2025，a的平均数为a
B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，则a＝2
C．若随机变量ξ～B（9，），则E（ξ）
D．若随机变量ξ～B（9，），设η＝3ξ+1，则D（η）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】由题意，结合平均数的定义即可判断选项A；利用正态分布的对称性即可判断选项B；根据二项分布的期望和方差公式即可判断选项C，D．
【解答】解：对于选项A：若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，
所以数据x1，x2，…，x2025，a的平均数为a，故选项A正确；
对于选项B：若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，
此时a＝μ＝2，故选项B正确；
对于选项C：若随机变量ξ～B（9，），
则，故选项C错误；
对于选项D，因为随机变量ξ～B（9，），
所以D（ξ）＝9，
因为η＝3ξ+1，
所以.故选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查二项分布，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
（多选）7．（2025 濮阳一模）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1
B．若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84，则P（3＜ξ＜6）＝0.34
C．若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；独立性检验；命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对A，根据方差的性质判断即可；
对B，根据正态分布的对称性判断即可；
对C，根据回归直线的性质判断即可；
对D，根据独立性检验的性质判断即可．
【解答】解：对A，由方差的性质可知，若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝22D（ξ）＝4D（ξ），故错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得P（3＜ξ＜6）＝P（ξ＜6）﹣0.5＝0.34，故B正确；
对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；
对D，由χ2＝4.712＞3.841可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了方差，正态分布和回归直线与独立性检验的性质，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 滨州期末）已知袋子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取3次，则下列结论中正确的是（ ）
A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B．若每次取出的球不放回，则第2次取到红球的概率为
C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第3次取到红球的概率为
D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；求解条件概率．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项．
【解答】解：对于选项A：若每次取出的球放回，
则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
所以连续摸取3次，恰好两次取出红球的概率为，故选项A正确；
对于选项B：若每次取出的球不放回，
则第2次取到红球的概率为，故选项B错误；
对于选项C：若每次取出的球不放回，
在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，
此时袋子中还有3个红球，1个白球，
则第三次抽到红球的概率为，故选项C错误；
对于选项D：若每次取出的球不放回，
则取出红球的次数X服从超几何分布，
且袋中的红球个数为4个，白球的个数为2个，共6个球，且共摸球3次，
由超几何分布的期望公式可得，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查古典概率模型以及超几何分布，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 赣州期末）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列选项正确的是（ ）
X 2 4 6 8 10
P 2a 0.25 0.1 0.25 a+0.1
A．a＝0.1 B．EX＝6
C．E（2X+1）＝12 D．D（2X+1）＝33.6
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，进而可判断选项A；结合期望和方差公式即可判断选项B，C，D．
【解答】解：因为2a+0.25+0.1+0.25+a+0.1＝1，
解得a＝0.1，故选项A正确；
此时E（X）＝2×0.2+4×0.25+6×0.1+8×0.25+10×0.2＝6，故选项B正确；
而E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×6+1＝13，故选项C错误；
因为D（X）＝（2﹣6）2×0.2+（4﹣6）2×0.25+（6﹣6）2×0.1+（8﹣6）2×0.25+（10﹣6）2×0.2＝8.4，
所以D（2X+1）＝4D（X）＝4×8.4＝33.6，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 新疆模拟）已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P m 3m
则D（4X）＝ 3 ．
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】由分布列的性质求得m，再由两点分布的期望公式求得D（X），再由期望的性质即可求得．
【解答】解：由分布列的性质知，m+3m＝1，解得，
因为X服从两点分布，所以，
所以D（4X）．
故答案为：3．
【点评】本题考查离散型随机变量的方差，属于基础题．
11．（2024秋 青山湖区校级期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X+1）＝ ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】
【分析】根据超几何分布的期望公式，和期望的性质可求出结果．
【解答】解：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）．
所以E（2X+1）＝2E（X）+1．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望及其性质，是中档题．
12．（2024秋 黄岛区期末）从编号1，2，…，n（n≥3，n∈N*）的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．
（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 n ；
（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】n；．
【分析】（1）设抽取小球数为X，得到X的所有可能取值和相对应的概率，结合期望公式和等比数列的求和公式进行求解即可；
（2）记Y表示停止抽取时的抽取次数，设Y1表示第一次出现1，2，3中任意一个数的次数，Y2表示已经出现1，2，3中任意一个数后，再出现剩余两个数中任意一个数的次数，Y3表示已经出现1，2，3中任意两个数后，再出现剩余一个数的次数，求出其相对应的概率和期望，进而可解．
【解答】解：（1）设抽取小球数为X，
易知每次抽到1的概率为，抽不到1的概率为1，
因为X的所有可能取值为1，2，3...，k，
所以P（X＝1），P（X＝2）＝（1），
P（X＝3）＝（1）2，…，P（X＝k）＝（1）k﹣1，
所以E（X）
＝12×（1）...，①
对等式两边同乘（1），
可得（1）E（X）＝1×（1）2×（1）23×（1）3...，②
①﹣②得E（X）（1）（1）2...1，
所以E（X）＝n；
（2）记Y表示停止抽取时的抽取次数，
设Y1表示第一次出现1，2，3中任意一个数的次数，
因为每次抽到1，2，3中任意一个数的概率为，
由（1）知，E（Y1），
设Y2表示已经出现1，2，3中任意一个数后，再出现剩余两个数中任意一个数的次数，
此时每次抽到剩下两个数中任意一个数的概率为，
所以E（Y2），
设Y3表示已经出现1，2，3中任意两个数后，再出现剩余一个数的次数，
此时每次抽到最后一个数的概率为，
所以E（Y3）＝n，
若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望E（Y）＝E（Y1）+E（Y2）+E（Y3）n．
故答案为：n；．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 张家口模拟）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：
时间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.20 0.05
将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取结果是相互独立的．求X的分布列、期望E（X）和方差V（X）．
附：．
P（χ2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）列联表见解析，没有充分理由认为“体育迷”与性别有关；
（2）分布列见解析，，．
【分析】（1）根据已知数据求出体育迷的频率得体育迷人数，然后可依次填写列联表．计算出χ2后可得结论；
（2）X的可能值为0，1，2，3，，分别计算出概率，然后可得期望和方差．
【解答】解：（1）体育迷频率是0.20+0.05＝0.25，人数为100×0.25＝25，
列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
则，
所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）因为抽取一个人为体育的概率为，
易知X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以，，
，，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故，．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 北京校级期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个数，设甲掷出的点数为x，乙掷出的点数为y，求：
（1）求x为奇数的概率；
（2）求x+y＝7的概率；
（3）若甲乙两人各掷出骰子5次，x的值依次为：6，1，3，2，4；y的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程）．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）ACC1A1，方差相等．
【分析】（1）利用古典概率直接求出概率．
（2）利用列举法及古典概率求出概率．
（3）求出平均数与方差，进而比较大小．
【解答】解：（1）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，
骰子向上的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个数，
设甲掷出的点数为x，乙掷出的点数为y，
甲掷出的点数x共有6个不同结果，其中x为奇数的结果有3个，
∴x为奇数的概率为．
（2）甲乙掷出的结果（x，y）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），36个，
其中x+y＝7的事件含有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），6个，
∴x+y＝7的概率为．
（3），，
x值的方差，
y值的方差，
所以x值的方差与y值的方差相等．
【点评】本题考查古典概型、列举法、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2025 江西模拟）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，升与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；
（2）．
【分析】（1）求出X的所有可能取值和相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中求解即可；
（2）若张某得到直升卡，此时共分为前4道都答对和第1道答错，后面答对这两种情况，代入求解即可．
【解答】解：（1）因为X为张某初赛结束时已答题的个数，
易知X的所有可能取值为2，3，4，5．
所以，
，
，
，
则X的分布列如下：
X 2 3 4 5
P
所以；
（2）因为张某答对这5道题的概率依次为，
所以前4道都答对的概率，
第1道答错，后面答对的概率，
则张某得到直升卡的概率P＝P1+P2．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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一．选择题（共5小题）
1．（2025 九江一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则EX＝（ ）
A． B．4 C． D．2
2．（2025 陕西校级一模）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A、B、C、D、E共五个等级（见下表）．第二步，将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分．
等级 A B C D E
比例 赋分区间 15% 100﹣86 35% 85﹣71 35% 13% 2% 70﹣56 55﹣41 40﹣30
赋分公式：，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩．
某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85 B．88 C．91 D．95
3．（2025 温州模拟）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E（X）＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024秋 南阳期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为X，则D（X）＝（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2024秋 河南期末）随机变量X的分布列如下，且，则（ ）
X 0 1 2
P 0.2 p1 p2
A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 湖北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，则数据x1，x1，…，x2025，a的平均数为a
B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，则a＝2
C．若随机变量ξ～B（9，），则E（ξ）
D．若随机变量ξ～B（9，），设η＝3ξ+1，则D（η）
（多选）7．（2025 濮阳一模）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1
B．若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84，则P（3＜ξ＜6）＝0.34
C．若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
（多选）8．（2024秋 滨州期末）已知袋子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取3次，则下列结论中正确的是（ ）
A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B．若每次取出的球不放回，则第2次取到红球的概率为
C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第3次取到红球的概率为
D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为2
（多选）9．（2024秋 赣州期末）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列选项正确的是（ ）
X 2 4 6 8 10
P 2a 0.25 0.1 0.25 a+0.1
A．a＝0.1 B．EX＝6
C．E（2X+1）＝12 D．D（2X+1）＝33.6
三．填空题（共3小题）
10．（2025 新疆模拟）已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P m 3m
则D（4X）＝ ．
11．（2024秋 青山湖区校级期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X+1）＝ ．
12．（2024秋 黄岛区期末）从编号1，2，…，n（n≥3，n∈N*）的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．
（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ；
（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 张家口模拟）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：
时间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.20 0.05
将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取结果是相互独立的．求X的分布列、期望E（X）和方差V（X）．
附：．
P（χ2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
14．（2024秋 北京校级期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个数，设甲掷出的点数为x，乙掷出的点数为y，求：
（1）求x为奇数的概率；
（2）求x+y＝7的概率；
（3）若甲乙两人各掷出骰子5次，x的值依次为：6，1，3，2，4；y的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程）．
15．（2025 江西模拟）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，升与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率．
期末热点.重难点 离散型随机变量的数字特征
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 九江一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则EX＝（ ）
A． B．4 C． D．2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，求出每名教师抽到问题A的概率，根据二项分布的期望公式求解即可．
【解答】解：易知每名教师抽到问题A的概率P，
此时X～B（6，），
则EX＝62．
故选：D．
【点评】本题考查二项分布，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
2．（2025 陕西校级一模）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A、B、C、D、E共五个等级（见下表）．第二步，将A至E五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分．
等级 A B C D E
比例 赋分区间 15% 100﹣86 35% 85﹣71 35% 13% 2% 70﹣56 55﹣41 40﹣30
赋分公式：，计算出来的X经过四舍五入后即为赋分成绩．
某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分．学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（ ）
A．85 B．88 C．91 D．95
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据赋分公式有，即可求化学赋分分数．
【解答】解：由题意，该学生的化学赋分分数为X，
则，
所以35X＝13×100+86×22，解得X＝91分．
故选：C．
【点评】本题主要考查统计的新定义，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2025 温州模拟）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则E（X）＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】D
【分析】先确定X的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望．
【解答】解：玩家投掷1次即可到达终点的方法是掷出3点，
∴，
玩家投掷2次即可到达终点的方法是掷出：
（1，2），（2，1），（4，1），（5，2），（6，3），共5种情况，
∴，
玩家投掷3次即可到达终点的方法是掷出：
（1，1，1），（1，3，1），（1，4，2），（1，5，3），（1，6，4），
（2，2，1），（2，3，2），（2，4，3），（2，5，4），（2，6，5），
（4，2，1），（4，3，2），（4，4，3），（4，5，4），（4，6，5），
（5，1，1），（5，3，1），（5，4，2），（5，5，3），（5，6，4），
（6，1，2），（6，2，1），（6，4，1），（6，5，2），（6，6，3），共25种情况，
∴，
设玩家投掷n次即可到达终点，那么第n次掷得的点数可以为1，2，3，4，5，
分别记作（ ，1），（ ，2），（ ，3），（ ，4），（ ，5），
则玩家投掷n+1次的基本事件是投掷n次的6倍，能到达终点的掷法：
之前的（ ，1）对应（ ，2，1），（ ，3，2），（ ，4，3），（ ，5，4），（ ，6，5）；
（ ，2）对应（ ，1，1），（ ，3，1），（ ，4，2），（ ，5，3），（ ，6，4）；
（ ，3）对应（ ，1，2），（ ，2，1），（ ，4，1），（ ，5，2），（ ，6，3）；
（ ，4）对应（ ，1，3），（ ，2，2），（ ，3，1），（ ，5，1），（ ，6，2）；
（ ，5）对应（ ，1，4），（ ，2，3），（ ，3，2），（ ，4，1），（ ，6，1），
∴玩家投掷n+1次即可到达终点的掷法是投掷n次即可到达终点的5倍．
∴P（X＝n）是以为首项，以为公比的等比数列．
∴P（X＝n），
∴，
∴，①
两边同乘以，得5E（X）3×（）3+…，②
①﹣②，得该玩家到达终点时投掷骰子的次数X的数学期望为：
．
故选：D．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、等比数列、错位相减法及无穷数列的和等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（2024秋 南阳期末）盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为X，则D（X）＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，得到X的所有可能取值和相对应的概率，代入公式求解即可．
【解答】解：易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
此时P（X＝0），P（X＝1），
P（X＝2），P（X＝3），
所以E（X）＝0123，
则D（X）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
5．（2024秋 河南期末）随机变量X的分布列如下，且，则（ ）
X 0 1 2
P 0.2 p1 p2
A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质和期望可求p1，p2，从而可求方差．
【解答】解：根据题意可得解得
所以0.16．
故选：C．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的方差，考查运算求解能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2025 湖北模拟）下列说法正确的有（ ）
A．若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，则数据x1，x1，…，x2025，a的平均数为a
B．若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，则a＝2
C．若随机变量ξ～B（9，），则E（ξ）
D．若随机变量ξ～B（9，），设η＝3ξ+1，则D（η）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】AB
【分析】由题意，结合平均数的定义即可判断选项A；利用正态分布的对称性即可判断选项B；根据二项分布的期望和方差公式即可判断选项C，D．
【解答】解：对于选项A：若样本数据x1，x2，…，x2025的平均数为a，
所以数据x1，x2，…，x2025，a的平均数为a，故选项A正确；
对于选项B：若随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜a）＝0.5，
此时a＝μ＝2，故选项B正确；
对于选项C：若随机变量ξ～B（9，），
则，故选项C错误；
对于选项D，因为随机变量ξ～B（9，），
所以D（ξ）＝9，
因为η＝3ξ+1，
所以.故选项D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查二项分布，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
（多选）7．（2025 濮阳一模）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1
B．若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＜6）＝0.84，则P（3＜ξ＜6）＝0.34
C．若样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712．依据α＝0.05的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；独立性检验；命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对A，根据方差的性质判断即可；
对B，根据正态分布的对称性判断即可；
对C，根据回归直线的性质判断即可；
对D，根据独立性检验的性质判断即可．
【解答】解：对A，由方差的性质可知，若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝22D（ξ）＝4D（ξ），故错误；
对B，根据正态分布的图象对称性可得P（3＜ξ＜6）＝P（ξ＜6）﹣0.5＝0.34，故B正确；
对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；
对D，由χ2＝4.712＞3.841可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了方差，正态分布和回归直线与独立性检验的性质，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 滨州期末）已知袋子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取3次，则下列结论中正确的是（ ）
A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为
B．若每次取出的球不放回，则第2次取到红球的概率为
C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第3次取到红球的概率为
D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为2
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；求解条件概率．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项．
【解答】解：对于选项A：若每次取出的球放回，
则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，
所以连续摸取3次，恰好两次取出红球的概率为，故选项A正确；
对于选项B：若每次取出的球不放回，
则第2次取到红球的概率为，故选项B错误；
对于选项C：若每次取出的球不放回，
在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，
此时袋子中还有3个红球，1个白球，
则第三次抽到红球的概率为，故选项C错误；
对于选项D：若每次取出的球不放回，
则取出红球的次数X服从超几何分布，
且袋中的红球个数为4个，白球的个数为2个，共6个球，且共摸球3次，
由超几何分布的期望公式可得，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查古典概率模型以及超几何分布，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 赣州期末）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列选项正确的是（ ）
X 2 4 6 8 10
P 2a 0.25 0.1 0.25 a+0.1
A．a＝0.1 B．EX＝6
C．E（2X+1）＝12 D．D（2X+1）＝33.6
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，进而可判断选项A；结合期望和方差公式即可判断选项B，C，D．
【解答】解：因为2a+0.25+0.1+0.25+a+0.1＝1，
解得a＝0.1，故选项A正确；
此时E（X）＝2×0.2+4×0.25+6×0.1+8×0.25+10×0.2＝6，故选项B正确；
而E（2X+1）＝2E（X）+1＝2×6+1＝13，故选项C错误；
因为D（X）＝（2﹣6）2×0.2+（4﹣6）2×0.25+（6﹣6）2×0.1+（8﹣6）2×0.25+（10﹣6）2×0.2＝8.4，
所以D（2X+1）＝4D（X）＝4×8.4＝33.6，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 新疆模拟）已知随机变量X的分布列为
X 0 1
P m 3m
则D（4X）＝ 3 ．
【考点】离散型随机变量的方差与标准差．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】由分布列的性质求得m，再由两点分布的期望公式求得D（X），再由期望的性质即可求得．
【解答】解：由分布列的性质知，m+3m＝1，解得，
因为X服从两点分布，所以，
所以D（4X）．
故答案为：3．
【点评】本题考查离散型随机变量的方差，属于基础题．
11．（2024秋 青山湖区校级期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X+1）＝ ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】
【分析】根据超几何分布的期望公式，和期望的性质可求出结果．
【解答】解：由题意可得：X服从超几何分布，E（X）．
所以E（2X+1）＝2E（X）+1．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望及其性质，是中档题．
12．（2024秋 黄岛区期末）从编号1，2，…，n（n≥3，n∈N*）的相同小球中有放回的等概率抽取，并记录下每次的编号．
（1）若出现1就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 n ；
（2）若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望为 ．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】n；．
【分析】（1）设抽取小球数为X，得到X的所有可能取值和相对应的概率，结合期望公式和等比数列的求和公式进行求解即可；
（2）记Y表示停止抽取时的抽取次数，设Y1表示第一次出现1，2，3中任意一个数的次数，Y2表示已经出现1，2，3中任意一个数后，再出现剩余两个数中任意一个数的次数，Y3表示已经出现1，2，3中任意两个数后，再出现剩余一个数的次数，求出其相对应的概率和期望，进而可解．
【解答】解：（1）设抽取小球数为X，
易知每次抽到1的概率为，抽不到1的概率为1，
因为X的所有可能取值为1，2，3...，k，
所以P（X＝1），P（X＝2）＝（1），
P（X＝3）＝（1）2，…，P（X＝k）＝（1）k﹣1，
所以E（X）
＝12×（1）...，①
对等式两边同乘（1），
可得（1）E（X）＝1×（1）2×（1）23×（1）3...，②
①﹣②得E（X）（1）（1）2...1，
所以E（X）＝n；
（2）记Y表示停止抽取时的抽取次数，
设Y1表示第一次出现1，2，3中任意一个数的次数，
因为每次抽到1，2，3中任意一个数的概率为，
由（1）知，E（Y1），
设Y2表示已经出现1，2，3中任意一个数后，再出现剩余两个数中任意一个数的次数，
此时每次抽到剩下两个数中任意一个数的概率为，
所以E（Y2），
设Y3表示已经出现1，2，3中任意两个数后，再出现剩余一个数的次数，
此时每次抽到最后一个数的概率为，
所以E（Y3）＝n，
若1，2，3均出现就停止抽取，则抽取小球数的数学期望E（Y）＝E（Y1）+E（Y2）+E（Y3）n．
故答案为：n；．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 张家口模拟）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，根据结果绘制的观众日收看该体育节目时间频率分布表：
时间 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.20 0.05
将日收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，若按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计
男
女 10 55
合计
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从该地区大量电视观众中，采取随机抽样的方法每次抽取一名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X．若每次抽取结果是相互独立的．求X的分布列、期望E（X）和方差V（X）．
附：．
P（χ2≥k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；独立性检验．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）列联表见解析，没有充分理由认为“体育迷”与性别有关；
（2）分布列见解析，，．
【分析】（1）根据已知数据求出体育迷的频率得体育迷人数，然后可依次填写列联表．计算出χ2后可得结论；
（2）X的可能值为0，1，2，3，，分别计算出概率，然后可得期望和方差．
【解答】解：（1）体育迷频率是0.20+0.05＝0.25，人数为100×0.25＝25，
列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
则，
所以没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）因为抽取一个人为体育的概率为，
易知X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以，，
，，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故，．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
14．（2024秋 北京校级期末）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个数，设甲掷出的点数为x，乙掷出的点数为y，求：
（1）求x为奇数的概率；
（2）求x+y＝7的概率；
（3）若甲乙两人各掷出骰子5次，x的值依次为：6，1，3，2，4；y的值依次为：1，3，4，6，5；试比较两组数据的均值和方差的大小（直接写出结论，不必写过程）．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）ACC1A1，方差相等．
【分析】（1）利用古典概率直接求出概率．
（2）利用列举法及古典概率求出概率．
（3）求出平均数与方差，进而比较大小．
【解答】解：（1）甲乙两人独立的掷一枚质地均匀的骰子，
骰子向上的点数可能是1，2，3，4，5，6中的某一个数，
设甲掷出的点数为x，乙掷出的点数为y，
甲掷出的点数x共有6个不同结果，其中x为奇数的结果有3个，
∴x为奇数的概率为．
（2）甲乙掷出的结果（x，y）有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），36个，
其中x+y＝7的事件含有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），6个，
∴x+y＝7的概率为．
（3），，
x值的方差，
y值的方差，
所以x值的方差与y值的方差相等．
【点评】本题考查古典概型、列举法、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2025 江西模拟）2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，升与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，且各题是否答对互不影响．
（1）记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）若连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】综合题；对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；
（2）．
【分析】（1）求出X的所有可能取值和相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中求解即可；
（2）若张某得到直升卡，此时共分为前4道都答对和第1道答错，后面答对这两种情况，代入求解即可．
【解答】解：（1）因为X为张某初赛结束时已答题的个数，
易知X的所有可能取值为2，3，4，5．
所以，
，
，
，
则X的分布列如下：
X 2 3 4 5
P
所以；
（2）因为张某答对这5道题的概率依次为，
所以前4道都答对的概率，
第1道答错，后面答对的概率，
则张某得到直升卡的概率P＝P1+P2．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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