【期末热点.重难点】离散型随机变量及其分布列（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册

期末热点.重难点 离散型随机变量及其分布列
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南昌校级期末）已知X服从两点分布，若P（X＝0）＝5P（X＝1），则P（X＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 河南期末）已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3．（2024秋 辽阳期末）下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P（ξ≥2）＝（　　）
ξ 1 2 3 4
P
A． B． C． D．
4．（2024春 碑林区校级期中）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（　　）
A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.7
5．（2024春 梁溪区校级期中）已知随机变量ξ的分布列如下所示，若Eξ＝2，则Dξ的值可能是（　　）
ξ 1 2 3
P a b c
A． B． C．2 D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024 苏州模拟）随机变量X的分布列如下表，随机变量．设Z＝XY，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是（　　）
X a 1
P p 1﹣p
A． B． C．a＝0 D．
（多选）7．（2024春 仁寿县校级期末）设随机变量的分布列为，则（　　）
A．10a＝1 B．P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5
C． D．P（ξ＝1）＝0.3
（多选）8．（2024春 城关区校级期末）已知离散型随机变量X的分布列如下所示，则下列说法正确的是（　　）
X ﹣2 1 3
P 2a 0.25 a
A．a＝0.25 B．E（X）＝1
C．D（X）＝4.5 D．P（0.5＜X＜3.5）＝0.5
（多选）9．（2024春 石家庄期末）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．以下说法正确的是（　　）
A．在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量X，则
B．记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量Y，则
C．甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为
D．记事件 n＝“第n轮甲轮空”，则
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 武汉期末）已知随机变量X，Y均服从0﹣1分布，若，且P（XY＝0）＝1，则P（X＝Y）＝ 　 　．
11．（2023秋 德州期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1），则随机变量Y＝3X﹣1的期望为 　 　．
12．（2023秋 河南月考）设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ai（i＝1，2， ，8），则常数a＝　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 洛阳期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标．一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止．已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击X次．
（1）求P（X＝1）和P（X＝2）的值；
（2）求X的所有可能取值；
（3）求X的分布列．
14．（2024秋 南昌校级期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
（1）求甲至少有1次未击中目标的概率；
（2）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布列；
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
15．（2024秋 日照期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生．
（1）求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率；
（2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E[（X﹣EX）（Y﹣EY）]．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关．在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为X，不在本地区参加志愿服务的学生人数为Y．
（i）求随机变量X的分布列．
（ii）求Cov（X，Y），并说明X，Y之间的线性相关关系．
期末热点.重难点 离散型随机变量及其分布列
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南昌校级期末）已知X服从两点分布，若P（X＝0）＝5P（X＝1），则P（X＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据两点分布的特征计算即可．
【解答】解：由题意得P（X＝0）+P（X＝1）＝6P（X＝1）＝1，则．
故选：A．
【点评】本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．
2．（2024秋 河南期末）已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.6，则其成功概率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据两点分布的期望即可求解．
【解答】解：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，
∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．
故选：D．
【点评】本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．
3．（2024秋 辽阳期末）下表是离散型随机变量ξ的概率分布，则P（ξ≥2）＝（　　）
ξ 1 2 3 4
P
A． B． C． D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质可得a＝2，根据对立事件运算求解．
【解答】解：由离散型随机变量ξ的概率分布得：
，且，0，
解得a＝2，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2024春 碑林区校级期中）设随机变量X服从两点分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，则D（X）＝（　　）
A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.7
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】利用两点分布P（X＝1）+P（X＝0）＝1，结合已知条件求出P（X＝1），P（X＝0），再根据方差公式求解即可．
【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1，
又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，所以解得P（X＝1）＝0.7，P（X＝0）＝0.3，
所以E（X）＝1×0.7+0×0.3＝0.7，D（X）＝（0﹣0.7）2×0.3+（1﹣0.7）2×0.7＝0.21．
故选：A．
【点评】本题主要考查期望、方差的求解，属于基础题．
5．（2024春 梁溪区校级期中）已知随机变量ξ的分布列如下所示，若Eξ＝2，则Dξ的值可能是（　　）
ξ 1 2 3
P a b c
A． B． C．2 D．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；转化思想；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质结合Eξ＝2，得到a，b，c的关系，以及c的范围，将a，b用c表示，则Dξ﹣＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣4＝18c﹣8≤1，
【解答】解：依题意，a+b+c＝1，随机变量ξ的期望E（ξ）＝a+2b+3c＝2，
所以b+2c＝1，b＝1﹣2c，a＝c．（0），
而E（ξ2）＝a+4b+9c，
所以Dξ﹣＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣4＝2c≤1，
故选：D．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差，考查了不等式的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024 苏州模拟）随机变量X的分布列如下表，随机变量．设Z＝XY，，且X与Y互相独立，则下列说法正确的是（　　）
X a 1
P p 1﹣p
A． B． C．a＝0 D．
【考点】离散型随机变量及其分布列；n重伯努利试验与二项分布．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；数据分析．
【答案】BC
【分析】先利用判断a是否等于0，再求p的值；根据X与Y互相独立，把E（Z）转化为E（X）和E（Y）求解．
【解答】解：∵随机变量，∴P（Y＝0）＝（）3，
若a≠0，则P（Z＝0）＝P（XY＝0）＝P（Y＝0），
又已知，故a＝0，C选项正确；
且X与Y互相独立，
则P（Z＝0）＝P（XY＝0）＝P（X＝0）+P（Y＝0）﹣P（X＝0，Y＝0）＝p，
解得p，B选项正确，A选项错误；
又E（X）＝01，E（Y）＝32，
E（Z）＝E（XY）＝E（X）E（Y），D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题考查0﹣1分布与二项分布，属于中档题．
（多选）7．（2024春 仁寿县校级期末）设随机变量的分布列为，则（　　）
A．10a＝1 B．P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5
C． D．P（ξ＝1）＝0.3
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，求出a，即可依次判断．
【解答】解：随机变量的分布列为，
则a+2a+3a+4a＝1，即10a＝1，故A正确；
由A可知，a，
P（0.3＜ξ＜0.82）＝P（ξ）+P（ξ）＝5a＝0.5，故B正确；
P（ξ），P（ξ），P（ξ），P（ξ＝1），故D错误，
故E（ξ），故C正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，是基础题．
（多选）8．（2024春 城关区校级期末）已知离散型随机变量X的分布列如下所示，则下列说法正确的是（　　）
X ﹣2 1 3
P 2a 0.25 a
A．a＝0.25 B．E（X）＝1
C．D（X）＝4.5 D．P（0.5＜X＜3.5）＝0.5
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望、方差的公式，即可求解．
【解答】解：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a+0.25+a＝1，解得a＝0.25，故A正确；
故X的分布列为：
X ﹣2 1 3
P 0.5 0.25 0.25
故E（X）＝（﹣2）×0.5+1×0.25+3×0.25＝0，故B错误；
D（X）＝0.5×（﹣2﹣0）2+0.25×（1﹣0）2+0.25×（3﹣0）2＝4.5，故C正确；
P（0.5＜X＜3.5）＝P（X＝1）+P（X＝3）＝0.5，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望、方差的公式，属于基础题．
（多选）9．（2024春 石家庄期末）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．以下说法正确的是（　　）
A．在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量X，则
B．记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量Y，则
C．甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为
D．记事件 n＝“第n轮甲轮空”，则
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】对于A，运用互斥事件的概率公式和独立事件的概率乘法公式计算可得；对于B，运用独立事件的概率乘法公式计算可得；对于C，运用条件概率公式计算；对于D，运用全概率公式化简得到递推式，构造等比数列即可求出概率表达式．
【解答】解：对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件：
①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜，或者在第二和第三局胜，
故P（X＝2）＝（）2+2×（）3，故A正确；
对于B，由题意可得P（Y＝3）＝（）3，故B错误；
对于C，设Ai＝“甲在第i轮获胜”，由题意可得，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均获胜；
或者第一轮输，第三轮胜两类情况．
则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为P（A2|A3|，故C正确；
对于D，因为 n＝（Cn﹣1 n）∪（ n），而Cn﹣1 n与 n互斥，
由全概率公式，可得P（ n）＝P（Cn﹣1 n）+P（ n），
＝P（Cn﹣1）P（ n|Cn﹣1）+P（）P（ n|）（1﹣P（Cn﹣1）），
故P（ n）[p（Cn﹣1）]，又P（C1）＝0，
则{P（ n）}组成一个首项为，公比为的等比数列，
可得P（ n）（）n﹣1，
即P（ n）（）n﹣1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查互斥事件的概率公式和独立事件的概率乘法公式、全概率公式和等比数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 武汉期末）已知随机变量X，Y均服从0﹣1分布，若，且P（XY＝0）＝1，则P（X＝Y）＝ 　　．
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可．
【解答】解：根据题意，因为随机变量X，Y均服从0﹣1分布，且，
所以P（X＝1）＝P（X＝1，Y＝0）+P（X＝1，Y＝1）①，
P（Y＝1）＝P（X＝1，Y＝1）+P（X＝0，Y＝1）②，
又由P（XY＝0）＝1，即P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝0）＝1，
则有P（X＝1，Y＝1）＝1﹣P（XY＝0）＝0③，
将③代入①可得：P（X＝1，Y＝0），
将③代入②可得：P（X＝0，Y＝1），
又由P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝0）＝1，
则，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查0﹣1分布的性质和应用，涉及概率的计算，属于中档题．
11．（2023秋 德州期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1），则随机变量Y＝3X﹣1的期望为 　1　．
【考点】两点分布（0﹣1分布）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】1．
【分析】根据题意，由二项分布的性质求出P（X＝1），即可得E（X），结合期望的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1），
而P（X＝0）+P（X＝1）＝1，则有1﹣4P（X＝1）＝3﹣4P（X＝1），
解可得P（X＝1），
则E（X），
故E（Y）＝E（3X﹣1）＝31＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查随机变量的期望计算，涉及二项分布的性质，属于基础题．
12．（2023秋 河南月考）设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ai（i＝1，2， ，8），则常数a＝　　．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据随机变量分布列的性质可得结果．
【解答】解：P（X＝i）＝ai（i＝1，2， ，8），
∴a（1+2+3+ +8）＝36a＝1，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查随机变量分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 洛阳期末）小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标．一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止．已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击X次．
（1）求P（X＝1）和P（X＝2）的值；
（2）求X的所有可能取值；
（3）求X的分布列．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）P（X＝1），P（X＝2）．
（2）X的所有可能取值为1，2，3，4，5．
（3）X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
【分析】（1）由题意得P（X＝1），利用相互独立事件概率乘法公式能求出P（X＝2）．
（2）利用列举法得到X的所有可能取值为1，2，3，4，5．
（3）分别求出X取值为1，2，3，4，5对应的概率，由此能求出X的分布列．
【解答】解：（1）由题意得P（X＝1），
P（X＝2）＝（1）．
（2）由题意得X的所有可能取值为1，2，3，4，5．
（3）P（X＝3）＝（1）×（1），
P（X＝4）＝（1）×（1）×（1），
P（X＝5）＝（1）×（1）×（1）×（1）×1，
∴X的分布列为：
X 1 2 3 4 5
P
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．（2024秋 南昌校级期末）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率时，乙每次击中目标的概率，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
（1）求甲至少有1次未击中目标的概率；
（2）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布列；
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）．
（2）分布列见解析．
（3）．
【分析】（1）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为，射击3次，相当于3次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．
（2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概率，写出分布列．
（3）甲恰比乙多击中目标2次，包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．
【解答】解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
射击3次，相当于3次独立重复试验，故；
（2）依题可知ξ的可能取值为0，1，2，3，
并且，
即，，
，，
ξ的概率分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，
甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，
甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，
则A＝B1+B2，B1、B2为互斥事件，
，
∴甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2024秋 日照期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生．
（1）求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率；
（2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为Cov（X，Y）＝E[（X﹣EX）（Y﹣EY）]．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关．在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为X，不在本地区参加志愿服务的学生人数为Y．
（i）求随机变量X的分布列．
（ii）求Cov（X，Y），并说明X，Y之间的线性相关关系．
【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）．
（2）（i）X的分布列为：
X 0 1 2 4
P
（ii）由（i）得，
则E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝3，
则（X﹣EX）（Y﹣EY）＝（X﹣1）（Y﹣3）＝（X﹣1）（1﹣X）＝﹣（X﹣1）2，
设Z＝（X﹣EX）（Y﹣EY），则Z的分布列为：
z ﹣9 ﹣1 0
P
则Cov（X，Y）＝E（Z）＝﹣1x5+0x3+（﹣9）×24＝﹣1，
∵Cov（X，Y）＜0，∴X与Y负相关．
∴在本地区参与志愿活动的学生人数与不在本地区志愿活动的学生人数呈负相关．
【分析】（1）记事件A：“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”，则四名学生参加志愿服务安排方式共有种，甲地区学生在乙地区参加志愿服务的安排方式：种，甲地区学生不在乙地区且乙地区学生不在乙地区参加志愿服务的安排方式有种，由此能求出甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率．
（2）（i）由题可知，X的所有取值为0，1，2，4且Y的取值为4，2，1，0，即X+Y＝4，分别求出相应的概率，由此能求出结果．
（ii）由（i）得，则E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝3，则（X﹣EX）（Y﹣EY）＝（X﹣1）（Y﹣3）＝（X﹣1）（1﹣X）＝﹣（X﹣1）2，设Z＝（X﹣EX）（Y﹣EY），求出Z的分布列，由此能求出在本地区参与志愿活动的学生人数与不在本地区志愿活动的学生人数呈负相关．
【解答】解：（1）记事件A：“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”，
则四名学生参加志愿服务安排方式共有种，
甲地区学生在乙地区参加志愿服务的安排方式：种，
甲地区学生不在乙地区且乙地区学生不在乙地区参加志愿服务的安排方式有种，
则甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率为：
．
（2）（i）由题可知，X的所有取值为0，1，2，4且Y的取值为4，2，1，0，即X+Y＝4，
则，
，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2 4
P
（ii）由（i）得，
则E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝3，
则（X﹣EX）（Y﹣EY）＝（X﹣1）（Y﹣3）＝（X﹣1）（1﹣X）＝﹣（X﹣1）2，
设Z＝（X﹣EX）（Y﹣EY），则Z的分布列为：
z ﹣9 ﹣1 0
P
则Cov（X，Y）＝E（Z）＝﹣1x5+0x3+（﹣9）×24＝﹣1，
∵Cov（X，Y）＜0，∴X与Y负相关．
∴在本地区参与志愿活动的学生人数与不在本地区志愿活动的学生人数呈负相关．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)