【期末热点.重难点】列联表与独立性检验（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册
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| 名称 | 【期末热点.重难点】列联表与独立性检验（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 08:37:15 | ||
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文档简介
期末热点.重难点 列联表与独立性检验
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 宜春校级期末）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
P（K2 k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
2．（2024春 寿光市期中）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附：，
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
3．（2024秋 船山区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
4．（2024 滨海新区模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
5．（2023秋 信州区校级期末）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量χ2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 黄岛区期末）已知某地区成年男士的身高（单位：cm）服从正态分布N（175，22），体重（单位：kg）服从正态分布N（70，32）．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则（ ）
身高 体重 合计
大于73kg 小于等于73kg
大于177cm a b a+b
小于等于177cm c d c+d
总计 a+c b+d n＝a+b+c+d
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827．
χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据正态分布估计a+b＝16
B．根据正态分布估计b+d＝84
C．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相关联
D．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相互独立
（多选）7．（2025 苏州模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 33 10 43
乙校 38 7 45
合计 71 17 88
附：
参考数据：
P（χ2≥x0）＝α 0.100 0.050 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
则下列说法正确的有（ ）
A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
（多选）8．（2024秋 唐山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）
B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.881＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联”
D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强
（多选）9．（2024秋 四川月考）为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 140 60 200
男 120 180 300
合计 260 240 500
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ）
A．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
B．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
C．小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同
D．小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也不同
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 南通校级月考）随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
11．（2024秋 集美区校级期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人．
优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
12．（2024秋 嘉祥县校级月考）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n（n∈N*）个人，得到如列联表．已知x0.05＝3.841，若根据α＝0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为 ．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性 8n 12n 20n
女性 12n 8n 20n
合计 20n 20n 40n
四．解答题（共3小题）
13．（2025 鹤壁一模）疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病D的疫苗A逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病D的特效疫苗B在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）．
疫苗A 特效疫苗B
生成抗体人数 130 160
未生成抗体人数 70 40
（Ⅰ）可否有99.9%把握认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升？
（Ⅱ）统计学上通常用疫苗的有效率η来衡量疫苗的真实效果．在未接种组感染率全面投入使用特效疫苗B的试点城市M中，疫苗的接种率达到了95%，若在一段时间内统计得感染疾病D的人群中接种过疫苗B的比例为60%，试评价疫苗B在投入使用之后的表现．
参考公式及数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥2.706）＝0.1，P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001．
14．（2024秋 青山湖区校级期末）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证．为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有70%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”．
（1）根据条件，列出2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有1名男生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010
x0 2.706 3.841 6.635
15．（2024秋 富平县期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50
初中学生 100
合计 150
（I）请将列联表中的数据补充完善；
（Ⅱ）判断能否有99.9%的把握认为学生经常做家务与年级段有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
期末热点.重难点 列联表与独立性检验
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 宜春校级期末）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
P（K2 k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用K2的值与临界值比较即可．
【解答】解：因为K2＝8.069，且6.635＜8.069＜10.828，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%．
故选：B．
【点评】本题主要考了独立性检验的应用，属于基础题．
2．（2024春 寿光市期中）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附：，
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据列联表运用公式χ2求出χ2值，同临界值表进行比较，得到假设不合理的程度．
【解答】解：根据题目中的列联表数据，
男生 女生 合计
篮球迷 30 15 45
非篮球迷 45 10 55
合计 75 25 100
得到χ23.030＜3.841．
所以，没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关．
故选：A．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，是中档题．
3．（2024秋 船山区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【考点】独立性检验；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量；百分位数；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D．
【解答】解：对于A，该校高一年级女生人数是，故A正确；
对于B，由8×75%＝6，得第75百分位数为，故B正确；
对于C，线性回归方程中，线性相关系数r绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对于D，由χ2＝3.937＞3.841＝x0.05，可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了百分位数的定义，以及独立性检验的应用，属于基础题．
4．（2024 滨海新区模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
【考点】独立性检验；用样本估计总体的离散程度参数；变量间的相关关系．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据方差的性质可判断B，根据相关系数的性质可判断C，根据独立性检验的性质可判断D．
【解答】解：对于A，数据从小到大排列为1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，
因为10×60%＝6，所以第60百分位数为7，故A错误；
对于B，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；
对于C，由相关系数的性质可知，相关系数的绝对值越接近于1，数据的相关性越强，
因为|﹣0.91|＞|0.89|，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；
对于D，在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越大，判断两个变量有关的把握越大，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了方差和相关系数的性质，以及独立性检验的应用，属于中档题．
5．（2023秋 信州区校级期末）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量χ2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【考点】独立性检验；变量间的相关关系．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能完全肯定这种关系，故A错误，
对于B，独立性检验依据的是小概率原理，不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故B错误，
对于C，从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，即有99%的把握认为这个推理是正确的，有1%的可能性认为推理出现错误，故C错误，
对于D，对于独立性检验，随机变量χ2的观测值k值越大，则两变量有关系的程度越大，即k越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越低，故k越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 黄岛区期末）已知某地区成年男士的身高（单位：cm）服从正态分布N（175，22），体重（单位：kg）服从正态分布N（70，32）．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则（ ）
身高 体重 合计
大于73kg 小于等于73kg
大于177cm a b a+b
小于等于177cm c d c+d
总计 a+c b+d n＝a+b+c+d
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827．
χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据正态分布估计a+b＝16
B．根据正态分布估计b+d＝84
C．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相关联
D．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相互独立
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断AB，根据题意得到列联表，计算χ2的值，与临界值比较即可．
【解答】解：因为男士的身高（单位：cm）服从正态分布N（175，22），
所以身高大于177cm的概率P（1﹣0.6827）＝0.15865，
因为100×0.15865≈16，
所以根据正态分布估计a+b＝16，故A正确；
因为体重（单位：kg）服从正态分布N（70，32），
所以体重小于等于73kg的概率为P＝0.50.6827＝0.84135，
因为100×0.84135≈84，
所以b+d的估计值为84，故B正确；
若a＝12，则根据正态分布估计b＝4，d＝84﹣4＝80，c＝100﹣12﹣4﹣80＝4，
所以列联表如下：
身高 体重 合计
大于73kg 小于等于73kg
大于177cm 12 4 16
小于等于177cm 4 80 84
总计 16 84 100
零假设H0：该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg无关，
则χ249.334＞10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相关联，故C正确，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
（多选）7．（2025 苏州模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 33 10 43
乙校 38 7 45
合计 71 17 88
附：
参考数据：
P（χ2≥x0）＝α 0.100 0.050 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
则下列说法正确的有（ ）
A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据表格数据可判断ABC，计算χ2的值，与临界值比较可判断D．
【解答】解：对于A，甲校的数学抽测成绩优秀率为，乙校的数学抽测成绩优秀率为，
所以甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高，故A正确；
对于B，样本数据不能直接推断总体情况，不能说甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高，故B错误；
对于C，甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多，故C正确；
对于D，零假设H0：两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，
χ20.837＜2.706，
对于小概率值α＝0.1，我们推断H0成立，即可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 唐山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）
B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.881＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联”
D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强
【考点】独立性检验；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；样本相关系数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据相互独立的概念可知选项A正确；根据残差等于观测值减去预测值可知选项B正确；根据独立性检验的原理可知选项C错误；根据样本相关系数的概念可知选项D正确．
【解答】解：若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），故A正确．
残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，
则残差的散点图分布的区域越窄，说明预测值与观测值的偏离越小，拟合效果越好，故B正确．
零假设为H0：X与Y相互独立，即X与Y没有关联，由χ2＝7.881＞6.635＝x0.01可知依据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，可以认为“X与Y有关联”，故C错误．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 四川月考）为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 140 60 200
男 120 180 300
合计 260 240 500
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ）
A．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
B．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
C．小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同
D．小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也不同
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据列联表及卡方公式求对应卡方值，结合独立性检验的基本思想得到结论，即可得答案．
【解答】解：由题设，零假设H0：该中学高三年级学生的性别与身高没有关联，
对于成员乙有，
对于成员甲有，
依据α＝0.01的独立性检验，小组成员乙不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；
依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；
小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，他们得出的结论也不同．
故选：AD．
【点评】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 南通校级月考）随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 66 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】66．
【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可．
【解答】解：因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
即（m﹣10）2≥28.8075，
因为函数y＝（m﹣10）2在10≤m≤20时单调递增，
且m∈N*，（15﹣10）2＜28.8075，（16﹣10）2≥28.8075，
所以m的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50+16＝66．
故答案为：66．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
11．（2024秋 集美区校级期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 12 人．
优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】12．
【分析】用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，则CardA＝28，CardB＝18，再利用容斥原理求解即可．
【解答】解：全班共48名同学，用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，
则CardA＝28，CardB＝18
用A∩B表示两项比赛均合格，
当Card（A∩B）＝10时，48﹣18﹣10﹣8＝12人，
所以两项比赛中都评定为优秀的同学最多为12人．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系，考查了容斥原理的应用，属于基础题．
12．（2024秋 嘉祥县校级月考）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n（n∈N*）个人，得到如列联表．已知x0.05＝3.841，若根据α＝0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为 3 ．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性 8n 12n 20n
女性 12n 8n 20n
合计 20n 20n 40n
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；转化思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意计算χ2，列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得χ2，
令3.841，解得n＞3.8412.401，
根据α＝0.05的独立性检验，认为“社交电商用户存在性别差异”，则正整数n的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 鹤壁一模）疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病D的疫苗A逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病D的特效疫苗B在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）．
疫苗A 特效疫苗B
生成抗体人数 130 160
未生成抗体人数 70 40
（Ⅰ）可否有99.9%把握认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升？
（Ⅱ）统计学上通常用疫苗的有效率η来衡量疫苗的真实效果．在未接种组感染率全面投入使用特效疫苗B的试点城市M中，疫苗的接种率达到了95%，若在一段时间内统计得感染疾病D的人群中接种过疫苗B的比例为60%，试评价疫苗B在投入使用之后的表现．
参考公式及数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥2.706）＝0.1，P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001．
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）有99.9%的把握可以认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升；
（Ⅱ）疫苗B在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病D防治效果良好．
【分析】（Ⅰ）利用卡方直接求解，然后根据问题直接下结论即可；
（Ⅱ）根据题目中用疫苗的有效率直接求解，然后下结论即可．
【解答】解：（Ⅰ）零假设H0：特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A无较大提升，
由10.828，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验可知，我们推断H0不成立，
所以有99.9%的把握可以认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升；
（Ⅱ）设城市M共有m人，在这段时间内感染人数为n，
则有效率η92.1%，
可见疫苗B在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病D防治效果良好．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
14．（2024秋 青山湖区校级期末）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证．为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有70%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”．
（1）根据条件，列出2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有1名男生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010
x0 2.706 3.841 6.635
【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）2×2列联表：
男 女 合计
十分关注 45 35 80
比较关注 5 15 20
合计 50 50 100
没有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）．
【分析】（1）根据条件就是列出二联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验思想判定即可；
（2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可．
【解答】解：（1）由题意可得2×2列联表：
男 女 合计
十分关注 45 35 80
比较关注 5 15 20
合计 50 50 100
零假设H0：对探月工程的关注程度与性别无关，
则，
依据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0成立，
即没有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）由题意，8人中男生人，女生人，
记“3人中至少有1名男生”为事件A，
则．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15．（2024秋 富平县期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50
初中学生 100
合计 150
（I）请将列联表中的数据补充完善；
（Ⅱ）判断能否有99.9%的把握认为学生经常做家务与年级段有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）列联表如下：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50 150 200
初中学生 100 100 200
合计 150 250 400
（Ⅱ）有．
【分析】（Ⅰ）根据题意，补充列联表即可；
（Ⅱ）计算χ2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：（I）根据题意，补充列联表如下：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50 150 200
初中学生 100 100 200
合计 150 250 400
（Ⅱ）零假设H0：学生经常做家务与年级段无关联，
由（I）可知，，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即有99.9%的把握认为学生经常做家务与年级段有关联．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 宜春校级期末）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
P（K2 k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
2．（2024春 寿光市期中）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附：，
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
3．（2024秋 船山区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
4．（2024 滨海新区模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
5．（2023秋 信州区校级期末）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量χ2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 黄岛区期末）已知某地区成年男士的身高（单位：cm）服从正态分布N（175，22），体重（单位：kg）服从正态分布N（70，32）．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则（ ）
身高 体重 合计
大于73kg 小于等于73kg
大于177cm a b a+b
小于等于177cm c d c+d
总计 a+c b+d n＝a+b+c+d
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827．
χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据正态分布估计a+b＝16
B．根据正态分布估计b+d＝84
C．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相关联
D．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相互独立
（多选）7．（2025 苏州模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 33 10 43
乙校 38 7 45
合计 71 17 88
附：
参考数据：
P（χ2≥x0）＝α 0.100 0.050 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
则下列说法正确的有（ ）
A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
（多选）8．（2024秋 唐山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）
B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.881＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联”
D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强
（多选）9．（2024秋 四川月考）为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 140 60 200
男 120 180 300
合计 260 240 500
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ）
A．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
B．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
C．小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同
D．小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也不同
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 南通校级月考）随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
11．（2024秋 集美区校级期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人．
优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
12．（2024秋 嘉祥县校级月考）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n（n∈N*）个人，得到如列联表．已知x0.05＝3.841，若根据α＝0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为 ．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性 8n 12n 20n
女性 12n 8n 20n
合计 20n 20n 40n
四．解答题（共3小题）
13．（2025 鹤壁一模）疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病D的疫苗A逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病D的特效疫苗B在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）．
疫苗A 特效疫苗B
生成抗体人数 130 160
未生成抗体人数 70 40
（Ⅰ）可否有99.9%把握认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升？
（Ⅱ）统计学上通常用疫苗的有效率η来衡量疫苗的真实效果．在未接种组感染率全面投入使用特效疫苗B的试点城市M中，疫苗的接种率达到了95%，若在一段时间内统计得感染疾病D的人群中接种过疫苗B的比例为60%，试评价疫苗B在投入使用之后的表现．
参考公式及数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥2.706）＝0.1，P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001．
14．（2024秋 青山湖区校级期末）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证．为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有70%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”．
（1）根据条件，列出2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有1名男生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010
x0 2.706 3.841 6.635
15．（2024秋 富平县期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50
初中学生 100
合计 150
（I）请将列联表中的数据补充完善；
（Ⅱ）判断能否有99.9%的把握认为学生经常做家务与年级段有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
期末热点.重难点 列联表与独立性检验
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 宜春校级期末）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算K2＝8.069，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
P（K2 k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用K2的值与临界值比较即可．
【解答】解：因为K2＝8.069，且6.635＜8.069＜10.828，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过1%．
故选：B．
【点评】本题主要考了独立性检验的应用，属于基础题．
2．（2024春 寿光市期中）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 30 15
非篮球迷 45 10
附：，
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
A．没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据列联表运用公式χ2求出χ2值，同临界值表进行比较，得到假设不合理的程度．
【解答】解：根据题目中的列联表数据，
男生 女生 合计
篮球迷 30 15 45
非篮球迷 45 10 55
合计 75 25 100
得到χ23.030＜3.841．
所以，没有95%的把握认为是否是篮球迷与性别有关．
故选：A．
【点评】本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，是中档题．
3．（2024秋 船山区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝3.937，根据小概率α＝0.05值的独立性检验（x0.05＝3.841），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
【考点】独立性检验；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量；百分位数；样本相关系数．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D．
【解答】解：对于A，该校高一年级女生人数是，故A正确；
对于B，由8×75%＝6，得第75百分位数为，故B正确；
对于C，线性回归方程中，线性相关系数r绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对于D，由χ2＝3.937＞3.841＝x0.05，可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了百分位数的定义，以及独立性检验的应用，属于基础题．
4．（2024 滨海新区模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9的第60百分位数为6
B．将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大
C．若甲、乙两组数据的相关系数分别为﹣0.91和0.89，则甲组数据的线性相关程度更强
D．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大
【考点】独立性检验；用样本估计总体的离散程度参数；变量间的相关关系．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据方差的性质可判断B，根据相关系数的性质可判断C，根据独立性检验的性质可判断D．
【解答】解：对于A，数据从小到大排列为1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，
因为10×60%＝6，所以第60百分位数为7，故A错误；
对于B，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；
对于C，由相关系数的性质可知，相关系数的绝对值越接近于1，数据的相关性越强，
因为|﹣0.91|＞|0.89|，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；
对于D，在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，则χ2的值越大，判断两个变量有关的把握越大，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了方差和相关系数的性质，以及独立性检验的应用，属于中档题．
5．（2023秋 信州区校级期末）下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量χ2的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【考点】独立性检验；变量间的相关关系．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能完全肯定这种关系，故A错误，
对于B，独立性检验依据的是小概率原理，不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故B错误，
对于C，从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，即有99%的把握认为这个推理是正确的，有1%的可能性认为推理出现错误，故C错误，
对于D，对于独立性检验，随机变量χ2的观测值k值越大，则两变量有关系的程度越大，即k越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越低，故k越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 黄岛区期末）已知某地区成年男士的身高（单位：cm）服从正态分布N（175，22），体重（单位：kg）服从正态分布N（70，32）．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则（ ）
身高 体重 合计
大于73kg 小于等于73kg
大于177cm a b a+b
小于等于177cm c d c+d
总计 a+c b+d n＝a+b+c+d
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827．
χ2，其中n＝a+b+c+d．
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据正态分布估计a+b＝16
B．根据正态分布估计b+d＝84
C．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相关联
D．若a＝12，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相互独立
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据正态分布曲线的对称性可判断AB，根据题意得到列联表，计算χ2的值，与临界值比较即可．
【解答】解：因为男士的身高（单位：cm）服从正态分布N（175，22），
所以身高大于177cm的概率P（1﹣0.6827）＝0.15865，
因为100×0.15865≈16，
所以根据正态分布估计a+b＝16，故A正确；
因为体重（单位：kg）服从正态分布N（70，32），
所以体重小于等于73kg的概率为P＝0.50.6827＝0.84135，
因为100×0.84135≈84，
所以b+d的估计值为84，故B正确；
若a＝12，则根据正态分布估计b＝4，d＝84﹣4＝80，c＝100﹣12﹣4﹣80＝4，
所以列联表如下：
身高 体重 合计
大于73kg 小于等于73kg
大于177cm 12 4 16
小于等于177cm 4 80 84
总计 16 84 100
零假设H0：该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg无关，
则χ249.334＞10.828，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该地区成年男士身高超过177cm与体重超过73kg相关联，故C正确，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
（多选）7．（2025 苏州模拟）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 33 10 43
乙校 38 7 45
合计 71 17 88
附：
参考数据：
P（χ2≥x0）＝α 0.100 0.050 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
则下列说法正确的有（ ）
A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高
B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高
C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多
D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据表格数据可判断ABC，计算χ2的值，与临界值比较可判断D．
【解答】解：对于A，甲校的数学抽测成绩优秀率为，乙校的数学抽测成绩优秀率为，
所以甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高，故A正确；
对于B，样本数据不能直接推断总体情况，不能说甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高，故B错误；
对于C，甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多，故C正确；
对于D，零假设H0：两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，
χ20.837＜2.706，
对于小概率值α＝0.1，我们推断H0成立，即可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 唐山期末）下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）
B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.881＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联”
D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强
【考点】独立性检验；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；样本相关系数．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据相互独立的概念可知选项A正确；根据残差等于观测值减去预测值可知选项B正确；根据独立性检验的原理可知选项C错误；根据样本相关系数的概念可知选项D正确．
【解答】解：若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），故A正确．
残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，
则残差的散点图分布的区域越窄，说明预测值与观测值的偏离越小，拟合效果越好，故B正确．
零假设为H0：X与Y相互独立，即X与Y没有关联，由χ2＝7.881＞6.635＝x0.01可知依据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，可以认为“X与Y有关联”，故C错误．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 四川月考）为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于170cm的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
女 140 60 200
男 120 180 300
合计 260 240 500
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ）
A．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
B．依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
C．小组成员甲、乙计算出的χ2值相同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也相同
D．小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，依据α＝0.01的独立性检验，他们得出的结论也不同
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据列联表及卡方公式求对应卡方值，结合独立性检验的基本思想得到结论，即可得答案．
【解答】解：由题设，零假设H0：该中学高三年级学生的性别与身高没有关联，
对于成员乙有，
对于成员甲有，
依据α＝0.01的独立性检验，小组成员乙不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；
依据α＝0.01的独立性检验，小组成员甲可认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联；
小组成员甲、乙计算出的χ2值不同，他们得出的结论也不同．
故选：AD．
【点评】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 南通校级月考）随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）
支持 不支持
男生 70﹣m 10+m
女生 50+m 30﹣m
若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 66 ．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】66．
【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可．
【解答】解：因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
即（m﹣10）2≥28.8075，
因为函数y＝（m﹣10）2在10≤m≤20时单调递增，
且m∈N*，（15﹣10）2＜28.8075，（16﹣10）2≥28.8075，
所以m的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50+16＝66．
故答案为：66．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
11．（2024秋 集美区校级期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 12 人．
优秀 合格 合计
语文 20 28 48
英语 30 18 48
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】12．
【分析】用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，则CardA＝28，CardB＝18，再利用容斥原理求解即可．
【解答】解：全班共48名同学，用集合A表示语文合格，用集合B表示英语合格，
则CardA＝28，CardB＝18
用A∩B表示两项比赛均合格，
当Card（A∩B）＝10时，48﹣18﹣10﹣8＝12人，
所以两项比赛中都评定为优秀的同学最多为12人．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系，考查了容斥原理的应用，属于基础题．
12．（2024秋 嘉祥县校级月考）某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了40n（n∈N*）个人，得到如列联表．已知x0.05＝3.841，若根据α＝0.05的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最小值为 3 ．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性 8n 12n 20n
女性 12n 8n 20n
合计 20n 20n 40n
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；转化思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据题意计算χ2，列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意得χ2，
令3.841，解得n＞3.8412.401，
根据α＝0.05的独立性检验，认为“社交电商用户存在性别差异”，则正整数n的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2025 鹤壁一模）疫苗保障着人类的生命安全，但随着病毒的变异，过去用于防治疾病D的疫苗A逐渐降低了对病毒的有效率，针对疾病D的特效疫苗B在历经了研发、试验的阶段后开始投入使用，以下为某次试验时的数据（生成抗体意味着疫苗起效）．
疫苗A 特效疫苗B
生成抗体人数 130 160
未生成抗体人数 70 40
（Ⅰ）可否有99.9%把握认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升？
（Ⅱ）统计学上通常用疫苗的有效率η来衡量疫苗的真实效果．在未接种组感染率全面投入使用特效疫苗B的试点城市M中，疫苗的接种率达到了95%，若在一段时间内统计得感染疾病D的人群中接种过疫苗B的比例为60%，试评价疫苗B在投入使用之后的表现．
参考公式及数据：χ2，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥2.706）＝0.1，P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001．
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）有99.9%的把握可以认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升；
（Ⅱ）疫苗B在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病D防治效果良好．
【分析】（Ⅰ）利用卡方直接求解，然后根据问题直接下结论即可；
（Ⅱ）根据题目中用疫苗的有效率直接求解，然后下结论即可．
【解答】解：（Ⅰ）零假设H0：特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A无较大提升，
由10.828，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验可知，我们推断H0不成立，
所以有99.9%的把握可以认为特效疫苗B在防治疾病D方面相对于疫苗A有较大提升；
（Ⅱ）设城市M共有m人，在这段时间内感染人数为n，
则有效率η92.1%，
可见疫苗B在投入使用之后的表现优于试验阶段，且对疾病D防治效果良好．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
14．（2024秋 青山湖区校级期末）我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证．为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有90%的同学“十分关注”，女生中有70%的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”．
（1）根据条件，列出2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有1名男生的概率．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（χ2≥x0） 0.100 0.050 0.010
x0 2.706 3.841 6.635
【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）2×2列联表：
男 女 合计
十分关注 45 35 80
比较关注 5 15 20
合计 50 50 100
没有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）．
【分析】（1）根据条件就是列出二联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验思想判定即可；
（2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可．
【解答】解：（1）由题意可得2×2列联表：
男 女 合计
十分关注 45 35 80
比较关注 5 15 20
合计 50 50 100
零假设H0：对探月工程的关注程度与性别无关，
则，
依据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0成立，
即没有99%的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）由题意，8人中男生人，女生人，
记“3人中至少有1名男生”为事件A，
则．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15．（2024秋 富平县期末）为了解学生的年级段和经常做家务的关联性，某小组调查了某中学400名学生，得到如下列联表的部分数据（单位：人）：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50
初中学生 100
合计 150
（I）请将列联表中的数据补充完善；
（Ⅱ）判断能否有99.9%的把握认为学生经常做家务与年级段有关？
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）列联表如下：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50 150 200
初中学生 100 100 200
合计 150 250 400
（Ⅱ）有．
【分析】（Ⅰ）根据题意，补充列联表即可；
（Ⅱ）计算χ2的值，再与临界值比较即可．
【解答】解：（I）根据题意，补充列联表如下：
做家务情况 年级段 经常做家务 不经常做家务 合计
高中学生 50 150 200
初中学生 100 100 200
合计 150 250 400
（Ⅱ）零假设H0：学生经常做家务与年级段无关联，
由（I）可知，，
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即有99.9%的把握认为学生经常做家务与年级段有关联．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于中档题．
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