【期末热点.重难点】排列与组合（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册
文档属性
| 名称 | 【期末热点.重难点】排列与组合（含解析）2024-2025学年人教A版（2019）选择性必修第三册数学高二下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-23 08:37:20 | ||
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文档简介
期末热点.重难点 排列与组合
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡阳校级期末）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种．
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2025 江西一模）现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．30
3．（2025 安顺模拟）甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古器城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法相共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
4．（2024秋 仓山区校级期末）如图，对A，B，C，D，E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．480种 B．640种 C．780种 D．920种
5．（2024秋 驻马店期末）3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 天河区期末）定义二元函数，其中m，n∈N*，且m≤n，记，如，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）7．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
（多选）8．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
（多选）9．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
三．填空题（共3小题）
10．（2025 湖北模拟）现有5名志愿者被派往A，B，C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人．则不同的安排方案共有 种．（用数字作答）
11．（2025 郑州模拟）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片（舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种．
12．（2024秋 徐汇区校级期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 凤冈县期末）为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间（单位：分钟）作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在[45，105]内，绘制的频率分布表如表所示：
日均数学自主学习时间 [45，55） [55，65） [65，75） [75，85） [85，95） [95，105]
频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10
（1）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
（3）现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85，95）与[95，105]内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85，95）内的概率．
14．（2024秋 北京校级期末）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动．
（1）共有多少种不同的选法？
（2）既有男生又有女生的选法有多少种？
15．（2024秋 辽宁期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
期末热点.重难点 排列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡阳校级期末）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种．
A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，利用间接法可求得总的方法数即可得解．
【解答】解：将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6
用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，
①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法；
②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立，
注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，
所以由种选法，共有1+4＝5种选法．
而平均分组共有种方式，
所以共有10﹣5＝5种选法．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
2．（2025 江西一模）现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．30
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，列举出符合题意的情况即可．
【解答】解：把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，
则不连续值日的三组数为（1﹣3，2﹣5，4﹣6），（1﹣4，2﹣5，3﹣6），（1﹣4，2﹣6，3﹣5），（1﹣5，2﹣4，3﹣6），（1﹣6，2﹣4，3﹣5），
所以符合条件的方法有种．
故选：D．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
3．（2025 安顺模拟）甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古器城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法相共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古器城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，
则这两人恰好有一个景区相同的选法相共有4×6＝24种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
4．（2024秋 仓山区校级期末）如图，对A，B，C，D，E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．480种 B．640种 C．780种 D．920种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】先选两种颜色涂B、D区域，然后涂A、C、E区域，结合分步乘法计数原理求解即可．
【解答】解：第一步：选两种颜色涂B、D区域，
有种不同涂色方法；
第二步：涂A、C、E区域，
当区域A与区域D涂相同颜色时，
有12种不同涂色方法；
当区域A与区域D涂不相同颜色时，
有27种不同涂色方法，
综上可得：不同的涂色方法共有20×（12+27）＝780种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
5．（2024秋 驻马店期末）3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】首先利用分步计数原理，然后利用分类加法原理求解即可．
【解答】解：3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，
当学校甲分配一名医生和2名护士时，学校乙分配2名医生和2名护士，
共有种分配方法；
当学校甲分配2名医生和2名护士时，学校乙分配1名医生和2名护士，
共有种分配方法；
则不同的分法共有18+18＝36种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 天河区期末）定义二元函数，其中m，n∈N*，且m≤n，记，如，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据组合数的定义和性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A，由题意可知，，，
所以，故A正确；
对于B，5+10+10+5+1＝31，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了组合数的性质，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中选一个地方，
对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，
故A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，
故B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，
又所有的方法数为53＝125，
所以恰有1人选泰山的概率是，
故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，
所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型概率公式，属中档题．
（多选）8．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解析：A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有种，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，由插空法求得A，B不相邻时的排法总数判断选项AB；由捆绑法求得A，B相邻时的排法总数判断选项CD，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，A，B，C，D，E五个人并排站在一起，
若A，B不相邻，需要先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，
则方法总数为种，故A正确，B错误；
若A，B相邻，则先将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，
则方法总数为（种），故C正确；D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 湖北模拟）现有5名志愿者被派往A，B，C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人．则不同的安排方案共有 30 种．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】30．
【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解．
【解答】解：现有5名志愿者被派往A，B，C三个小区参加志愿者活动，
A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人．
首先从5名志愿者中选出1人去A小区，共有种情况，
再从剩下的4名志愿者中选出2人去B小区，共有种情况，
剩下的2个人安排到C小区，
因此不同的安排方法共有6×5＝30种．
故答案为：30．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
11．（2025 郑州模拟）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片（舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 216 种．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】216．
【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24﹣15＝9种，则24×9＝216，得解．
【解答】解：甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种．
不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，
则乙每轮所出数字有以下三种情况：
①甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同，
不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同，
有1，2，4，3一种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况；
②甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同，
则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况．
③甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同，
不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同，
有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况；
故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有8+6+1＝15种，
所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24﹣15＝9种．
故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24×9＝216种．
故答案为：216．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
12．（2024秋 徐汇区校级期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 720 种排法．
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】720．
【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解．
【解答】解：7个同学排队做操，其中甲乙丙必须相邻，
则共有．
故答案为：720．
【点评】本题考查简单的排列问题，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 凤冈县期末）为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间（单位：分钟）作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在[45，105]内，绘制的频率分布表如表所示：
日均数学自主学习时间 [45，55） [55，65） [65，75） [75，85） [85，95） [95，105]
频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10
（1）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
（3）现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85，95）与[95，105]内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85，95）内的概率．
【考点】简单组合问题；古典概型及其概率计算公式；平均数；百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）77.5；
（2）71；
（3）．
【分析】（1）根据每组的频率与组中值之积，再求和，即可得解；
（2）根据百分位数的定义计算可得；
（3）分别求出[85，95）、[95，105]中抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得．
【解答】解：（1）依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为：
50×0.05+60×0.1+70×0.25+80×0.35+90×0.15+100×0.1＝77.5；
（2）因为0.05+0.1＝0.15＜0.3，0.05+0.1+0.25＝0.4＞0.3，
所以第30百分位数位于[65，75），
设为x，则0.15+（x﹣65）×0.25÷10＝0.3，
解得x＝71，
所以第30百分位数为71；
（3）依题意[85，95）中抽取名学生，分别记作a、b、c，
[95，105]中抽取名学生，分别记作A、B，
从这5名学生中，随机抽取3名学生，
则可能结果有：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共10个；
其中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在85，95）有：
Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共7个，
所以至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85，95）的概率．
【点评】本题考查了根据频率分布表计算平均数、百分数，考查了用列举法解决古典概型问题，属于中档题．
14．（2024秋 北京校级期末）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动．
（1）共有多少种不同的选法？
（2）既有男生又有女生的选法有多少种？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）70；
（2）65．
【分析】（1）直接由组合数公式求解即可．
（2）分类讨论，选出4名同学分别为1男3女，2男2女和3男1女三种情况，即可得解．
【解答】解：（1）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动，
共有70种不同的选法；
（2）选出4名同学既有男生又有女生有三种情况：
有1名男同学和3名女同学，则有：30种不同的选法，
有2名男同学和2名女同学，则有：30种不同的选法，
有3名男同学和1名女同学，则有：5种不同的选法，
所以既有男生又有女生的选法有30+30+5＝65种．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15．（2024秋 辽宁期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）72；
（2）36．
【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解；
（2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解．
【解答】解（1）根据题意，先排丙、丁、戊，有种站法，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有6×12＝72种．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若乙站在排头或排尾，则有种站法；
若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法；
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有12+24＝36种．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
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一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡阳校级期末）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种．
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2025 江西一模）现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．30
3．（2025 安顺模拟）甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古器城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法相共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
4．（2024秋 仓山区校级期末）如图，对A，B，C，D，E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．480种 B．640种 C．780种 D．920种
5．（2024秋 驻马店期末）3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 天河区期末）定义二元函数，其中m，n∈N*，且m≤n，记，如，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）7．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
（多选）8．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
（多选）9．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
三．填空题（共3小题）
10．（2025 湖北模拟）现有5名志愿者被派往A，B，C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人．则不同的安排方案共有 种．（用数字作答）
11．（2025 郑州模拟）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片（舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种．
12．（2024秋 徐汇区校级期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 凤冈县期末）为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间（单位：分钟）作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在[45，105]内，绘制的频率分布表如表所示：
日均数学自主学习时间 [45，55） [55，65） [65，75） [75，85） [85，95） [95，105]
频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10
（1）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
（3）现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85，95）与[95，105]内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85，95）内的概率．
14．（2024秋 北京校级期末）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动．
（1）共有多少种不同的选法？
（2）既有男生又有女生的选法有多少种？
15．（2024秋 辽宁期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
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参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 衡阳校级期末）将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种．
A．4 B．5 C．6 D．8
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6，利用间接法可求得总的方法数即可得解．
【解答】解：将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6
用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，
①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法；
②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立，
注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，
所以由种选法，共有1+4＝5种选法．
而平均分组共有种方式，
所以共有10﹣5＝5种选法．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
2．（2025 江西一模）现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．30
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，列举出符合题意的情况即可．
【解答】解：把星期一到星期六记为1，2，3，4，5，6，
则不连续值日的三组数为（1﹣3，2﹣5，4﹣6），（1﹣4，2﹣5，3﹣6），（1﹣4，2﹣6，3﹣5），（1﹣5，2﹣4，3﹣6），（1﹣6，2﹣4，3﹣5），
所以符合条件的方法有种．
故选：D．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
3．（2025 安顺模拟）甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古器城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法相共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古器城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，
则这两人恰好有一个景区相同的选法相共有4×6＝24种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
4．（2024秋 仓山区校级期末）如图，对A，B，C，D，E五块区域涂色，现有5种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．480种 B．640种 C．780种 D．920种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】先选两种颜色涂B、D区域，然后涂A、C、E区域，结合分步乘法计数原理求解即可．
【解答】解：第一步：选两种颜色涂B、D区域，
有种不同涂色方法；
第二步：涂A、C、E区域，
当区域A与区域D涂相同颜色时，
有12种不同涂色方法；
当区域A与区域D涂不相同颜色时，
有27种不同涂色方法，
综上可得：不同的涂色方法共有20×（12+27）＝780种．
故选：C．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
5．（2024秋 驻马店期末）3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，则分配方法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】首先利用分步计数原理，然后利用分类加法原理求解即可．
【解答】解：3名医生和4名护士将被分配到2所学校为学生体检，每校至少分配1名医生和2名护士，
当学校甲分配一名医生和2名护士时，学校乙分配2名医生和2名护士，
共有种分配方法；
当学校甲分配2名医生和2名护士时，学校乙分配1名医生和2名护士，
共有种分配方法；
则不同的分法共有18+18＝36种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 天河区期末）定义二元函数，其中m，n∈N*，且m≤n，记，如，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据组合数的定义和性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A，由题意可知，，，
所以，故A正确；
对于B，5+10+10+5+1＝31，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了组合数的性质，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中选一个地方，
对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，
故A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，
故B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，
又所有的方法数为53＝125，
所以恰有1人选泰山的概率是，
故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，
所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型概率公式，属中档题．
（多选）8．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解析：A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有种，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，由插空法求得A，B不相邻时的排法总数判断选项AB；由捆绑法求得A，B相邻时的排法总数判断选项CD，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，A，B，C，D，E五个人并排站在一起，
若A，B不相邻，需要先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，
则方法总数为种，故A正确，B错误；
若A，B相邻，则先将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，
则方法总数为（种），故C正确；D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 湖北模拟）现有5名志愿者被派往A，B，C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人．则不同的安排方案共有 30 种．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】30．
【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解．
【解答】解：现有5名志愿者被派往A，B，C三个小区参加志愿者活动，
A小区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人．
首先从5名志愿者中选出1人去A小区，共有种情况，
再从剩下的4名志愿者中选出2人去B小区，共有种情况，
剩下的2个人安排到C小区，
因此不同的安排方法共有6×5＝30种．
故答案为：30．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
11．（2025 郑州模拟）甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片（舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有 216 种．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】216．
【分析】甲，乙出卡片的种数均有种，不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，先求出甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24﹣15＝9种，则24×9＝216，得解．
【解答】解：甲出卡片的种数一共有种，同理，乙出卡片的种数也一共有种．
不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，
则乙每轮所出数字有以下三种情况：
①甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同，
不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同，
有1，2，4，3一种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有种情况；
②甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同，
则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况．
③甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同，
不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同，
有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况，
则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有种情况；
故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有8+6+1＝15种，
所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4，
甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24﹣15＝9种．
故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24×9＝216种．
故答案为：216．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
12．（2024秋 徐汇区校级期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 720 种排法．
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】720．
【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解．
【解答】解：7个同学排队做操，其中甲乙丙必须相邻，
则共有．
故答案为：720．
【点评】本题考查简单的排列问题，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 凤冈县期末）为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间（单位：分钟）作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在[45，105]内，绘制的频率分布表如表所示：
日均数学自主学习时间 [45，55） [55，65） [65，75） [75，85） [85，95） [95，105]
频率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10
（1）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
（3）现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85，95）与[95，105]内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85，95）内的概率．
【考点】简单组合问题；古典概型及其概率计算公式；平均数；百分位数．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）77.5；
（2）71；
（3）．
【分析】（1）根据每组的频率与组中值之积，再求和，即可得解；
（2）根据百分位数的定义计算可得；
（3）分别求出[85，95）、[95，105]中抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得．
【解答】解：（1）依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为：
50×0.05+60×0.1+70×0.25+80×0.35+90×0.15+100×0.1＝77.5；
（2）因为0.05+0.1＝0.15＜0.3，0.05+0.1+0.25＝0.4＞0.3，
所以第30百分位数位于[65，75），
设为x，则0.15+（x﹣65）×0.25÷10＝0.3，
解得x＝71，
所以第30百分位数为71；
（3）依题意[85，95）中抽取名学生，分别记作a、b、c，
[95，105]中抽取名学生，分别记作A、B，
从这5名学生中，随机抽取3名学生，
则可能结果有：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共10个；
其中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在85，95）有：
Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共7个，
所以至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85，95）的概率．
【点评】本题考查了根据频率分布表计算平均数、百分数，考查了用列举法解决古典概型问题，属于中档题．
14．（2024秋 北京校级期末）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动．
（1）共有多少种不同的选法？
（2）既有男生又有女生的选法有多少种？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）70；
（2）65．
【分析】（1）直接由组合数公式求解即可．
（2）分类讨论，选出4名同学分别为1男3女，2男2女和3男1女三种情况，即可得解．
【解答】解：（1）从3名男同学和5名女同学中选择4位同学去参加志愿者活动，
共有70种不同的选法；
（2）选出4名同学既有男生又有女生有三种情况：
有1名男同学和3名女同学，则有：30种不同的选法，
有2名男同学和2名女同学，则有：30种不同的选法，
有3名男同学和1名女同学，则有：5种不同的选法，
所以既有男生又有女生的选法有30+30+5＝65种．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
15．（2024秋 辽宁期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
（1）甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
（2）甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）72；
（2）36．
【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解；
（2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解．
【解答】解（1）根据题意，先排丙、丁、戊，有种站法，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有6×12＝72种．
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若乙站在排头或排尾，则有种站法；
若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法；
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有12+24＝36种．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
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