【期末热点.重难点】直观图（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 直观图
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 达州期末）如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．
2．（2024春 越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
3．（2023秋 柯桥区期末）已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024春 东坡区期中）一个水平放置的平面四边形ABCD，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，O′是A′B′的中点，则原四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．
5．（2024秋 徐汇区校级期中）如图，用斜二测画法作△ABC的直观图得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知，在△ABC（D是BC的中点）中，下列结论中正确的是（　　）
A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC
C．AC＞AD＞AB＞BC D．AC＞AD＞AB＝BC
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024春 济阳区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B．在△ABC中，b＝11，a＝20，B＝30°，则这样的三角形有两个
C．已知△ABC是边长为2的正三角形，其直观图的面积为
D．已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为
（多选）7．（2024春 禄劝县校级期中）下列结论正确的是（　　）
A．在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
C．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC，AB的中点，P是线段A1D1（不含端点）上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形
（多选）8．（2024秋 广东月考）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形ABCD，则（　　）
A．∠ABD的最小值小于15°
B．∠BDC的最大值小于90°
C．|AC|的最小值大于2
D．|BD|的最大值大于4
（多选）9．（2024春 周口期末）如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D'，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．A'B'＝4
C．四边形A'B'C'D'为等腰梯形
D．四边形A'B'C'D'的周长为
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 上海校级期末）如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形O′A'B'C'，其中O'A'∥B'C'，∠O'A'B'＝90°，O′A'＝2B'C'＝4，A'B'＝2，则平面图形OABC的面积为 　 　．
11．（2024秋 闵行区期末）如图，△A'B'C'是用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中OA'＝OB'＝OC'＝1，则△ABC的面积为 　 　．
12．（2024秋 浦东新区期末）如图，若平行四边形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图，已知A′B′＝4cm，∠D′A′B′＝45°，平行四边形A′B'C′D′的面积为8cm2，则原平面图形ABCD中AD的长度为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 文安县校级期中）已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图．
14．（2023春 弋江区校级期中）（1）画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图，（2）求出原图和直观图的面积．
15．（2023春 肥西县校级期中）如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图．
（1）画出它的原图形；
（2）若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积．
期末热点.重难点 直观图
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 达州期末）如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，求出直观图梯形A'B'C'D'的面积，由直观图与原图的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，四边形A'B'C'D'是梯形，其中A'D'＝2B'C'＝2，A'B'＝1，
其高h＝A′B′×sin45°，
则其面积S′＝（A′D′+B′C′），
则平面图形ABCD的面积S＝2S′＝3；
故选：C．
【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
2．（2024春 越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】平面图形的直观图．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【答案】B
【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积．
【解答】解：在直观图中，∵∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC
∴AD＝1，BC＝1，
∴原来的平面图形上底长为1，下底为1，高为2，
∴平面图形的面积为2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．
3．（2023秋 柯桥区期末）已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'B'＝6，B'C'＝3，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】D
【分析】根据题意，求出矩形A'B'C'D'的面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，
已知A'B'＝6，B'C'＝3，则矩形A'B'C'D'的面积S′＝6×3＝18，
则四边形ABCD的面积S＝2S′＝36．
故选：D．
【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
4．（2024春 东坡区期中）一个水平放置的平面四边形ABCD，用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，O′是A′B′的中点，则原四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．
【考点】由斜二测直观图还原图形．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，由斜二测画法作出原图矩形ABCD，分析原图中AD、BC的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，直观图矩形A'B'C'D'，A′B′＝2，O′是A′B′的中点，∠C′O′B′＝45°，
则A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，
则O′C′，
如图：原图矩形ABCD中，OB＝1，AB＝2，OC＝2O′C′＝2，
则AD＝BC3，
原四边形ABCD的周长l＝2（AB+BC）＝2×（3+2）＝10．
故选：C．
【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
5．（2024秋 徐汇区校级期中）如图，用斜二测画法作△ABC的直观图得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知，在△ABC（D是BC的中点）中，下列结论中正确的是（　　）
A．AB＝BC＝AC B．AD⊥BC
C．AC＞AD＞AB＞BC D．AC＞AD＞AB＝BC
【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；逻辑思维．
【答案】C
【分析】利用斜二测画法的规则结合直角三角形的性质，即可判断得到答案．
【解答】解：根据斜二测画法的规则可知，△ABC为直角三角形且AB＝2BC，AB⊥BC，
则AC＞AD＞AB＞BC．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024春 济阳区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．已知，是两个不共线的向量，，，则与可以作为平面向量的一组基底
B．在△ABC中，b＝11，a＝20，B＝30°，则这样的三角形有两个
C．已知△ABC是边长为2的正三角形，其直观图的面积为
D．已知，，若与的夹角为钝角，则k的取值范围为
【考点】平面图形的直观图；平面向量的基本定理；正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用基底的定义可判断A；利用正弦定理可判断B；利用原图形面积与直观图面积的比值可判断C；利用向量坐标的线性运算求出，再根据夹角为钝角，可得且与（）不平行，求出k的范围可判断D．
【解答】解：对于A，设，是两个不共线的向量，，，
设，（k为常数），即，则，故k不存在，
则与不平行，可作为平面向量的一组基底，A正确；
对于B，在△ABC中，b＝11，a＝20，B＝30°，
因为，可得，
因为a＞b，故A＞B，这样的三角形有两个，故B正确；
对于C，边长为2的正三角形的面积为，
原图面积：直观图面积，
故直观图的面积为，C正确；
对于D，，，故，
若与的夹角为钝角，
则且与（）不平行，
即6k+1＜0且3×2≠﹣4（2k+3），
解得且，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基底的定义，考查了利用正弦定理判断三角形个数，以及平面图形的直观图面积，向量夹角问题，属于中档题．
（多选）7．（2024春 禄劝县校级期中）下列结论正确的是（　　）
A．在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B．用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是
C．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C是异面直线
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BC，AB的中点，P是线段A1D1（不含端点）上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形
【考点】斜二测法画直观图；平面的基本性质及推论；异面直线的判定；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征．
【专题】对应思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据棱柱的性质即可判断A，根据斜二测画法的性质即可求解B，由异面直线的定义即可判断C，根据平面基本性质即可作出截面判断D．
【解答】解：对于A，由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，
对于B，根据斜二测画法的规则可知：直观图中，高，
所以直观图的面积是，故B错误，
对于C，由于在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与B1C既不平行也不相交，所以是异面直线，故C正确，
对于D，延长MN，DA相交于E，连接PE交AA1于点F，同理延长MN，DC交于点H，
由于M，N是中点，所以MN∥AC，AC∥A1C1 A1C1∥MN，
故在平面A1B1C1D1中，作PQ∥A1C1交边C1D1于Q，连接QH交CC1于G，
因此六边形MNFPQG即为所求截面六边形，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查斜二测画法相关知识，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 广东月考）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形ABCD，则（　　）
A．∠ABD的最小值小于15°
B．∠BDC的最大值小于90°
C．|AC|的最小值大于2
D．|BD|的最大值大于4
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：正方形的一条边与x′轴重合时，由斜二测画法的性质，
另一条边与y′轴重合，如图所示：
由于对称性与旋转可换性，图中∠ACB与∠BDC均等价为所求角，
由斜二测画法图形性质知，AB＝CD，BC＝AD＝2，∠CAB+∠ACB＝θ1＝45°，
过A作BC的垂线，则tan∠ACB，
即∠ACB＜15°，故∠ABD的最小值小于15°，选项A正确；
过D作BC的垂线，易有θ2＝45°，
且，
故θ3＞45°，则∠BDC＞90°，∠BDC的最大值大于90°，选项B错误；
设图形绕C点逆时针旋转α，
则，
即
，
其中，则最小值为，
最大值为，选项C错误，选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了斜二测画法应用问题，是中档题．
（多选）9．（2024春 周口期末）如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D'，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．A'B'＝4
C．四边形A'B'C'D'为等腰梯形
D．四边形A'B'C'D'的周长为
【考点】由斜二测直观图还原图形．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】BC
【分析】由题意可画出其直观图，再结合斜二测画法的规则求解即可．
【解答】解：由题意可画出其直观图如下，
其中A'B'∥C'D'，A'B'＝AB＝4，C'D'＝CD＝2，，
故A错误，B正确；
过点D'，C'分别作D'M⊥A'B'，C'N⊥A'B'，垂足分别为点M，N，
故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin45°＝1，NB'＝A'B'﹣C'D'﹣A'M＝1，
故B'C'，则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正确；
故四边形A'B'C'D'的周长为，即D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
10．（2024秋 上海校级期末）如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是直角梯形O′A'B'C'，其中O'A'∥B'C'，∠O'A'B'＝90°，O′A'＝2B'C'＝4，A'B'＝2，则平面图形OABC的面积为 　12　．
【考点】平面图形的直观图．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】12．
【分析】根据给定条件，求出O′C′，再作出水平放置的原平面图形作答．
【解答】解：在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，
显然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′2，
直角梯形O′A′B′C′对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC，
BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4，
所以该平面图形的高为4，
故平面图形OABC的面积为：（2+4）×412．
故答案为：12．
【点评】本题考查了直观图的画法与应用问题，是基础题．
11．（2024秋 闵行区期末）如图，△A'B'C'是用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中OA'＝OB'＝OC'＝1，则△ABC的面积为 　2　．
【考点】斜二测法画直观图．
【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用原图和直观图的对应关系将直观图还原，即可得到原三角形的面积．
【解答】解：如图，根据原图和直观图的对应关系将直观图还原，
则OB＝OC＝1，OA＝2，
△ABC的面积为．
故答案为：2．
【点评】本题考查了直观图，属于基础题．
12．（2024秋 浦东新区期末）如图，若平行四边形A′B′C′D′是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图，已知A′B′＝4cm，∠D′A′B′＝45°，平行四边形A′B'C′D′的面积为8cm2，则原平面图形ABCD中AD的长度为 　4cm　．
【考点】由斜二测直观图还原图形．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】4cm．
【分析】根据题意，分析可得直观图中A′D′的长度，结合斜二测画法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，平行四边形A′B'C′D′中，A′B′＝4cm，∠D′A′B′＝45°，其面积为8cm2，
则有S＝A′B′×A′D′×sin∠D′A′B′＝8cm2，解可得A′D′＝24cm，
在原图中，∠DAB＝90°，AD＝2A′D′＝4cm；
故答案为：4cm．
【点评】本题考查斜二测画法的应用，注意斜二测画法中的长度关系，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024春 文安县校级期中）已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图．
【考点】空间几何体的直观图；斜二测法画直观图．
【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象．
【答案】见解答．
【分析】画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置，利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图，长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的三条棱所在直线为x轴，y轴，z轴．
【解答】解：（1）画轴，如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O（A），使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．
（2）画底面，在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3cm，在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1cm，
过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，
则长方形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．
（3）画侧棱，在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5cm，
过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5cm长的线段BB′，CC′，DD′．
（4）成图，顺次连接A′，B′，C′，D′，工加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），
就得到长方体的直观图．
【点评】本题考查空间几何体的直观图的画法，考查斜二测画法的规则，是中档题．
14．（2023春 弋江区校级期中）（1）画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图，（2）求出原图和直观图的面积．
【考点】平面图形的直观图；斜二测法画直观图．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）见解答过程；（2）9；．
【分析】（1）确定各点对应点的位置，即可求出直观图；
（2）根据面积公式计算能求出结果．
【解答】解：（1）由斜二测法：纵向减半，横向不变，
即可知A，C的对应点为A′（3，1），C′（0，），
而B，D对应点位置不变，即B′（4，0），D′（﹣2，0），
则四边形ABCD的直观图如图：
（2）原图的面积SABCD＝S△ABD+S△ABD9，
直观图的面积SA'B'C'D'＝S△A'B'D'+S△B'C'D'．
【点评】本题考查斜二测法、直观图作法、原图和直观图的面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2023春 肥西县校级期中）如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图．
（1）画出它的原图形；
（2）若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积．
【考点】由斜二测直观图还原图形．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）原图见解析；（2）原图形中AC边上的高为，其面积为．
【分析】（1）根据题意，由斜二测画法分析可得原图，
（2）根据题意，由三角形面积公式求出B'D'的长，结合斜二测画法可得原图中BD的长，计算其面积可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，直观图B′D′∥y′轴，则原图中，BD∥y轴，即BD与x轴垂直，
其原图如图：
（2）由（1）的结论，BD与x轴垂直，原图中，AC边上的高为BD，
若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，则有A'C'×B'D'×sin45°，解可得B'D'，
故原图形中AC边上的高BD，
原图的面积SAC×BD．
【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
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