【期末热点.重难点】同角三角函数的基本关系（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 同角三角函数的基本关系
一．选择题（共5小题）
1．（2025 湖北模拟）已知cosα+2sinα＝m，2cosα﹣sinα＝n，则m2+n2的值为（　　）
A．3 B．5 C． D．
2．（2024秋 广东期末）已知tanθ＝4，则sin2θ﹣3sinθcosθ＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 花都区期末）x是三角形的一个内角，且sinx+cosx，则tanx的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 广州校级期末）已知α是三角形ABC的内角，且，则sinα﹣cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 开福区校级期末）已知，且α是第三象限角，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 广州期末）已知α∈（0，π），sinα+cosα＝m，则（　　）
A．若m＝1，则cosα＝0
B．若，则
C．若，则
D．
（多选）7．（2024秋 高州市期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．（2024秋 牡丹江期末）已知，且α为锐角，则下列选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）9．（2024秋 眉山期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或
B．已知，则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x（x≥2）
C．已知tanα＝3，则
D．已知，0＜x＜π，则
三．填空题（共3小题）
10．（2025 昭通模拟）已知，则sin4θ+cos4θ＝ 　 　．
11．（2024秋 赤峰期末）已知sinα+cosα，α∈（0，π），则（sinα﹣1）（cosα+1）＝　 　．
12．（2024秋 甘肃期末）已知，则4sinαcosα﹣cos2α+1＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 海南校级期末）已知tanα＝2，化简计算下列各式的值．
（1）；
（2）sin2α﹣sinαcosα+1；
（3）．
14．（2024秋 兴化市期末）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
15．（2024秋 武强县校级期末）（1）已知点P（4，﹣3m）在角α的终边上，且，求m，tanα．
（2）已知，求tanα和2sin2α﹣sinαcosα的值．
期末热点.重难点 同角三角函数的基本关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2025 湖北模拟）已知cosα+2sinα＝m，2cosα﹣sinα＝n，则m2+n2的值为（　　）
A．3 B．5 C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】利用平方和（差）公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为cosα+2sinα＝m，2cosα﹣sinα＝n，
则m2+n2＝（cosα+2sinα）2+（2cosα﹣sinα）2
＝cos2α+4sin2α+4sinαcosα+4cos2α+sin2α﹣4sinαcosα
＝1+4
＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了平方和（差）公式以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
2．（2024秋 广东期末）已知tanθ＝4，则sin2θ﹣3sinθcosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】B
【分析】齐次化变形，代入求解即可．
【解答】解：因为tanθ＝4，
所以sin2θ﹣3sinθcosθ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
3．（2024秋 花都区期末）x是三角形的一个内角，且sinx+cosx，则tanx的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：联立，解得，，
∵x是三角形的一个内角，
∴sinx＞0，
因此取，
∴tanx．
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、三角函数在各个象限的符号，考查了计算能力，属于基础题．
4．（2024秋 广州校级期末）已知α是三角形ABC的内角，且，则sinα﹣cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得2sinαcosα0，结合α是三角形ABC的内角，可得sinα＞0，cosα＜0，利用同角三角函数基本关系式，平方差公式可求sinα﹣cosα的值．
【解答】解：因为，两边平方，可得1+2sinαcosα，解得2sinαcosα0，
又因为α是三角形ABC的内角，
所以sinα＞0，cosα＜0，
所以sinα﹣cosα．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，平方差公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想和方程思想的应用，属于基础题．
5．（2024秋 开福区校级期末）已知，且α是第三象限角，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合同角平方关系即可求解．
【解答】解：因为，且α是第三象限角，
则sinα．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角平方关系的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 广州期末）已知α∈（0，π），sinα+cosα＝m，则（　　）
A．若m＝1，则cosα＝0
B．若，则
C．若，则
D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据题意可得.对于A：可得sinαcosα＝0，即可得结果；对于B：分析可知sinα，cosα为方程的根，即可得结果；对于C：，结合（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα运算求解即可；对于D：举反例说明即可．
【解答】解：由题意，将已知等式两边平方，可得（sinα+cosα）2＝sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+2sinαcosα＝m2，
可得，
又α∈（0，π），则sinα＞0．
对于选项A：若m＝1，则sinαcosα＝0，所以cosα＝0，故A正确；
对于选项B：若，则，，
可知sinα，cosα为方程的根，
又因为的根为，所以，故B正确；
对于选项C：若，则，
可得，
且sinα＞0，cosα＜0，可知sinα﹣cosα＞0，所以，故C正确；
对于选项D：例如，则，故D错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 高州市期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断；对于B，结合选项A中结论即可判断；对于D，利用选项C中的结论求得sinθ，cosθ进而求得tanθ，再根据二倍角的正切公式即可求解．
【解答】解：由①，等式①两边取平方得，∴②，故A正确；
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，由②，cosθ＜0，∴，故B正确；
∴③，故C错误；
①③联立解得sin，cosθ，
所以，，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
（多选）8．（2024秋 牡丹江期末）已知，且α为锐角，则下列选项中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，并结合α为锐角求解即可．
【解答】解：因为，
所以2sinαcosα，即sinαcosα，故A正确，
所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，
因为a为锐角，所以sinα+cosα，故B正确，
所以sinα，cosα，
所以tanα1，故D正确，
所以α∈（，），故C错误．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
（多选）9．（2024秋 眉山期末）下列说法正确的是（　　）
A．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为或
B．已知，则f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x（x≥2）
C．已知tanα＝3，则
D．已知，0＜x＜π，则
【考点】同角三角函数间的基本关系；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】结合二次不等式与二次方程的转化关系检验选项A，结合换元法检验选项B；结合同角基本关系检验选项CD即可．
【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，
所以﹣2和3为ax2+bx+c＝0的两根，即，
所以b＝﹣a，c＝﹣6a，
所以不等式cx2﹣bx+a＜0可化为﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＜0，
解得，A错误；
令t2，t≥2，则x＝（t﹣2）2，
因为，
所以f（t）＝（t﹣2）2+2（t﹣2）＝t2﹣2t，
则f（x）＝x2﹣2x，x≥2，B正确；
因为tanα＝3，，C正确；
因为，0＜x＜π，
所以1+2sinxcosxm即2sinxcosx，
所以sinx＞0，cosx＜0，sinx﹣cosx＞0，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，函数解析式的求解，同角基本关系的应用，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 昭通模拟）已知，则sin4θ+cos4θ＝ 　　．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由已知先求出tanθ，然后结合同角基本关系进行化简即可求解．
【解答】解：因为，
所以tanθ，
则sin4θ+cos4θ＝
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
11．（2024秋 赤峰期末）已知sinα+cosα，α∈（0，π），则（sinα﹣1）（cosα+1）＝　　．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意，根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，先求出sinα、cosα的值，可得要求式子的值．
【解答】解：∵sinα+cosα，α∈（0，π），∴1+2sinαcosα，
∴sinαcosα0，∴α为钝角，sinα＞0，cosα＜0．
再根据sin2α+cos2α＝1，求得sinα，cosα，
则（sinα﹣1）（cosα+1）＝（1）（1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
12．（2024秋 甘肃期末）已知，则4sinαcosα﹣cos2α+1＝ 　　．
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】．
【分析】将所求因式的二次项部分除以sin2α+cos2α，把分式的分子分母同时除以cos2α，把代入求解即可．
【解答】解：因为tanα，所以cosα≠0，
又因为sin2α+cos2α＝1，
所以4sinαcosα﹣cos2α+1
．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数求值运算问题，是基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 海南校级期末）已知tanα＝2，化简计算下列各式的值．
（1）；
（2）sin2α﹣sinαcosα+1；
（3）．
【考点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；
（3）﹣2．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系弦化切，可得正弦余弦齐次式，再代入tanα＝2可得结果．
（2）将分母1化为正弦与余弦的平方和，弦化切，可得正弦余弦齐次式，再代入tanα＝2可得结果
（3）利用诱导公式、同角三角函数化简，结合tanα＝2可得答案．
【解答】解：（1）tanα＝2，
原式．
（2）sin2α﹣sinαcosα+1．
（3）
．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
14．（2024秋 兴化市期末）（1）已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）解方程2x2+x﹣1＝0，求出tanα，利用同角三角函数关系式能求出结果．
（2）由，且α∈（0，π），得2sinαcosα，从而cos﹣sinα，再由，能求出结果．
【解答】解：（1）解方程2x2+x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2，
∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1＝0的一个实根，且α是第一象限角，
∴tanα，
∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α
．
（2）∵，且α∈（0，π），
∴（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，
∴2sinαcosα，
∵α∈（0，π），∴α∈（，π），
∴cos﹣sinα，
∴．
【点评】本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、韦达 定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2024秋 武强县校级期末）（1）已知点P（4，﹣3m）在角α的终边上，且，求m，tanα．
（2）已知，求tanα和2sin2α﹣sinαcosα的值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）m＝﹣1；；（2）tanα＝2，．
【分析】（1）由题意利用三角函数定义可求m的值，进而可求tanα的值；
（2）由已知化弦为切求得tanα，再把2sin2α﹣sinαcosα化弦为切求值．
【解答】解：（1）因为点p（4，﹣3m）角α的终边上，且，
根据三角函数定义，则m＜0，
解得m＝﹣1或m＝1（舍），
所以．
（2）由，得，解得tanα＝2，
sin2α+cos2α＝1，
则．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
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