期末热点.重难点 同角三角函数的基本关系
一.选择题(共5小题)
1.(2025 湖北模拟)已知cosα+2sinα=m,2cosα﹣sinα=n,则m2+n2的值为( )
A.3 B.5 C. D.
2.(2024秋 广东期末)已知tanθ=4,则sin2θ﹣3sinθcosθ=( )
A. B. C. D.
3.(2024秋 花都区期末)x是三角形的一个内角,且sinx+cosx,则tanx的值为( )
A. B. C. D.
4.(2024秋 广州校级期末)已知α是三角形ABC的内角,且,则sinα﹣cosα的值为( )
A. B. C. D.
5.(2024秋 开福区校级期末)已知,且α是第三象限角,则sinα=( )
A. B. C. D.
二.多选题(共4小题)
(多选)6.(2024秋 广州期末)已知α∈(0,π),sinα+cosα=m,则( )
A.若m=1,则cosα=0
B.若,则
C.若,则
D.
(多选)7.(2024秋 高州市期末)已知,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
(多选)8.(2024秋 牡丹江期末)已知,且α为锐角,则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
(多选)9.(2024秋 眉山期末)下列说法正确的是( )
A.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣2<x<3},则不等式cx2﹣bx+a<0的解集为或
B.已知,则f(x)的解析式为f(x)=x2﹣2x(x≥2)
C.已知tanα=3,则
D.已知,0<x<π,则
三.填空题(共3小题)
10.(2025 昭通模拟)已知,则sin4θ+cos4θ= .
11.(2024秋 赤峰期末)已知sinα+cosα,α∈(0,π),则(sinα﹣1)(cosα+1)= .
12.(2024秋 甘肃期末)已知,则4sinαcosα﹣cos2α+1= .
四.解答题(共3小题)
13.(2024秋 海南校级期末)已知tanα=2,化简计算下列各式的值.
(1);
(2)sin2α﹣sinαcosα+1;
(3).
14.(2024秋 兴化市期末)(1)已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1=0的一个实根,且α是第一象限角,求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值;
(2)已知,且α∈(0,π),求的值.
15.(2024秋 武强县校级期末)(1)已知点P(4,﹣3m)在角α的终边上,且,求m,tanα.
(2)已知,求tanα和2sin2α﹣sinαcosα的值.
期末热点.重难点 同角三角函数的基本关系
参考答案与试题解析
一.选择题(共5小题)
1.(2025 湖北模拟)已知cosα+2sinα=m,2cosα﹣sinα=n,则m2+n2的值为( )
A.3 B.5 C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】B
【分析】利用平方和(差)公式以及同角三角函数基本关系式即可求解.
【解答】解:因为cosα+2sinα=m,2cosα﹣sinα=n,
则m2+n2=(cosα+2sinα)2+(2cosα﹣sinα)2
=cos2α+4sin2α+4sinαcosα+4cos2α+sin2α﹣4sinαcosα
=1+4
=5.
故选:B.
【点评】本题考查了平方和(差)公式以及同角三角函数基本关系式的应用,属于基础题.
2.(2024秋 广东期末)已知tanθ=4,则sin2θ﹣3sinθcosθ=( )
A. B. C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】整体思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】B
【分析】齐次化变形,代入求解即可.
【解答】解:因为tanθ=4,
所以sin2θ﹣3sinθcosθ.
故选:B.
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,属于基础题.
3.(2024秋 花都区期末)x是三角形的一个内角,且sinx+cosx,则tanx的值为( )
A. B. C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】三角函数的求值.
【答案】C
【分析】利用同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解:联立,解得,,
∵x是三角形的一个内角,
∴sinx>0,
因此取,
∴tanx.
故选:C.
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、三角函数在各个象限的符号,考查了计算能力,属于基础题.
4.(2024秋 广州校级期末)已知α是三角形ABC的内角,且,则sinα﹣cosα的值为( )
A. B. C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题;方程思想;转化法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】D
【分析】将已知等式两边平方,利用同角三角函数基本关系式可求得2sinαcosα0,结合α是三角形ABC的内角,可得sinα>0,cosα<0,利用同角三角函数基本关系式,平方差公式可求sinα﹣cosα的值.
【解答】解:因为,两边平方,可得1+2sinαcosα,解得2sinαcosα0,
又因为α是三角形ABC的内角,
所以sinα>0,cosα<0,
所以sinα﹣cosα.
故选:D.
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,平方差公式在三角函数求值中的应用,考查了转化思想和方程思想的应用,属于基础题.
5.(2024秋 开福区校级期末)已知,且α是第三象限角,则sinα=( )
A. B. C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】整体思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】D
【分析】由已知结合同角平方关系即可求解.
【解答】解:因为,且α是第三象限角,
则sinα.
故选:D.
【点评】本题主要考查了同角平方关系的应用,属于基础题.
二.多选题(共4小题)
(多选)6.(2024秋 广州期末)已知α∈(0,π),sinα+cosα=m,则( )
A.若m=1,则cosα=0
B.若,则
C.若,则
D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】ABC
【分析】根据题意可得.对于A:可得sinαcosα=0,即可得结果;对于B:分析可知sinα,cosα为方程的根,即可得结果;对于C:,结合(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα运算求解即可;对于D:举反例说明即可.
【解答】解:由题意,将已知等式两边平方,可得(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=m2,
可得,
又α∈(0,π),则sinα>0.
对于选项A:若m=1,则sinαcosα=0,所以cosα=0,故A正确;
对于选项B:若,则,,
可知sinα,cosα为方程的根,
又因为的根为,所以,故B正确;
对于选项C:若,则,
可得,
且sinα>0,cosα<0,可知sinα﹣cosα>0,所以,故C正确;
对于选项D:例如,则,故D错误;
故选:ABC.
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用,考查了方程思想,属于基础题.
(多选)7.(2024秋 高州市期末)已知,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】整体思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】ABD
【分析】对于AC,利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可判断;对于B,结合选项A中结论即可判断;对于D,利用选项C中的结论求得sinθ,cosθ进而求得tanθ,再根据二倍角的正切公式即可求解.
【解答】解:由①,等式①两边取平方得,∴②,故A正确;
∵θ∈(0,π),∴sinθ>0,由②,cosθ<0,∴,故B正确;
∴③,故C错误;
①③联立解得sin,cosθ,
所以,,故D正确.
故选:ABD.
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,属于基础题.
(多选)8.(2024秋 牡丹江期末)已知,且α为锐角,则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】ABD
【分析】根据(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,并结合α为锐角求解即可.
【解答】解:因为,
所以2sinαcosα,即sinαcosα,故A正确,
所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,
因为a为锐角,所以sinα+cosα,故B正确,
所以sinα,cosα,
所以tanα1,故D正确,
所以α∈(,),故C错误.
故选:ABD.
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用,考查了方程思想,属于基础题.
(多选)9.(2024秋 眉山期末)下列说法正确的是( )
A.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣2<x<3},则不等式cx2﹣bx+a<0的解集为或
B.已知,则f(x)的解析式为f(x)=x2﹣2x(x≥2)
C.已知tanα=3,则
D.已知,0<x<π,则
【考点】同角三角函数间的基本关系;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】整体思想;综合法;函数的性质及应用;三角函数的求值;不等式的解法及应用;运算求解.
【答案】BC
【分析】结合二次不等式与二次方程的转化关系检验选项A,结合换元法检验选项B;结合同角基本关系检验选项CD即可.
【解答】解:因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|﹣2<x<3},
所以﹣2和3为ax2+bx+c=0的两根,即,
所以b=﹣a,c=﹣6a,
所以不等式cx2﹣bx+a<0可化为﹣6ax2+ax+a<0,即6x2﹣x﹣1<0,
解得,A错误;
令t2,t≥2,则x=(t﹣2)2,
因为,
所以f(t)=(t﹣2)2+2(t﹣2)=t2﹣2t,
则f(x)=x2﹣2x,x≥2,B正确;
因为tanα=3,,C正确;
因为,0<x<π,
所以1+2sinxcosxm即2sinxcosx,
所以sinx>0,cosx<0,sinx﹣cosx>0,D错误.
故选:BC.
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用,函数解析式的求解,同角基本关系的应用,属于中档题.
三.填空题(共3小题)
10.(2025 昭通模拟)已知,则sin4θ+cos4θ= .
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】整体思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】.
【分析】由已知先求出tanθ,然后结合同角基本关系进行化简即可求解.
【解答】解:因为,
所以tanθ,
则sin4θ+cos4θ=
.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,属于基础题.
11.(2024秋 赤峰期末)已知sinα+cosα,α∈(0,π),则(sinα﹣1)(cosα+1)= .
【考点】同角三角函数间的基本关系;三角函数的恒等变换及化简求值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】.
【分析】由题意,根据同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,先求出sinα、cosα的值,可得要求式子的值.
【解答】解:∵sinα+cosα,α∈(0,π),∴1+2sinαcosα,
∴sinαcosα0,∴α为钝角,sinα>0,cosα<0.
再根据sin2α+cos2α=1,求得sinα,cosα,
则(sinα﹣1)(cosα+1)=(1)(1).
故答案为:.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
12.(2024秋 甘肃期末)已知,则4sinαcosα﹣cos2α+1= .
【考点】同角三角函数间的基本关系.
【专题】转化思想;定义法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】.
【分析】将所求因式的二次项部分除以sin2α+cos2α,把分式的分子分母同时除以cos2α,把代入求解即可.
【解答】解:因为tanα,所以cosα≠0,
又因为sin2α+cos2α=1,
所以4sinαcosα﹣cos2α+1
.
故答案为:.
【点评】本题考查了三角函数求值运算问题,是基础题.
四.解答题(共3小题)
13.(2024秋 海南校级期末)已知tanα=2,化简计算下列各式的值.
(1);
(2)sin2α﹣sinαcosα+1;
(3).
【考点】同角三角函数间的基本关系;运用诱导公式化简求值.
【专题】整体思想;综合法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】(1);
(2);
(3)﹣2.
【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系弦化切,可得正弦余弦齐次式,再代入tanα=2可得结果.
(2)将分母1化为正弦与余弦的平方和,弦化切,可得正弦余弦齐次式,再代入tanα=2可得结果
(3)利用诱导公式、同角三角函数化简,结合tanα=2可得答案.
【解答】解:(1)tanα=2,
原式.
(2)sin2α﹣sinαcosα+1.
(3)
.
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,属于基础题.
14.(2024秋 兴化市期末)(1)已知tanα是关于x的方程2x2+x﹣1=0的一个实根,且α是第一象限角,求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值;
(2)已知,且α∈(0,π),求的值.
【考点】同角三角函数间的基本关系;三角函数的恒等变换及化简求值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值;逻辑思维;运算求解.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)解方程2x2+x﹣1=0,求出tanα,利用同角三角函数关系式能求出结果.
(2)由,且α∈(0,π),得2sinαcosα,从而cos﹣sinα,再由,能求出结果.
【解答】解:(1)解方程2x2+x﹣1=0,得x1=﹣1,x2,
∵tanα是关于x的方程2x2+x﹣1=0的一个实根,且α是第一象限角,
∴tanα,
∴3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α
.
(2)∵,且α∈(0,π),
∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,
∴2sinαcosα,
∵α∈(0,π),∴α∈(,π),
∴cos﹣sinα,
∴.
【点评】本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、韦达 定理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
15.(2024秋 武强县校级期末)(1)已知点P(4,﹣3m)在角α的终边上,且,求m,tanα.
(2)已知,求tanα和2sin2α﹣sinαcosα的值.
【考点】同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义.
【专题】转化思想;转化法;三角函数的求值;运算求解.
【答案】(1)m=﹣1;;(2)tanα=2,.
【分析】(1)由题意利用三角函数定义可求m的值,进而可求tanα的值;
(2)由已知化弦为切求得tanα,再把2sin2α﹣sinαcosα化弦为切求值.
【解答】解:(1)因为点p(4,﹣3m)角α的终边上,且,
根据三角函数定义,则m<0,
解得m=﹣1或m=1(舍),
所以.
(2)由,得,解得tanα=2,
sin2α+cos2α=1,
则.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
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