【期末热点.重难点】正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识（含解析）2024-2025学年北师大版（2019）必修第二册数学高一下册

期末热点.重难点 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 福州期末）已知函数的图像与y轴交点的纵坐标为，且在区间（π，2π）上无最大值，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 龙岗区校级期末）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0），其图象相邻对称轴的距离为，则ω＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024秋 青海期末）函数的单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2024秋 咸阳期末）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝|cosx|，h（x）＝f（x）+g（x），则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）g（x）不是中心对称图形
B．函数h（x）在[0，2π]上只有1个零点
C．函数h（x）在[0，2π]上有2个零点
D．函数y＝f（g（x））的最大值为1
5．（2024秋 黔东南州期末）设函数f（x）＝﹣2sinωxsin（ωx）（0＜ω＜5）图象的一条对称轴方程为，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 泉州期末）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）在区间上的取值范围为
D．使得成立的x的取值集合为
（多选）7．（2024秋 灌南县期末）设函数，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（　　）
A．①② ③④ B．②③ ①④ C．①③ ②④ D．①④ ②③
（多选）8．（2024秋 福州期末）已知函数f（x）＝cosx，g（x）＝sin2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）的图象存在相同的对称轴
B．f（x）与g（x）的值域相同
C．f（x）与g（x）存在相同的零点
D．f（x）与g（x）的最小正周期相同
（多选）9．（2024秋 广东期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝cos2x C．y＝cosx D．y＝﹣|sinx|
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西模拟）若函数在区间上单调递增，且f（x）在区间上恰有一个极大值点，则ω＝ 　 　．
11．（2024秋 东城区校级期末）已知函数f（x）＝sin（x+φ）（φ＞0），若，则φ的一个取值为 　 　．
12．（2025 厦门模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象经过两点，若f（x）在区间上单调递减，则ω＝ 　 　；φ＝ 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 阜宁县期末）已知f（x）＝2sin（x+φ）（），对任意都有．
（1）求φ的值；
（2）若当x∈（0，π）时方程f（x）+m＝0有唯一实根，求m的范围．
14．（2024秋 沧州期末）已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）用“五点法”画出f（x）在一个周期内的图象．
15．（2024秋 天河区校级期末）已知的最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值．
期末热点.重难点 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 福州期末）已知函数的图像与y轴交点的纵坐标为，且在区间（π，2π）上无最大值，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】计算题；整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】D
【分析】由图像与y轴交点求出φ，由函数在区间（π，2π）上有最大值，求出ω的取值范围，从而知道函数在区间（π，2π）上无最大值时ω的取值范围．
【解答】解：由题意可得，
又，
得，
所以，
由，解得，k∈Z，
f（x）在区间（π，2π）上存在最大值，则，解得，k∈Z，
可得ω∈，
所以若f（x）在（π，2π）上无最大值，ω的取值范围为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
2．（2024秋 龙岗区校级期末）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0），其图象相邻对称轴的距离为，则ω＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】余弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】对于函数y＝Acos（ωx+φ），相邻对称轴之间的距离是半个周期，我们可以先根据已知条件求出周期T，再利用周期公式来求解ω的值．
【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）图象相邻对称轴的距离为，
因为相邻对称轴之间的距离是半个周期，所以，那么周期T＝π，
周期公式，则π，解得ω＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的性质，属于基础题．
3．（2024秋 青海期末）函数的单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学建模．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数，然后利用正弦型函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵
，
∴f（x）单调递减区间：，
解得，，
则f（x）的单调递减区间是．
故选：A．
【点评】本题考查正弦型函数单调性，属于基础题．
4．（2024秋 咸阳期末）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝|cosx|，h（x）＝f（x）+g（x），则下列说法正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）g（x）不是中心对称图形
B．函数h（x）在[0，2π]上只有1个零点
C．函数h（x）在[0，2π]上有2个零点
D．函数y＝f（g（x））的最大值为1
【考点】正弦函数的图象；函数图象的简单变换．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】通过判别y＝f（x）g（x）的奇偶性可判别A；分情况求函数h（x）的零点可判别B、C；通过求复合函数的值域可判别D．
【解答】解：A项．函数f（x）＝sinx，g（x）＝|cosx|，f（x）g（x）＝sinx |cosx|，
f（﹣x）g（﹣x）＝sin（﹣x） |cos（﹣x）|＝﹣sinx |cosx|＝﹣f（x）g（x），故f（x）g（x）为奇函数，
所以y＝f（x）g（x）是中心对称图形，故A不正确；
B项，C项．当时，h（x）＝sinx+cosx，令h（x）＝0，得tanx＝﹣1，解得；
当时，h（x）＝sinx﹣cosx，令h（x）＝0，得tanx＝1，解得．
所以函数h（x）在[0，2π]上有2个零点，故B不正确，C正确；
D项．令t＝g（x），因为，而f（t）＝sint在上单调递增，
所以y＝f（g（x））≤f（1）＝sin1，即函数y＝f（g（x））的最大值为sin1．故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了复合函数的值域，属于基础题．
5．（2024秋 黔东南州期末）设函数f（x）＝﹣2sinωxsin（ωx）（0＜ω＜5）图象的一条对称轴方程为，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】首先由三角恒等变换化简f（x），由已知对称轴方程以及ω的范围可得ω的值，结合正弦函数的性质可知|x1﹣x2|的最小值为即可求解．
【解答】解：
，
故．
f（x）图象的一条对称轴方程为，
故，可得ω＝1+6k（k∈Z），
因为0＜ω＜5，所以k＝0，ω＝1，所以，
所以若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则得到．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．（2024秋 泉州期末）已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）在区间上单调递增
C．f（x）在区间上的取值范围为
D．使得成立的x的取值集合为
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】已知三角函数解析式，得到ω即可得到函数周期，判断A选项；令解得区间即是函数单调递增区间，从而判断出B选项：由单调区间可以求得函数在区间上的值域，判断C选项；先求出的解，由函数单调性即可得到的解集，判断D选项．
【解答】解：已知函数，
由解析式知道ω＝2，则周期，故A选项正确；
令，解得，
∴f（x）在区间上单调递增，在上递减，故B选项错误；
当时，，即，故C选项正确；
令，解得或，
由函数单调性可知成立的x的取值集合为，故D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 灌南县期末）设函数，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（　　）
A．①② ③④ B．②③ ①④ C．①③ ②④ D．①④ ②③
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据每个选项中的条件求出函数f（x）的解析式，再结合正弦性函数的基本性质判断结论即可．
【解答】解：对于A选项，①② ③④，
由①可得，f（x）＝sin（2x+φ），
由②可得，解得，
因为，则，则，
对于③，，③对，
对于④，当时，，
所以，函数f（x）在区间上是增函数，④对，故A中的命题成立；
对于C选项，①③ ②④，
由①可得，f（x）＝sin（2x+φ），
由③可得，可得，
因为，则，则，
对于②，因为，
所以，函数f（x）的图象关于直线成轴对称图形，②对，
对于④，当时，，
所以，函数f（x）在区间上是增函数，④对，故C中的命题为真命题；
对于B选项，②③ ①④，由②③无法确定函数f（x）的最小正周期，从而①④无法判断，
故B中的命题不成立；
对于D选项，①④ ②③，
由①可得，f（x）＝sin（2x+φ），
由④，当时，，
因为，则，
因为函数f（x）在区间上是增函数，
则，解得，无法确定φ的值，此时，命题②③无法判断，故D中的命题为假命题．
故选：AC．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
（多选）8．（2024秋 福州期末）已知函数f（x）＝cosx，g（x）＝sin2x，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）的图象存在相同的对称轴
B．f（x）与g（x）的值域相同
C．f（x）与g（x）存在相同的零点
D．f（x）与g（x）的最小正周期相同
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；余弦函数的定义域和值域；正弦函数的定义域和值域．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据正余弦函数的性质判断A、B、D；特殊值法有为共同零点判断C．
【解答】解：对于f（x）＝cosx对称轴为x＝kπ，k∈Z，
对于g（x）＝sin2x对称轴为，
若存在相同的对称轴，则，而k﹣k1∈Z，
所以不可能成立，A错；
f（x）＝cosx、g（x）＝sin2x值域均为[﹣1，1]，最小正周期分别为2π，π，B对，D错；
f（）＝g（）＝0，显然为f（x）与g（x）共同零点，C对．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了正弦函数及余弦函数性质的综合应用，属于中档题．
（多选）9．（2024秋 广东期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝cos2x C．y＝cosx D．y＝﹣|sinx|
【考点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性；三角函数的周期性．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据三角函数的性质及复合函数的性质判断．
【解答】解：对于A，根据三角函数性质，y＝tanx在区间上单调递增，但是奇函数，故A错误；
对于B，根据三角函数性质，y＝cos2x在上单调递增，且是偶函数，故B正确；
对于C，根据三角函数性质，y＝cosx在上单调递减，是偶函数，故C错误；
对于D，根据三角函数性质，y＝﹣|sinx|在上单调递增，是偶函数，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查三角函数的性质及复合函数的性质，属于中档题．
三．填空题（共3小题）
10．（2025 江西模拟）若函数在区间上单调递增，且f（x）在区间上恰有一个极大值点，则ω＝ 　2　．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】2．
【分析】先利用辅助角公式进行化简，由已知结合正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：由题可得，
令，得，令，得，
由题意可得，，
又f（x）在区间上恰有一个极大值点，
∴，∴ω＞1，
又∵ω∈N*，∴ω＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
11．（2024秋 东城区校级期末）已知函数f（x）＝sin（x+φ）（φ＞0），若，则φ的一个取值为 　（答案不唯一）．　．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】由题意，利用诱导公式、两角和差的正弦公式，求出tanφ的值，可得φ的一个取值．
【解答】解：对于函数f（x）＝sin（x+ω）（φ＞0），若，
则sin（φ）＝sin（φ）＝cosφ，
即sinφcosφ＝cosφ．
化简可得tanφ，则φ的一个取值为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
12．（2025 厦门模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象经过两点，若f（x）在区间上单调递减，则ω＝ 　　；φ＝ 　　．
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】；．
【分析】由题意可得关于ω，φ的方程组，可得ω，φ的值．
【解答】解：函数过两点，若f（x）在区间上单调递减，
可得，且|φ|＜π，解得ω，φ．
故答案为：；．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法及三角函数的性质的应用，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
13．（2024秋 阜宁县期末）已知f（x）＝2sin（x+φ）（），对任意都有．
（1）求φ的值；
（2）若当x∈（0，π）时方程f（x）+m＝0有唯一实根，求m的范围．
【考点】正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知条件可得的图象关于直线对称，则，再结合φ的范围可求得结果；
（2）令，则，由y＝2sint的单调性，将问题转化为y＝2sint与y＝﹣m的图象有一个交点，结合图象从而可求出m的范围；
【解答】解：（1）f（x）＝2sin（x+φ）（），对任意x∈R都有，
则函数f（x）的图象关于直线对称，
所以，k∈Z，而，则k＝0，，所以．
（2），当x∈（0，π）时，设，
y＝2sint在为增函数，在为减函数，
所以方程f（x）+m＝0有唯一实根，
等价于y＝2sint与y＝﹣m的图象有一个交点，
由图象可知或﹣m＝2，
所以或m＝﹣2，
所以m的范围是．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
14．（2024秋 沧州期末）已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）用“五点法”画出f（x）在一个周期内的图象．
【考点】五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）见解答过程．
【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用“五点法”即可绘制函数图象．
【解答】解：（1）已知函数，
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递减区间是[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）已知，
列表如下：
x
2x 0 π 2π
0 4 0 ﹣4 0
描点，连线，可得函数f（x）在一个周期的图象如下：
【点评】本题考查了五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象以及正弦函数的单调性，考查了函数思想和数形结合思想，属于基础题．
15．（2024秋 天河区校级期末）已知的最小正周期为π．
（1）求ω的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值．
【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）ω＝1，；
（2）2．
【分析】（1）根据条件求出ω，然后根据正弦函数的单调性可求出答案；
（2）首先求出2x的范围，然后可得答案．
【解答】解：（1）由的最小正周期为π，得，
∵ω＞0，
∴ω＝1，，
由得，
故f（x）的单调递增区间为．
（2）因为，
所以，
所以当，即时，f（x）取得最大值2．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
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