第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[考试要求] 1．会推导两角差的余弦公式. 2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝____________________________；
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝____________________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝____________________________；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝__________________________；
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝__；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝__．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝___________＝___________；
(3)tan2α＝__．
[常用结论]
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sinαsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)．
2．二倍角余弦公式变形——降幂公式：
sin2α＝，cos2α＝．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( )
(2)在锐角三角形ABC中，sin A sin B和cos A cos B的大小关系不确定． ( )
(3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )
(4)sin α＋cos α＝2sin . ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．(多选)(人教A版必修第一册P223练习T5改编)下列各式的值为的是( )
A．sin cos B．cos2－sin2
C． D．2cos222.5°－1
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点一 和、差、倍角公式的直接应用
[典例1] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－
C． D．3m
(2)(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P，则( )
A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－
C．cos＝ D．tan＝
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
应用公式化简求值的策略
(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[跟进训练]
1．(1)已知＝2，则tan θ＝( )
A． B．－
C．－ D．
(2)已知tan (α＋β)＝2(tan α＋tan β)，且tan α＋tan β≠0，cos ＝，则cos ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(3)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝________．
考点二 公式的逆用与变形
[典例2] (多选)下列等式成立的有( )
A．sin2＝
B．tan80°－tan 35°－tan 80°tan 35°＝1
C．cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝
D．＝
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式．
[跟进训练]
2．(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )
A．－ B．
C． D．－
(2)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
考点三 角的变换问题
[典例3] (1)(2025·湖北武汉模拟)已知sin α＝2sin ，且tan β＝2，则tan ＝( )
A．－6 B．－2
C．2 D．6
(2)已知0<α<，cos ＝.
①求sin α的值；
②若－<β<0，cos ＝，求α－β的值．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝.
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟进训练]
3．设α∈，满足sin α＋cos α＝.
(1)求cos 的值；
(2)求cos 的值．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
梳理·必备知识
1．(1)cos αcos β＋sin αsin β (2)cos αcos β－sin αsin β (3)sin αcos β－cos αsin β
(4)sin αcos β＋cos αsin β (5) (6)
2．(2)2cos2α－1 1－2sin2α (3)
激活·基本技能
一、(1)√ (2)× (3)× (4)×
二、1.C [∵α是第三象限角，
∴sinα＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin .]
2．D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D.]
3．BD [对于A，sin cos sin sin ，不符合题意；对于B，cos2－sin2＝cos，符合题意；对于C，tantan ，不符合题意；对于D，2cos222.5°－1＝cos45°＝，符合题意．故选BD.]
4． [∵tan 60°＝tan (10°＋50°)
＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝tan 10°tan 50°，
∴原式＝tan 10°tan 50°＋tan 10°·tan 50°＝.]
考点一
典例1 (1)A (2)ABD [(1)因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m.
故选A.
(2)因为角θ的终边过点P，
所以cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝，
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×，
tan 2θ＝，故A和B正确；
因为2kπ<θ<2kπ＋，
所以kπ<所以tan>0，但cos>0或cos <0均满足题意，故C错误；
由tan θ＝，
得2tan2＋3tan－2＝0，
解得tan＝－2(舍去)或tan ，故D正确．故选ABD.]
跟进训练
1．(1)C (2)C (3)5 [(1)由＝＝
＝tan ＝2，∴tan θ＝＝＝－.故选C.
(2)由题意可得tan＝＝2，
因为tan α＋tan β≠0，所以tan αtan β＝，
由
得
故cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，
所以cos ＝cos ＝2cos2－1＝－.故选C.
(3)因为sin(α＋β)＝，sin (α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5.]
考点二
典例2 BD [对于A，sin2＝－＝－cos＝－，A错误；
对于B，因为tan 45°＝tan
＝＝1，
所以tan 80°－tan 35°－tan 80°tan 35°＝tan 80°tan 35°＋1－tan 80°tan 35°＝1，B正确；
对于C，cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°
＝
＝＝
＝＝，C错误；
对于D，
＝
＝
＝＝，D正确．故选BD.]
跟进训练
2．(1)B (2)D [(1)由tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos (50°－127°)＝cos (－77°)
＝cos 77°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)
＝sin 56°－cos 56°
＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
c＝
＝cos239°－sin239°
＝cos78°＝sin 12°.
因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin x单调递增，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.]
考点三
典例3 (1)A [由题sin α＝2sin ，
则sin ＝2sin ，
sin cos β－cos sin β＝2sin cos β＋2cos sin β，
sin cos β＝－3cos sin β，
tan ＝－3tan β＝－6.故选A.]
(2)[解] ①因为0<α<，所以<α＋<，
又cos ＝，
所以sin ＝＝，
所以sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝＝.
②因为cos ＝，
所以sin β＝cos ＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－，
又因为－<β<0，所以cosβ＝＝，
由①知，cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝，
所以cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝.
因为0<α<，－<β<0，则0<α－β<π，所以α－β＝.
跟进训练
3．解：(1)∵α∈，满足sin α＋cos α＝＝2sin ，
∴sin ＝.
又∵<α＋<，
∴cos ＝＝.
(2)∵cos＝2cos2－1＝，
sin＝2×＝，
∴cos ＝cos
＝cos cos －sin sin
＝＝.
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第四章
三角函数与解三角形
第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[考试要求] 1．会推导两角差的余弦公式.
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．
链接教材·夯基固本
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝_______________________；
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_______________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_______________________；
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_______________________；
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsinβ
(5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝_______________；
(6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝_______________．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝___________＝___________；
(3)tan2α＝___________．
2cos2α－1
1－2sin2α
[常用结论]
1．两角和与差的公式的常用变形
(1)sinαsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)．
2．二倍角余弦公式变形——降幂公式：
sin2α＝，cos2α＝．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( )
(2)在锐角三角形ABC中，sin A sin B和cos A cos B的大小关系不确定． ( )
(3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )
(4)sin α＋cos α＝2sin . ( )
√
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于( )
A．－ B． C．－ D．
C [∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－＝－.]
2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cos 10°－
cos 160°sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
√
D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋
cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D.]
3．(多选)(人教A版必修第一册P223练习T5改编)下列各式的值为的是( )
A．sin cos B．cos2－sin2
C． D．2cos222.5°－1
√
√
BD [对于A，sincos ＝sin ＝sin ＝，不符合题意；对于B，cos2－sin2＝cos＝，符合题意；对于C，＝tan＝tan ＝，不符合题意；对于D，2cos222.5°－1＝cos45°＝，符合题意．故选BD.]
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T12(2)改编)tan 10°＋
tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________．
[∵tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 10°·tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.]
考点一 和、差、倍角公式的直接应用
[典例1] (1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－
C． D．3m
典例精研·核心考点
√
(2)(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P，则
( )
A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－
C．cos＝ D．tan＝
√
√
√
(1)A (2)ABD [(1)因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m.
故选A.
(2)因为角θ的终边过点P，
所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
tan 2θ＝＝＝－，故A和B正确；
因为2kπ<θ<2kπ＋，
所以kπ<所以tan>0，但cos>0或cos <0均满足题意，故C错误；
由tan θ＝＝，得2tan2＋3tan－2＝0，解得tan＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确．故选ABD.]
名师点评 应用公式化简求值的策略
(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[跟进训练]
1．(1)已知＝2，则tan θ＝( )
A． B．－
C．－ D．
√
(2)已知tan (α＋β)＝2(tan α＋tan β)，且tan α＋tan β≠0，cos ＝，则cos ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(3)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝________．
√
5
(1)C (2)C (3)5 [(1)由＝＝
＝tan ＝2，∴tan θ＝＝＝－.故选C.
(2)由题意可得tan＝＝2，
因为tan α＋tan β≠0，所以tan αtan β＝，
由
得
故cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，
所以cos ＝cos ＝2cos2－1＝－.故选C.
(3)因为sin(α＋β)＝，sin (α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5.]
考点二 公式的逆用与变形
[典例2] (多选)下列等式成立的有( )
A．sin2＝
B．tan80°－tan 35°－tan 80°tan 35°＝1
C．cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝
D．＝
√
√
BD [对于A，sin2＝－＝－cos＝－，A错误；
对于B，因为tan 45°＝tan
＝＝1，
所以tan 80°－tan 35°－tan 80°tan 35°＝tan 80°tan 35°＋1－
tan 80°tan 35°＝1，B正确；
对于C，cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°
＝＝＝
＝＝，C错误；
对于D，＝
＝
＝＝，D正确．故选BD.]
【教用·备选题】
1．(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)的值是( )
A．－2 B．2
C．1 D．－1
√
B [由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋
tan 20°tan 25°＝2.]
2．已知α，β∈，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝________．
－ [由tan α＋tan β＋tan αtan β＝得
tan (α＋β)＝＝，
又α，β∈，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－.]
－
名师点评 三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(3)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式．
[跟进训练]
2．(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为
( )
A．－ B．
C． D．－
√
(2)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－
cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
√
(1)B (2)D [(1)由tanA tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan (A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
(2)a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos (50°－127°)＝cos (－77°)＝cos 77°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin (56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin 12°.
因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sin x单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.]
考点三 角的变换问题
[典例3] (1)(2025·湖北武汉模拟)已知sin α＝2sin ，且
tan β＝2，则tan ＝( )
A．－6 B．－2
C．2 D．6
(2)已知0<α<，cos ＝.
①求sin α的值；
②若－<β<0，cos ＝，求α－β的值．
√
(1)A [由题sin α＝2sin ，
则sin ＝2sin ，
sin cos β－cos sin β＝2sin cos β＋
2cos sin β，
sin cos β＝－3cos sin β，
tan ＝－3tan β＝－6.故选A.]
(2)[解] ①因为0<α<，所以<α＋<，
又cos ＝，
所以sin ＝＝，
所以sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝＝.
②因为cos ＝，
所以sin β＝cos ＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－，
又因为－<β<0，所以cosβ＝＝，
由①知，cos α＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝，
所以cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝.
因为0<α<，－<β<0，则0<α－β<π，所以α－β＝.
【教用·备选题】
1．已知sin α＝，sin (β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于
( )
A． B．
C． D．
√
C [因为sin α＝，sin (β－α)＝－，且α，β均为锐角，所以－＜β－α＜.
又sin (β－α)＜0，所以－＜β－α＜0，
所以cos (β－α)＞0，所以cos α＝，cos (β－α)＝，所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin α·cos (β－α)＋cos α·sin(β－α)＝＝＝，所以β＝.故选C.]
2．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知cos 2α＝，tan β＝－，其中0<α<<β<π.
(1)求sin 的值；
(2)求β－2α的值．
[解] (1)因为cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝，所以cos2α＝，sin2α＝，
又因为0<α<，则cos α>0，sin α>0，可得cos α＝，sin α＝，
所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝.
(2)因为0<α<，则0<2α<，且cos 2α＝，可得sin 2α＝＝，
所以tan2α＝＝，
可得tan ＝
＝＝－1.
又因为<β<π，可得<β－2α<π，
所以β－2α＝.
名师点评 三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝.
(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟进训练]
3．设α∈，满足sin α＋cos α＝.
(1)求cos 的值；
(2)求cos 的值．
[解] (1)∵α∈，满足sin α＋cos α＝＝2sin ，
∴sin ＝.
又∵<α＋<，
∴cos ＝＝.
(2)∵cos＝2cos2－1＝，
sin＝2×＝，
∴cos ＝cos
＝cos cos －sin sin
＝＝.
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．cos2－cos2＝( )
A． B． C． D．
13
课后作业(二十二) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
√
D [因为cos＝sin ＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos＝cos ＝.故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点(3，4)，则sin 的值是( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
C [由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
故选C.]
3．(2025·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝( )
A．
B．
C．
D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B [由题意及题图得，tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选B.]
题号
1
3
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2
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6
8
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11
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13
4．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝
( )
A．－ B．
C． D．－
题号
1
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11
12
√
13
D [∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝，
∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－.
故选D.]
题号
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题号
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11
12
5．已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
13
√
题号
1
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2
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11
12
C [(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，
(sinα－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝，
两式相加得2＋2(cos αcos β－sin αsin β)
＝2＋2cos (α＋β)＝＝，
∴cos (α＋β)＝－.故选C.]
13
题号
1
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10
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12
6．已知α，β∈，若tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，则α＋β＝( )
A．－或 B．－
C． D．
13
√
题号
1
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12
C [由tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝5.
所以tan α，tan β均为正数，
又α，β∈，故α，β∈，
所以tan (α＋β)＝＝＝－.
又α＋β∈(0，π)．故α＋β＝.故选C.]
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题号
1
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9
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11
12
二、多项选择题
7．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( )
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝
C．β－α＝－ D．β－α＝
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√
√
题号
1
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11
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13
AD [由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos (β－α)＝，即选项A正确，B错误；
∵γ∈，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，∴β－α＝，即选项D正确，C错误．]
题号
1
3
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8．(2025·山东济南模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则( )
A．tan θ＝－ B．cos 2θ＝－
C．tan ＝2 D．cos ＝
13
√
√
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
BC [由sin θ＋cos θ＝得(sin θ＋cos θ)2＝，
则2sin θcos θ＝－.
因为θ∈(0，π)，2sin θcos θ＝－<0，
所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝＝＝，
由解得
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题号
1
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6
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12
对于A，tan θ＝＝＝－，故A错误；
对于B，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，故B正确；
对于C，因为θ∈，所以∈，
则tan>0，
tan θ＝＝－，
13
题号
1
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2
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6
8
7
9
10
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即＝0，
解得tan ＝2或tan ＝－(舍去)，故C正确；
对于D，cos ＝cos θ·－sin θ·＝－＝
－，故D错误．故选BC.]
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题号
1
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三、填空题
9．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
13
[令θ－＝α，则sin α＝，
所以cos ＝cos
＝cos ＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝.]
题号
1
3
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9
10
11
12
10．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，
tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
13
－
题号
1
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9
10
11
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－ [法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，
因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan (α＋β)＝－2<0，
所以α＋β为第四象限角，则sin (α＋β)<0，
则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
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题号
1
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12
法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以cos α>0，cos β<0，
cos α＝＝，cos β＝＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝＝＝－.]
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题号
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四、解答题
11．在①tan(π＋α)＝3；②sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)；③3sin ＝cos 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<，________，cos (α＋β)＝－.
(1)求sin ；
(2)求β.
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题号
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[解] (1)若选①，tan (π＋α)＝tan α＝＝3，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，
所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
若选②，因为sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)，化简得sin α＝3cos α，
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题号
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12
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
若选③，因为3sin ＝cos ，化简得3cos α＝sin α，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
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题号
1
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(2)因为0<β<α<，且cos (α＋β)＝－，所以<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝＝，
又因为0<β<，所以β＝.
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题号
1
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12．已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos 的值；
(2)tan (α＋β)的值．
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题号
1
3
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2
4
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8
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12
[解] (1)∵α∈，β∈，
∴α－∈－β∈，
∵cos ＝－，sin ＝，
∴sin ＝＝，
cos＝＝，
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题号
1
3
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2
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12
∴cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－＝－.
(2)∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，则∈，
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题号
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∵cos ＝－，
∴sin ＝＝，
∴tan ＝－.
∴tan (α＋β)＝＝＝.
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题号
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12
13．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形ABCD)长BC大约为40m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的点M处射门(假设
球贴地直线运行)，求当张角∠PMQ最大时，
BM的长大约为多少(精确到1 m)．
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题号
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[解] 由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝，tan β＝，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以BM的长大约为10 m．
13
谢 谢！课后作业(二十二) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．cos2－cos2＝( )
A． B． C． D．
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点(3，4)，则sin 的值是( )
A． B．
C． D．
3．(2025·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
4．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝( )
A．－ B．
C． D．－
5．已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
6．已知α，β∈，若tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，则α＋β＝( )
A．－或 B．－
C． D．
二、多项选择题
7．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( )
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝
C．β－α＝－ D．β－α＝
8．(2025·山东济南模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则( )
A．tan θ＝－ B．cos 2θ＝－
C．tan ＝2 D．cos ＝
三、填空题
9．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
10．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
四、解答题
11．在①tan(π＋α)＝3；②sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)；③3sin ＝cos 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α<，________，cos (α＋β)＝－.
(1)求sin ；
(2)求β.
12．已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos 的值；
(2)tan (α＋β)的值．
13．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形ABCD)长BC大约为40m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的点M处射门(假设球贴地直线运行)，求当张角∠PMQ最大时， BM的长大约为多少(精确到1 m)．
课后作业(二十二)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [因为cos＝sin ＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos＝cos ＝.故选D.]
2．C [由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
故选C.]
3．B [由题意及题图得，tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选B.]
4．D [∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝，
∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－.
故选D.]
5．C [(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，
(sinα－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝，
两式相加得2＋2(cos αcos β－sin αsin β)
＝2＋2cos (α＋β)＝＝，
∴cos (α＋β)＝－.故选C.]
6．C [由tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝5.
所以tan α，tan β均为正数，
又α，β∈，故α，β∈，
所以tan (α＋β)＝＝＝－.
又α＋β∈(0，π)．故α＋β＝.故选C.]
7．AD [由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos (β－α)＝，即选项A正确，B错误；
∵γ∈，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，∴β－α＝，即选项D正确，C错误．]
8．BC [由sin θ＋cos θ＝得(sin θ＋cos θ)2＝，
则2sin θcos θ＝－.
因为θ∈(0，π)，2sin θcos θ＝－<0，
所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝
＝＝，
由解得
对于A，tan θ＝＝＝－，故A错误；
对于B，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，故B正确；
对于C，因为θ∈，所以∈，
则tan>0，
tan θ＝＝－，
即＝0，
解得tan ＝2或tan ＝－(舍去)，故C正确；
对于D，cos ＝cos θ·－sin θ·＝－＝－，故D错误．故选BC.]
9． [令θ－＝α，则sin α＝，
所以cos ＝cos
＝cos ＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝.]
10．－ [法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，
因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan (α＋β)＝－2<0，
所以α＋β为第四象限角，则sin (α＋β)<0，
则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－.
法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以cos α>0，cos β<0，
cos α＝＝，cos β＝＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝＝＝－.]
11．解：(1)若选①，tan (π＋α)＝tan α＝＝3，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，
所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
若选②，因为sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)，化简得sin α＝3cos α，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
若选③，因为3sin ＝cos ，化简得3cos α＝sin α，
又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝，
所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝.
(2)因为0<β<α<，且cos (α＋β)＝－，所以<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝＝，
又因为0<β<，所以β＝.
12．解：(1)∵α∈，β∈，
∴α－∈－β∈，
∵cos ＝－，sin ＝，
∴sin ＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝－＝－.
(2)∵α∈，β∈，
∴α＋β∈，则∈，
∵cos ＝－，
∴sin ＝＝，
∴tan ＝－.
∴tan (α＋β)＝＝＝.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝，tan β＝，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以BM的长大约为10 m．
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