第4课时 简单的三角恒等变换
[考试要求] 能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
1．降幂公式
(1)sin2α＝__；
(2)cos2α＝__；
(3)tan2α＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin (α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
公式的常用变式
(1)sin 2α＝＝；
(2)cos 2α＝＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝；
(6)1－sin α＝；
(7)tan ＝＝.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)中φ的取值与a，b的值无关． ( )
(2)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2. ( )
(3)当α是第一象限角时，sin＝. ( )
二、教材经典衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cos α－sin α化简的结果可以是( )
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
2．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
3．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈且sin θ＝，则sin ＝________，cos ＝________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2)改编)在等式(tan 10°－)·sin (*)＝－2cos 40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点一 三角函数式的化简
[典例1] (1)的化简结果为( )
A．－sin 20° B．－cos 20°
C．cos 20° D．sin 20°
(2)化简：－2cos (α＋β)．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[跟进训练]
1．已知0<θ<π，化简：＝________．
考点二 三角函数式的求值
给角求值
[典例2] (1)＝________．
(2)求值：.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
给值求值
[典例3] (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知0＜x＜，sin ＝，则＝________.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
给值求角
[典例4] (1)(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解．
(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．
[跟进训练]
2．(1)(2024·安徽合肥三模)已知2sin α＝1＋2cos α，则sin ＝( )
A．－ B．－
C． D．
(2)已知＝a，则tan 50°＝________．(用含a的式子表示)
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
第4课时 简单的三角恒等变换
梳理·必备知识
1．(1) (2)
激活·基本技能
一、(1)× (2)√ (3)×
二、1．BD [cos α－sin α＝2
＝2＝2cos
＝2sin .]
2．C [∵sin α＝，cos α＝，
∴tan －2.]
3．－ － [∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－∈，
∴sin ＝－＝－，
cos ＝－＝－.]
4．80° [因为等式(tan 10°－)·sin (*)＝－2cos 40°可以转化为sin (*)＝＝＝＝＝cos 10°＝sin 80°.
又因为所求的是锐角，故答案为80°.]
考点一
典例1 (1)C [原式＝＝|sin20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°.]
(2)[解] 原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
跟进训练
1．－cos θ [原式＝
＝cos＝.
因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.]
考点二
考向1 典例2 (1)－ [＝＝
＝＝－.]
(2)[解] 原式＝＝＝
＝＝＝－2.
考向2 典例3 (1)D (2) [(1)因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，
解得sin＝＝＝.故选D.
(2)法一(先化简后求值)：
＝＝(cos x＋sin x)＝2cos.
由0＜x＜，得0＜－x＜，
∴cos ＝＝＝，
∴原式＝2×＝.
法二(先局部后整体)：
cos＝cos ＝sin ＝，
由0＜x＜，得0＜－x＜，
∴cos ＝＝＝，
∴cos 2x＝sin ＝2sincos
＝2×＝.
∴＝＝.]
考向3 典例4 (1)A (2)－ [(1)因为cos ＝，tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.
故选A.
(2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝＝＝＞0，
∴0＜α＜.
又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.]
跟进训练
2．(1)D (2) (3) [(1)由2sin α＝1＋2cos α得4＝1，
即sin ＝，
所以sin＝sin
＝cos ＝1－2sin2＝.
故选D.
(2)因为＝＝＝＝＝4tan 50°＝a，所以tan 50°＝.
(3)因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝.]
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第四章
三角函数与解三角形
第4课时 简单的三角恒等变换
[考试要求] 能运用公式进行简单的三角恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
链接教材·夯基固本
1．降幂公式
(1)sin2α＝_________；
(2)cos2α＝__________；
(3)tan2α＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin (α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
公式的常用变式
(1)sin 2α＝＝；
(2)cos 2α＝＝；
(3)1＋cos α＝2cos2；
(4)1－cos α＝2sin2；
(5)1＋sin α＝；
(6)1－sin α＝；
(7)tan ＝＝.
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)中φ的取值与a，b的值无关． ( )
(2)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2. ( )
(3)当α是第一象限角时，sin＝. ( )
×
√
×
√
二、教材经典衍生
1．(多选)(人教A版必修第一册P220练习T4(1)改编)cos α－sin α化简的结果可以是( )
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
√
BD [cos α－sin α＝2
＝2＝2cos
＝2sin .]
2．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
√
C [∵sin α＝，cos α＝，
∴tan ＝＝－2.]
3．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈且sin θ＝，则sin ＝________，cos ＝________．
－
－
－ － [∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－∈，
∴sin ＝－＝－，
cos ＝－＝－.]
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2)改编)在等式(tan 10°－)·sin (*)＝－2cos 40°的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________．
80° [因为等式(tan 10°－)·sin (*)＝－2cos 40°可以转化为sin (*)＝＝＝＝ ＝cos 10°＝sin 80°.
又因为所求的是锐角，故答案为80°.]
80°
考点一 三角函数式的化简
[典例1] (1)的化简结果为( )
A．－sin 20° B．－cos 20°
C．cos 20° D．sin 20°
(2)化简：－2cos (α＋β)．
典例精研·核心考点
√
(1)C [原式＝＝|sin20°－cos 20°|＋＝cos 20°－sin 20°＋sin 20°＝cos 20°.]
(2)[解] 原式＝＝
＝
＝＝＝.
名师点评 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
[跟进训练]
1．已知0<θ<π，化简：＝________．
－cos θ [原式＝
＝cos＝.
因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.]
－cos θ
考点二 三角函数式的求值
考向1 给角求值
[典例2] (1)＝________．
(2)求值：.
－
(1)－ [＝＝
＝＝－.]
(2)[解] 原式＝＝＝＝＝＝－2.
考向2 给值求值
[典例3] (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知0＜x＜，sin ＝，则＝________.
√
(1)D (2) [(1)因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，
解得sin＝＝＝.故选D.
(2)法一(先化简后求值)：
＝＝(cos x＋sin x)＝2cos.
由0＜x＜，得0＜－x＜，
∴cos ＝＝＝，
∴原式＝2×＝.
法二(先局部后整体)：
cos＝cos ＝sin ＝，
由0＜x＜，得0＜－x＜，
∴cos ＝＝＝，
∴cos 2x＝sin ＝2sincos
＝2×＝.
∴＝＝.]
【教用·备选题】
(2024·贵州贵阳二模)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则tan (α＋β)的值为( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
√
A [由α＝，β＝，
得cos α－cos β＝－2sin sin ＝，
sin α－sin β＝2cos sin ＝－，
两式相除可得tan ＝，
所以tan (α＋β)＝tan ＝＝－4.故选A.]
考向3 给值求角
[典例4] (1)(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
√
－
(1)A (2)－ [(1)因为cos ＝，tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.
故选A.
(2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝＞0，
∴0＜α＜.
又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.]
【教用·备选题】
已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为
( )
A． B． C． D．
√
B [由题意知，cos α＝＝.
∵tanβ＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1，
∴sinβ＝，cos β＝－，
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝.
又0＜α＜＜β＜π，
∴＜α＋β＜，
∴α＋β＝.故选B.]
名师点评 三角函数式求值的三种题型
(1)给角求值：一般给出的角都不是特殊角，需先仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，然后结合公式转化为特殊角，最后消除特殊角三角函数而得解．
(2)给值求值：解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．
(3)给值求角：一般先求角的某一个三角函数值，再求角的范围，最后确定角．
[跟进训练]
2．(1)(2024·安徽合肥三模)已知2sin α＝1＋2cos α，则
sin ＝( )
A．－ B．－
C． D．
√
(2)已知＝a，则tan 50°＝________．(用含a的式子表示)
(3)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
(1)D (2) (3) [(1)由2sin α＝1＋2cos α得4＝1，
即sin ＝，
所以sin＝sin
＝cos ＝1－2sin2＝.
故选D.
(2)因为＝＝＝＝＝4tan 50°＝a，所以tan 50°＝.
(3)因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos2＝( )
A． B．
C． D．
13
课后作业(二十三) 简单的三角恒等变换
√
A [已知α为锐角，若sin α＝，
则cos α＝＝，
所以cos2＝＝＝.
故选A.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2025·河北张家口模拟)已知cos ＝－，θ是第四象限角，则tan ＝( )
A． B．－
C． D．－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
D [由cos ＝－可得－cos θ＝－，故cos θ＝，由于θ是第四象限角，故sin θ＝－，
∴tan ＝＝＝＝－.
故选D.]
3．(2025·湖南长沙模拟)已知cos ＋sin α＝，则
cos ＝( )
A．－ B．－
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B [由cos ＋sin α＝，
可得cos α－sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，可得sin ＝，
所以cos ＝cos
＝－cos ＝2sin2－1＝－.
故选B.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2025·山东济南模拟)已知α，β为锐角，tan＝，
sin αsin β＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
D [因为α，β为锐角，所以α－β∈，α＋β∈∈，
又tan ＝＝，
所以cos＝＝cos αcos β＋sin αsin β，
而sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝＝－＝1－2sin2，
因此sin＝＝.故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·河南驻马店期末)已知tan α＝2，则＝( )
A．－ B．
C．－ D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A [＝
＝＝
＝
＝＝－.故选A.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C [因为m＝2sin18°，
所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝＝＝＝4.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．已知sin α＝－，π＜α＜，则下列选项正确的是( )
A．sin 2α＝－ B．sin ＝
C．cos ＝－ D．tan ＝－2
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
BCD [因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝，故A错误；因为＜＜，所以sin ＝＝＝，
cos ＝－＝－＝－，
tan ＝＝－2，
故BCD均正确．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025·山西大同模拟)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，则( )
A．cos ＝ B．sin ＝－
C．cos 2α＝ D．β<
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BD [由题意可得sin αsin β＝cos αcos β tan αtan β＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A错误；
cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
因为0<α<β<，
所以－<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－＝－，故B正确；
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
因为0<α<β<，且cos(α＋β)＝，
所以sin ＝＝，
所以cos 2α＝cos
＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C错误；
cos 2β＝cos
＝cos cos ＋sin sin (α－β)＝，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
即cos 2β＝>>－＝cos ，
因为0<β<，所以0<2β<π，
故2β<，所以β<，故D正确．故选BD.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
三、填空题
9．已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin (α－β)＝，则cos β＝________．
13
[∵tan ＝，
∴sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
∵α，β∈(0，π)，cosα＞0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin (α－β)＝＞0，∴α－β∈，
∴cos (α－β)＝，
∴cos β＝cos (－β)＝cos [(α－β)－α]
＝cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α
＝＝.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．已知函数f (x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos θ＝________．
13
－ [f (x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝，
则f (θ)＝sin (θ－φ)＝，
因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z，
则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－.]
－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
四、解答题
11．已知α∈，β∈，cos β＝，且tan (2α＋β)＝3.
(1)求tan 2α的值；
(2)求α＋β的值．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解] (1)∵β∈(0，π)，且cos β＝，
∴sin β＝＝＝，
∴tan β＝＝.
又∵tan (2α＋β)＝3，
∴tan 2α＝tan [(2α＋β)－β]＝＝＝.
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)∵tan 2α＝＝，∴2tan2α＋3tan α－2＝0，
∴tan α＝或tan α＝－2，
∵α∈，∴tan α＝，
又∵tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1，
∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈，
又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.求：
(1)tan α；
(2)sin .
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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[解] (1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈，∴tan α＝－.
(2)∵sin 2α＝＝＝－，
cos 2α＝＝＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－＝.
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题号
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13．(2025·广东肇庆模拟)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α.
(1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式；
(2)求sin 18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
13
题号
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[解] (1)sin3α＝sin ＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α
＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α
＝2sin α·cos2α－sinα＋2sin α·cos2α
＝4sin α·cos2α－sinα
＝4sin α·－sinα
＝－4sin3α＋3sin α.
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题号
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(2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°，
即sin ＝cos ，
∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°，
∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3，
即2sin 18°＝4－3，
整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0，∵sin 18°>0，
∴sin 18°＝.
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题号
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(3)由(1)得sin3α＝sinα－sin 3α，
∴sin3126°＋sin36°－sin366°
＝sin126°－sin 378°＋sin 6°－sin 18°－sin 66°＋sin 198°
＝(sin 378°＋sin 18°－sin 198°)
＝
＝＝－sin 18°＝.
13
谢 谢！课后作业(二十三) 简单的三角恒等变换
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos2＝( )
A． B．
C． D．
2．(2025·河北张家口模拟)已知cos ＝－，θ是第四象限角，则tan ＝( )
A． B．－
C． D．－
3．(2025·湖南长沙模拟)已知cos ＋sin α＝，则cos ＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．(2025·山东济南模拟)已知α，β为锐角，tan＝，sin αsin β＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
5．(2024·河南驻马店期末)已知tan α＝2，则＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
二、多项选择题
7．已知sin α＝－，π＜α＜，则下列选项正确的是( )
A．sin 2α＝－ B．sin ＝
C．cos ＝－ D．tan ＝－2
8．(2025·山西大同模拟)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，则( )
A．cos ＝ B．sin ＝－
C．cos 2α＝ D．β<
三、填空题
9．已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin (α－β)＝，则cos β＝________．
10．已知函数f (x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos θ＝________．
四、解答题
11．已知α∈，β∈，cos β＝，且tan (2α＋β)＝3.
(1)求tan 2α的值；
(2)求α＋β的值．
12．已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.求：
(1)tan α；
(2)sin .
13．(2025·广东肇庆模拟)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α.
(1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式；
(2)求sin 18°的值；
(3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值．
课后作业(二十三)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [已知α为锐角，若sin α＝，
则cos α＝＝，
所以cos2＝＝＝.
故选A.]
2．D [由cos ＝－可得－cos θ＝－，故cos θ＝，由于θ是第四象限角，故sin θ＝－，
∴tan ＝＝＝＝－.
故选D.]
3．B [由cos ＋sin α＝，
可得cos α－sin α＋sin α＝，
即sin α＋cos α＝，可得sin ＝，
所以cos ＝cos
＝－cos ＝2sin2－1＝－.
故选B.]
4．D [因为α，β为锐角，所以α－β∈，α＋β∈∈，
又tan ＝＝，
所以cos＝＝cos αcos β＋sin αsin β，
而sin αsin β＝，所以cos αcos β＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝＝－＝1－2sin2，
因此sin＝＝.故选D.]
5．A [＝
＝＝
＝
＝＝－.故选A.]
6．C [因为m＝2sin18°，
所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°，
因此＝＝＝＝4.]
7．BCD [因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝，故A错误；因为＜＜，所以sin ＝＝＝，
cos ＝－＝－＝－，
tan ＝＝－2，
故BCD均正确．]
8．BD [由题意可得sin αsin β＝cos αcos β tan αtan β＝，
所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A错误；
cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
因为0<α<β<，
所以－<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－＝－，故B正确；
因为0<α<β<，且cos(α＋β)＝，
所以sin ＝＝，
所以cos 2α＝cos
＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C错误；
cos 2β＝cos
＝cos cos ＋sin sin (α－β)＝，
即cos 2β＝>>－＝cos ，
因为0<β<，所以0<2β<π，
故2β<，所以β<，故D正确．故选BD.]
9． [∵tan ＝，
∴sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝，
∵α，β∈(0，π)，cosα＞0，∴α∈，
∴α－β∈，
∵sin (α－β)＝＞0，∴α－β∈，
∴cos (α－β)＝，
∴cos β＝cos (－β)＝cos [(α－β)－α]
＝cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α
＝＝.]
10．－ [f (x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)，
其中cos φ＝，sin φ＝，
则f (θ)＝sin (θ－φ)＝，
因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z，
则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－.]
11．解：(1)∵β∈(0，π)，且cos β＝，
∴sin β＝＝＝，
∴tan β＝＝.
又∵tan (2α＋β)＝3，
∴tan 2α＝tan [(2α＋β)－β]＝＝＝.
(2)∵tan 2α＝＝，∴2tan2α＋3tan α－2＝0，
∴tan α＝或tan α＝－2，
∵α∈，∴tan α＝，
又∵tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1，
∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈，
又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
12．解：(1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝＝＝0，
即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈，∴tan α＝－.
(2)∵sin 2α＝＝＝－，
cos 2α＝＝＝，
∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
＝－＝.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)sin3α＝sin ＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α
＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α
＝2sin α·cos2α－sinα＋2sin α·cos2α
＝4sin α·cos2α－sinα
＝4sin α·－sinα
＝－4sin3α＋3sin α.
(2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°，
即sin ＝cos ，
∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°，
∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3，
即2sin 18°＝4－3，
整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0，∵sin 18°>0，
∴sin 18°＝.
(3)由(1)得sin3α＝sinα－sin 3α，
∴sin3126°＋sin36°－sin366°
＝sin126°－sin 378°＋sin 6°－sin 18°－sin 66°＋sin 198°
＝(sin 378°＋sin 18°－sin 198°)
＝
＝
＝－sin 18°＝.
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