第5课时 三角函数的图象与性质
[考试要求] 1．能画出三角函数的图象．2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 ____________ ____________ R
周期 2π ____ ___
奇偶 性 ________ ________ 奇函数
单调性 单调递增区间 ________ _____________ ________
单调递减区间 ________ ______________ 无
对称性 对称中心 _________________ ________ ____________
对称轴 _______________ _____________ 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z
[常用结论]
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． ( )
(2)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． ( )
(3)函数y＝tan x图象的对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)． ( )
(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． ( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y＝3tan 的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
2．(人教A版必修第一册P213习题5.4T2改编)下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A．y＝sin πx B．y＝sin
C．y＝sin πx cos πx D．y＝tan x
3．(人教A版必修第一册P207例5改编)函数y＝2sin (x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．
考点一 三角函数的定义域和值域
[典例1] (1)(易错题)函数y＝的定义域为________．
(2)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
(3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，可先化为y＝A sin (x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围．
[跟进训练]
1．(1)函数y＝的定义域为________．
(2)(2025·云南昭通模拟)已知f＝sin x＋cos x＋2sin x cos x，x∈，则f的值域为________．
考点二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
[典例2] (1)(2024·湖南雅礼中学一模)f (x)＝的最小正周期是( )
A．π B． C． D．2π
(2)当x＝时，函数f (x)＝A sin (x＋φ)(A>0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y＝f是( )
A．奇函数且图象关于直线x＝对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
(3)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f ＝________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)奇偶性的判断方法：
三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx.
(2)求函数周期的两种常见方法：
①公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为.
y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|的周期T＝，y＝|A tan (ωx＋φ)|的周期T＝.
②图象法．
(3)对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式．②对称轴是直线，方程最终要写成“x＝…”的形式．
[跟进训练]
2．(1)(2024·北京高考)已知f＝sin ωx，f＝－1，f＝1，|x1－x2|min＝，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2025·山东济南模拟)下列函数中，以π为周期，且其图象关于点对称的是( )
A．y＝tan x B．y＝|sin x|
C．y＝2cos2x－1 D．y＝sin x－cos x
(3)若函数f (x)(f (x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f (x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f.则其解析式可以是f (x)＝________．(写出一个满足条件的解析式即可)
考点三 三角函数的单调性
求三角函数的单调区间
[典例3] (1)函数f (x)＝sin 在[0，π]上的单调递减区间为________．
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
根据单调性求参数
[典例4] 已知ω＞0，函数f (x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．(0，2] B．
C． D．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
比较三角函数值的大小
[典例5] (多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是( )
A．sinB．cos 400°>cos (－50°)
C．sin D．sin 3[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三角函数单调性的两类题型及求解策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间
①求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
②求形如y＝|A sin (ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．
(2)已知三角函数的单调性求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f (x)在上单调递减
B．f (x)在上单调递增
C．f (x)在上单调递减
D．f (x)在上单调递增
(2)设a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
(3)(2024·河北唐山二模)函数f＝sin (2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为( )
A． B．
C． D．
第5课时 三角函数的图象与性质
梳理·必备知识
2．[－1，1] [－1，1] 2π π 奇函数 偶函数 ，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z
激活·基本技能
一、(1)× (2)× (3)× (4)×
二、1．C [要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，
即x≠π＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.]
2．C [对于A，函数为奇函数，T＝＝2，A错误；
对于B，y＝sin ＝cos 2πx为偶函数，T＝＝1，B错误；
对于C，y＝sin πx cos πx＝sin 2πx为奇函数，T＝＝1，C正确；
对于D，y＝tan x为奇函数，T＝＝2，D错误．
故选C.]
3．D [令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.因为x∈[－π，0]，所以所求函数的单调递增区间为.]
4．5 ＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．]
考点一
[典例1] (1) (2)2
(3) [(1)要使函数有意义，必须有即
故函数的定义域为.
(2)由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，
sin ∈，于是f (x)∈[－，2]，故f (x)在[0，π]上的最大值为2.
(3)因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即所求函数的值域为.]
[跟进训练]
1．(1)(k∈Z) (2)[1，1＋] [(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π，所以原函数的定义域为.
(2)令t＝sin x＋cos x＝sin ，
则t2＝＝1＋2sin x cos x，
故2sin x cos x＝t2－1，
因为x∈，所以x＋∈，所以t∈，
令g＝t＋t2－1＝－，t∈，则g在上单调递增，则g＝g＝＝g＝1＋，
所以f的值域为.]
考点二
[典例2] (1)A (2)D (3) [(1)画出f (x)＝的图象，如图所示，
可得f (x)＝的最小正周期，即y＝sin 2x的最小正周期，最小正周期为＝π.故选A.
(2)因为当x＝时，函数f (x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－，所以f (x)＝A sin (A>0)，所以y＝f＝A sin ＝－A cos x，所以函数y＝f 为偶函数且图象关于点对称．故选D.
(3)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，
则
∵|φ|<，∴ω＝2，φ＝，
故f (x)＝2sin ，
则f＝2sin＝.]
[跟进训练]
2．(1)B (2)C (3)cos 3x(答案不唯一) [(1)由题意可知：x1为f的最小值点，x2为f的最大值点，则＝＝，即T＝π，
且ω>0，所以ω＝＝2.故选B.
(2)对于A，y＝tan x的最小正周期为π，图象的对称中心为，故A错误；
对于B，y＝的图象是由y＝sin x的图象将x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴上方及x轴上的部分不变，所以y＝的最小正周期为π，图象没有对称中心，故B错误；
对于C，y＝2cos2x－1＝cos2x，则最小正周期T＝＝π，且当x＝时，y＝cos ＝0，所以函数图象关于点对称，故C正确；
对于D，y＝sin x－cos x＝sin ，最小正周期T＝2π，故D错误．故选C.
(3)因为对于任意的x∈R，都有f ＝f ，所以函数的图象关于直线x＝对称．
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为f (x)＝cos 3x.
以下验证f (x)＝cos 3x符合题意．
因为f (－x)＝cos (－3x)＝cos 3x＝f (x)，
所以函数f (x)是偶函数．
令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，
所以函数f (x)的图象关于直线x＝对称．]
考点三
考向1 典例3 (1)和 (2)，k∈Z ，k∈Z [(1)f (x)＝sin ＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，
∴A∩B＝，
∴f (x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.]
考向2 典例4 D [法一(反子集法)：∵x∈，
∴ωx＋∈.
∵f (x)在上单调递减，
∴
解得
又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时≤ω≤.故选D.
法二(子集法)：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，
因为f (x)＝sin 在上单调递减，
所以解得k∈Z.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.]
考向3 典例5 BD [因为－<－<－<0，且函数y＝sin x在上单调递增，所以sin 且当0°≤x≤90°时，函数y＝cos x单调递减，
所以cos 40°>cos 50°，
即cos 400°>cos (－50°)，故B正确；
因为<<<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin >sin ，故C错误；
因为<2<3<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin 3跟进训练
3．(1)C (2)C (3)C [(1)因为f＝cos2x－sin2x＝cos2x.
对于A，当－则f在上单调递增，A错误；
对于B，当－则f在上不单调，B错误；
对于C，当0对于D，当(2)∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，∴a＜b.
又tan 35°＝>sin 35°，∴c＞b＞a.故选C.
(3)由x∈可得2x－φ∈，
又，则－φ≤，且f在上单调递增，所以解得≤φ≤，
即φ的取值范围为.故选C.]
1 / 7(共85张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第5课时 三角函数的图象与性质
[考试要求] 1．能画出三角函数的图象．
2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
链接教材·夯基固本
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 ____________ ____________ R
周期 2π ____ ___
奇偶 性 ________ ________ 奇函数
[－1，1]
[－1，1]
2π
π
奇函数
偶函数
单调性 单调递增区间 ____________________________________ ____________________________________ ____________________________
单调递减区间 ____________________________________ ____________________________________ 无
，
k∈Z
[－π＋2kπ，2kπ]，
k∈Z
，k∈Z
，
k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
对称性 对称中心 ____________________ ___________________ ________________
对称轴 ____________________ _____________ 无对称轴
零点 kπ，k∈Z kπ，k∈Z
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
[常用结论]
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
(1)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝A cos (ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． ( )
(2)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． ( )
(3)函数y＝tan x图象的对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)． ( )
(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． ( )
×
×
×
×
√
二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P213练习T3改编)函数y＝3tan 的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
C [要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，
即x≠π＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.]
2．(人教A版必修第一册P213习题5.4T2改编)下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A．y＝sin πx B．y＝sin
C．y＝sin πx cos πx D．y＝tan x
√
C [对于A，函数为奇函数，T＝＝2，A错误；
对于B，y＝sin ＝cos 2πx为偶函数，T＝＝1，B错误；
对于C，y＝sin πx cos πx＝sin 2πx为奇函数，T＝＝1，C正确；
对于D，y＝tan x为奇函数，T＝＝2，D错误．
故选C.]
3．(人教A版必修第一册P207例5改编)函数y＝2sin (x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
√
D [令－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.因为x∈[－π，0]，所以所求函数的单调递增区间为.]
4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________________．
5 ＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．]
5
＋2kπ(k∈Z)
考点一 三角函数的定义域和值域
[典例1] (1)(易错题)函数y＝的定义域为
______________________________________．
(2)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
(3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
典例精研·核心考点
2
(1) (2)2
(3) [(1)要使函数有意义，必须有即
故函数的定义域为.
(2)由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，
sin ∈，于是f (x)∈[－，2]，故f (x)在[0，π]上的最大值为2.
(3)因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.即所求函数的值域为.]
【教用·备选题】
1．函数y＝lg (sin 2x)＋的定义域为____________________．
[∵函数y＝lg (sin 2x)＋，
∴应满足解得其中k∈Z，
∴－3≤x<－或0∴函数的定义域为.]
2．已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________．
－
－ [f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
因为cos x＋1≥0，所以当cos x＜时，f′(x)≤0，f (x)单调递减；
当cos x＞时，f′(x)＞0，f (x)单调递增，
所以当cos x＝时，f (x)有最小值，
又f (x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
所以当sin x＝－时，f (x)有最小值，
即f (x)min＝2×＝－.]
名师点评
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数，可先化为y＝A sin (x＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)，注意求t的范围．
[跟进训练]
1．(1)函数y＝的定义域为______________________．
(2)(2025·云南昭通模拟)已知f＝sin x＋cos x＋2sin x cos x，x∈，则f的值域为___________．
(k∈Z)
[1，1＋]
(1)(k∈Z) (2)[1，1＋] [(1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π，所以原函数的定义域为
.
(2)令t＝sin x＋cos x＝sin ，
则t2＝＝1＋2sin x cos x，
故2sin x cos x＝t2－1，
因为x∈，所以x＋∈，所以t∈，
令g＝t＋t2－1＝－，t∈，则g在上单调递增，则g＝g＝＝g＝1＋，
所以f的值域为.]
考点二 三角函数的周期性、对称性与奇偶性
[典例2] (1)(2024·湖南雅礼中学一模)f (x)＝的最小正周期是( )
A．π B． C． D．2π
√
(2)当x＝时，函数f (x)＝A sin (x＋φ)(A>0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y＝f是( )
A．奇函数且图象关于直线x＝对称
B．偶函数且图象关于直线x＝对称
C．奇函数且图象关于点对称
D．偶函数且图象关于点对称
√
(3)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f ＝________．
(1)A (2)D (3) [(1)画出f (x)＝的图象，如图所示，
可得f (x)＝的最小正周期，即y＝sin 2x的最小正周期，最小正周期为＝π.故选A.
(2)因为当x＝时，函数f (x)＝A sin (x＋φ)(A>0)取得最小值，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－，所以f (x)＝A sin (A>0)，所以y＝f＝
A sin ＝－A cos x，所以函数y＝f 为偶函数且图象关于点对称．故选D.
(3)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，
则
∵|φ|<，∴ω＝2，φ＝，
故f (x)＝2sin ，
则f ＝2sin＝.]
名师点评 (1)奇偶性的判断方法：
三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx.
(2)求函数周期的两种常见方法：
①公式法：函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω>0)的周期为.
y＝|A sin (ωx＋φ)|，y＝|A cos (ωx＋φ)|的周期T＝，y＝|A tan (ωx＋φ)|的周期T＝.
②图象法．
(3)对称轴和对称中心的计算，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心是点，最终要写成坐标的形式．②对称轴是直线，方程最终要写成“x＝…”的形式．
[跟进训练]
2．(1)(2024·北京高考)已知f＝sin ωx，f＝－1，f＝1，|x1－x2|min＝，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2025·山东济南模拟)下列函数中，以π为周期，且其图象关于点对称的是( )
A．y＝tan x B．y＝|sin x|
C．y＝2cos2x－1 D．y＝sin x－cos x
√
√
(3)若函数f (x)(f (x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f (x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f＝f.则其解析式可以是f (x)＝____________________．(写出一个满足条件的解析式即可)
cos 3x(答案不唯一)
(1)B (2)C (3)cos 3x(答案不唯一) [(1)由题意可知：x1为f的最小值点，x2为f的最大值点，则＝＝，即T＝π，
且ω>0，所以ω＝＝2.故选B.
(2)对于A，y＝tan x的最小正周期为π，图象的对称中心为，故A错误；
对于B，y＝的图象是由y＝sin x的图象将x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴上方及x轴上的部分不变，所以y＝的最小正周期为π，图象没有对称中心，故B错误；
对于C，y＝2cos2x－1＝cos2x，则最小正周期T＝＝π，且当x＝时，y＝cos ＝0，所以函数图象关于点对称，故C正确；
对于D，y＝sin x－cos x＝sin ，最小正周期T＝2π，故D错误．故选C.
(3)因为对于任意的x∈R，都有f ＝f ，所以函数的图象关于直线x＝对称．
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为f (x)＝cos 3x.
以下验证f (x)＝cos 3x符合题意．
因为f (－x)＝cos (－3x)＝cos 3x＝f (x)，
所以函数f (x)是偶函数．
令3x＝kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z，
所以函数f (x)的图象关于直线x＝对称．]
【教用·备选题】
(1)图象以点(k∈Z)为对称中心的函数是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝tan x D．y＝|tan x|
(2)(多选)(2025·江苏南通模拟)当x∈R时，下列函数是偶函数的是
( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
√
√
√
√
(1)C (2)BCD [(1)y＝sin x图象的对称中心为点(kπ，0)(k∈Z)，A错误； y＝cos x图象的对称中心为点(k∈Z)，B错误； y＝tan x图象的对称中心为点(k∈Z)，C正确；
令f (x)＝|tan x|，∵f (x)＋f (π－x)＝2|tan x|，不恒等于0，∴f (x)的图象不关于点中心对称，D错误．故选C.
(2)因为函数的定义域为R，
对于A，因为sin ＝sin ＝－sin 1，sin ＝sin 1，
可知y＝sin 不是偶函数，故A错误；
对于B，因为cos [sin (－x)]＝cos (－sin x)＝cos (sin x)，
所以y＝cos 是偶函数，故B正确；
对于C，因为cos ＝cos ，
所以y＝cos 是偶函数，故C正确；
对于D，因为sin ＝sin ，
所以y＝sin (cos x)是偶函数，故D正确．
故选BCD.]
考点三 三角函数的单调性
考向1 求三角函数的单调区间
[典例3] (1)函数f (x)＝sin 在[0，π]上的单调递减区间为
____________________．
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为____________________，单调递
减区间为____________________．
和
，k∈Z
，k∈Z
(1)和 (2)，k∈Z ，k∈Z [(1)f (x)＝sin ＝sin ＝－sin ，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，
∴A∩B＝，
∴f (x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)作出函数y＝|tan x|的图象，如图．
观察图象可知，函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.]
考向2 根据单调性求参数
[典例4] 已知ω＞0，函数f (x)＝sin 在上单调
递减，则ω的取值范围是( )
A．(0，2] B．
C． D．
√
D [法一(反子集法)：∵x∈，
∴ωx＋∈.
∵f (x)在上单调递减，
∴
解得
又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时≤ω≤.故选D.
法二(子集法)：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，
因为f (x)＝sin 在上单调递减，
所以解得k∈Z.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.]
考向3 比较三角函数值的大小
[典例5] (多选)(2024·石家庄调研)下列不等式成立的是( )
A．sinB．cos 400°>cos (－50°)
C．sin D．sin 3√
√
BD [因为－<－<－<0，且函数y＝sin x在上单调递增，所以sin cos (－50°)＝cos 50°，
且当0°≤x≤90°时，函数y＝cos x单调递减，
所以cos 40°>cos 50°，
即cos 400°>cos (－50°)，故B正确；
因为<<<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以
sin >sin ，故C错误；
因为<2<3<，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin 3<
sin 2，故D正确．]
名师点评 三角函数单调性的两类题型及求解策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间
①求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
②求形如y＝|A sin (ωx＋φ)|的单调区间时，常采用数形结合的方法．
(2)已知三角函数的单调性求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
[跟进训练]
3．(1)已知函数f (x)＝cos2x－sin2x，则( )
A．f (x)在上单调递减
B．f (x)在上单调递增
C．f (x)在上单调递减
D．f (x)在上单调递增
√
(2)设a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
(3)(2024·河北唐山二模)函数f＝sin (2x－φ)在上单调递增，则φ的取值范围为( )
A． B．
C． D．
√
√
(1)C (2)C (3)C [(1)因为f＝cos2x－sin2x＝cos2x.
对于A，当－则f 在上单调递增，A错误；
对于B，当－则f 在上不单调，B错误；
对于C，当0对于D，当(2)∵a＝sin 33°，b＝cos 55°＝sin 35°，∴a＜b.
又tan 35°＝>sin 35°，∴c＞b＞a.故选C.
(3)由x∈可得2x－φ∈，
又，则－φ≤，且f在上单调递增，所以解得≤φ≤，
即φ的取值范围为.故选C.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．(2025·八省联考)函数f (x)＝cos 的最小正周期是( )
A． B．
C．π D．2π
13
课后作业(二十四) 三角函数的图象与性质
√
D [由题意知，f (x)的最小正周期T＝2π.故选D.]
2．(2025·湖北武汉模拟)函数y＝sin 的图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D [令sin ＝0，则2x＋＝kπ，k∈Z，x＝－，k∈Z，
当k＝1时，对称中心为，结合选项，ABC错误．故选D.]
3．函数f ＝－3cos 的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
D [f ＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f 的单调递增区间为，k∈Z.故选D.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
D [因为tan 5＝tan (5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan (5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数为( )
A．奇函数，且函数的最大值为2
B．偶函数，且函数的最大值为2
C．奇函数，且函数的最大值为
D．偶函数，且函数的最大值为
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D [由题意，f (－x)＝cos －cos ＝cos x－cos 2x＝f ，所以该函数为偶函数．
又f (x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cosx＋1
＝－2＋，
所以当cos x＝时，f (x)取最大值.故选D.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝( )
A．1 B．
C． D．3
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A [由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，所以ω＝，f (x)＝sin ＋2，
所以f＝sin ＋2＝1.故选A.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
BC [A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，
令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC.]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
8．(2024·九省联考)已知函数f (x)＝sin ＋cos ，则( )
A．函数f为偶函数
B．曲线y＝f (x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f (x)在区间上单调递增
D．f (x)的最小值为－2
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
AC [f (x)＝sin ＋cos
＝sin ＝－sin 2x.对于A，f＝－sin ＝cos 2x，易知f为偶函数，所以A正确；对于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，故B错误；对于C，当x∈时，2x∈，y＝sin 2x单调递减，则f (x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；对于D，f (x)＝－sin 2x，sin 2x∈[－1，1]，
所以f (x)∈[－]，故D错误．]
13
题号
1
3
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2
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9
10
11
12
三、填空题
9．(2024·广东深圳一模)若函数f ＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于点中心对称，则φ＝________．
13
－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
－ [由T＝＝π得，ω＝2，
所以f＝sin，又f＝sin 的图象关于点中心对称，所以＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又<，所以k＝1，φ＝－.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0)具有下列三个性质：①图象关于直线x＝对称；②在区间上单调递减；③最小正
周期为π，则满足条件的一个函数f (x)＝______________________．
13
sin(答案不唯一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
sin(答案不唯一) [由③可得ω＝2，由①可得2×＋φ＝＋kπ φ＝－＋kπ(k∈Z)，
再由②可知x∈时，2x－＋kπ∈(k∈Z)，
则 (k，m∈Z)，故k为奇数时符合条件，不妨令k＝1，则φ＝，取A＝1，此时f (x)＝sin .]
13
题号
1
3
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2
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9
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12
四、解答题
11．已知函数f ＝A sin 的最小正周期为π.
(1)若A＝1，f ＝，求φ的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f (x)的解析式，并求函数h(x)＝f (x)－2cos 2x的单调递增区间．
条件①：f 的最大值为2；
条件②：f 的图象关于点中心对称；
条件③：f 的图象经过点.
13
题号
1
3
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12
[解] (1)因为A＝1，f＝，则sin φ＝，且0<φ<，则φ＝.
(2)因为函数f的最小正周期为π，则ω＝2.
若选①②，则A＝2，且f＝2sin ＝0，
且0<φ<，则<＋φ<，则＋φ＝π，则φ＝，
所以f ＝2sin .
h＝2sin －2cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
13
题号
1
3
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2
4
6
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9
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11
12
所以函数h的单调递增区间是，k∈Z.
若选①③，则A＝2，且f＝2sin ＝，则sin ＝，又0<φ<，则<＋φ<，
则＋φ＝，则φ＝，
所以f＝2sin .
13
题号
1
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
以下同选择①②.
若选②③，由②可知，φ＝.
由③可知，f ＝A sin ＝A·＝，则A＝2，
所以f＝2sin .
以下同选择①②.
13
题号
1
3
5
2
4
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8
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12
12．已知函数f (x)＝2cos2ωx＋sin2ωx(ω>0)，x1，x2是f (x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f (x)图象的对称轴方程；
(2)若f (α)＝，求sin 2α.
13
题号
1
3
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2
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[解] (1)f (x)＝2cos2ωx＋sin2ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋1＝sin ＋1，
由|x1－x2|＝π可得最小正周期T＝2|x1－x2|＝2π，
所以ω＝，故f (x)＝sin ＋1，
令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
故f (x)图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
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12
(2)由f (α)＝，得sin ＋1＝，
则sin ＝－，
由cos ＝1－2sin2＝1－2×＝，
所以cos＝－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
13
题号
1
3
5
2
4
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12
13．已知函数f (x)＝4sin (ω>0)在上单调递减．
(1)求ω的最大值；
(2)若f (x)的图象关于点中心对称，且f (x)在上的值域为[－2，4]，求m的取值范围．
13
题号
1
3
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10
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12
[解] (1)由条件知x∈，则ωx＋∈，
由正弦函数的性质可知
k∈Z，
所以ω∈，k∈Z.
又因为π－＝＝，所以0<ω≤，
当k＝0时，1≤ω≤，符合题意；
当k≥1时，不等式1＋12k≤ω≤＋2k无解，
所以ω的最大值为.
13
题号
1
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(2)因为f (x)的图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，
由(1)得1≤ω≤，所以ω＝，
则f (x)＝4sin ，
当x∈时，x＋∈，
13
题号
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11
12
因为f (x)在上的值域为[－2，4]，
所以sin ∈，
则m＋，
解得≤m≤，
所以m的取值范围是.
13
谢 谢！课后作业(二十四) 三角函数的图象与性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(2025·八省联考)函数f (x)＝cos 的最小正周期是( )
A． B．
C．π D．2π
2．(2025·湖北武汉模拟)函数y＝sin 的图象的一个对称中心是( )
A． B．
C． D．
3．函数f＝－3cos 的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
4．若tan 2＝a，tan 3＝b，tan 5＝c，则( )
A．a＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜b＜a D．c＜a＜b
5．函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数为( )
A．奇函数，且函数的最大值为2
B．偶函数，且函数的最大值为2
C．奇函数，且函数的最大值为
D．偶函数，且函数的最大值为
6．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则f＝( )
A．1 B．
C． D．3
二、多项选择题
7．(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f (x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有( )
A．f (x)与g(x)有相同的零点
B．f (x)与g(x)有相同的最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
8．(2024·九省联考)已知函数f (x)＝sin ＋cos ，则( )
A．函数f为偶函数
B．曲线y＝f (x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z
C．f (x)在区间上单调递增
D．f (x)的最小值为－2
三、填空题
9．(2024·广东深圳一模)若函数f＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于点中心对称，则φ＝________．
10．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω＞0)具有下列三个性质：①图象关于直线x＝对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为π，则满足条件的一个函数f (x)＝________．
四、解答题
11．已知函数f＝A sin 的最小正周期为π.
(1)若A＝1，f＝，求φ的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定f (x)的解析式，并求函数h(x)＝f (x)－2cos 2x的单调递增区间．
条件①：f的最大值为2；
条件②：f的图象关于点中心对称；
条件③：f的图象经过点.
12．已知函数f (x)＝2cos2ωx＋sin2ωx(ω>0)，x1，x2是f (x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f (x)图象的对称轴方程；
(2)若f (α)＝，求sin 2α.
13．已知函数f (x)＝4sin (ω>0)在上单调递减．
(1)求ω的最大值；
(2)若f (x)的图象关于点中心对称，且f (x)在上的值域为[－2，4]，求m的取值范围．
课后作业(二十四)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．D [由题意知，f (x)的最小正周期T＝2π.故选D.]
2．D [令sin ＝0，则2x＋＝kπ，k∈Z，x＝－，k∈Z，
当k＝1时，对称中心为，结合选项，ABC错误．故选D.]
3．D [f＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f的单调递增区间为，k∈Z.故选D.]
4．D [因为tan 5＝tan (5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，
所以tan (5－π)＜tan 2＜tan 3，
所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.]
5．D [由题意，f (－x)＝cos －cos ＝cos x－cos 2x＝f ，所以该函数为偶函数．
又f (x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cosx＋1
＝－2＋，
所以当cos x＝时，f (x)取最大值.故选D.]
6．A [由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3，
又因为函数图象关于点对称，所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，
所以ω＝－k，k∈Z，所以ω＝，f (x)＝sin ＋2，
所以f＝sin ＋2＝1.故选A.]
7．BC [A选项，令f (x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f (x)的零点，
令g(x)＝sin ＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f (x)，g(x)的零点不同，A选项错误；
B选项，显然f (x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f (x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f (x)的图象的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
g(x)的图象的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝，k∈Z，
显然f (x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误．
故选BC.]
8．AC [f (x)＝sin ＋cos
＝sin ＝－sin 2x.对于A，f＝－sin ＝cos 2x，易知f为偶函数，所以A正确；对于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，故B错误；对于C，当x∈时，2x∈，y＝sin 2x单调递减，则f (x)＝－sin 2x单调递增，故C正确；对于D，f (x)＝－sin 2x，sin 2x∈[－1，1]，
所以f (x)∈[－]，故D错误．]
9．－ [由T＝＝π得，ω＝2，
所以f＝sin，又f＝sin 的图象关于点中心对称，所以＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又<，所以k＝1，φ＝－.]
10．sin(答案不唯一) [由③可得ω＝2，由①可得2×＋φ＝＋kπ φ＝－＋kπ(k∈Z)，
再由②可知x∈时，2x－＋kπ∈(k∈Z)，
则 (k，m∈Z)，故k为奇数时符合条件，不妨令k＝1，则φ＝，取A＝1，此时f (x)＝sin .]
11．解：(1)因为A＝1，f＝，则sin φ＝，且0<φ<，则φ＝.
(2)因为函数f的最小正周期为π，则ω＝2.
若选①②，则A＝2，且f＝2sin ＝0，
且0<φ<，则<＋φ<，则＋φ＝π，则φ＝，
所以f＝2sin .
h＝2sin －2cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数h的单调递增区间是，k∈Z.
若选①③，则A＝2，且f＝2sin ＝，则sin ＝，又0<φ<，则<＋φ<，
则＋φ＝，则φ＝，
所以f＝2sin .
以下同选择①②.
若选②③，由②可知，φ＝.
由③可知，f ＝A sin ＝A·＝，则A＝2，
所以f＝2sin .
以下同选择①②.
12．解：(1)f (x)＝2cos2ωx＋sin2ωx＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋1＝sin ＋1，
由|x1－x2|＝π可得最小正周期T＝2|x1－x2|＝2π，
所以ω＝，故f (x)＝sin ＋1，
令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
故f (x)图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
(2)由f (α)＝，得sin ＋1＝，
则sin ＝－，
由cos ＝1－2sin2＝1－2×＝，
所以cos＝－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)由条件知x∈，则ωx＋∈，
由正弦函数的性质可知
k∈Z，
所以ω∈，k∈Z.
又因为π－＝＝，所以0<ω≤，
当k＝0时，1≤ω≤，符合题意；
当k≥1时，不等式1＋12k≤ω≤＋2k无解，
所以ω的最大值为.
(2)因为f (x)的图象关于点中心对称，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，
由(1)得1≤ω≤，所以ω＝，
则f (x)＝4sin ，
当x∈时，x＋∈，
因为f (x)在上的值域为[－2，4]，
所以sin ∈，
则m＋，
解得≤m≤，
所以m的取值范围是.
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