第8课时 三角形中的中线、高线、角平分线
[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的中线、高线、角平分线的计算问题．
考点一 三角形的中线问题
[典例1] (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解答三角形的中线问题的三种思路
(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想．
(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)．
(3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
[跟进训练]
1．(1)(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为________．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为________．
考点二 三角形的角平分线问题
[典例2] (2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．
已知AD是△ABC的角平分线，则
(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.
[跟进训练]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且BD为∠ABC的平分线，求△ABC的面积．
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
考点三 三角形的高线问题
[典例3] (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
(2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
[跟进训练]
3．在①a sin C－c cos B cos C＝b cos2C；②5c cosB＋4b＝5a；③cos C＝c cos A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足________．
(1)求sin C；
(2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
第8课时 三角形中的中线、高线、角平分线
考点一
典例1 解：(1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.
在△ABD中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝，
所以tanB＝＝.
(2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，
得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理的推论，得
cos ∠BAC＝＝＝－，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC
＝bc
＝bc
＝
＝，
解得bc＝4.
则由解得b＝c＝2.
法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，
则＝)，
所以＝(c2＋b2＋2bc cos A)，
又AD＝1，b2＋c2＝8，
则1＝(8＋2bc cos A)，
所以bc cos A＝－2①，
S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2②，
由①②解得tan A＝－，所以A＝，
所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2.
法三：在△ABC中，由中线长公式可得
2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)，
即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，
所以a2＝12.
又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2，
又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
得12＝8－2bc·cos A，所以bc cos A＝－2，
故tan A＝－ cos A＝－，
所以bc＝4，
又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2，
b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，
故可得b＝c＝2.
跟进训练
1．(1) (2) [(1)设BC边上的中线为AD，由余弦定理的推论知cos ∠BAC＝，
则||2＝＝＝＝＝，
所以中线长为.
(2)因为a cos B－b cos A＋b＝c，
由正弦定理可知，sin A cos B－sin B cos A＋sin B＝sin C，
又因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
则2cos A sin B＝sin B，
又由于B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：
cos ∠ADB＝，cos ∠ADC＝，
又由于cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
所以2x2＋2＝b2＋c2.
在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即4＝b2＋c2－bc，
因为b2＋c2≥2bc，所以4＝b2＋c2－bc≥，
从而b2＋c2≤8，所以2x2＋2≤8，解得x≤(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以BC边上的中线AD长度的最大值为.]
考点二
典例2 解：(1)由已知可得
2cos C·－cos (B＋C)＝0，
sin B cos C＋cos B cos C－(cos B cos C－sin B sin C)＝0，
整理得sin B(cos C＋sin C)＝0.
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由题意得，＝＝，即＝，所以a＝2b.
法一：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，
所以c＝b.
在△ACD中，AD＝，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD，
即＝b2＋22－2b×2×，
将c＝b代入整理得b2－9b＋18＝0，解得b＝3或b＝6.
若b＝6，则a＝12，c＝6，BD＝4，AD＝2，
所以在△BCD中，由余弦定理的推论得
cos ∠CDB＝＝＜0，同理可得cos ∠ADC＜0，即∠BDC和∠ADC都为钝角，不符合题意，排除．
所以b＝3，a＝6，
S△ABC＝ab sin 120°＝.
法二：因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，
所以×2b sin 60°＋×2a sin 60°＝ab sin 120°，
所以b＋a＝ab.
因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，
所以S△ABC＝ab sin 120°＝.
跟进训练
2．解：(1)因为＝，由正弦定理得＝，化简得ac＝a2＋c2－b2，
所以由余弦定理的推论得cos B＝＝，
又因为B∈，所以B＝.
(2)如图所示，
因为S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，即BA×BC×sin ∠ABC＝BA×BD×sin ∠ABD＋BC×BD×sin ∠CBD，
化简得BA＋BC＝BA×BC①，
又由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA×BC×cos ∠ABC，
即(BA＋BC)2－3BA×BC＝9②，
①②联立，解得BA×BC＝－2(舍去)或6，
所以S△ABC＝BA×BC×sin ∠ABC＝.
考点三
典例3 解：法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2.
设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BC sin C，
即5h＝2×3，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A＞0，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，
所以cos A＝，
所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)
＝＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6.
跟进训练
3．解：选择条件①：
(1)因为asin C－c cos B cos C＝b cos2C，
所以由正弦定理得
sinA sin C＝sin C cos B cos C＋sin B cos2C，
即sinA sin C＝cos C(sin C cos B＋sin B cos C)，
故sin A sin C＝cos C sin A.
又A∈ sin A≠0，
所以sin C＝cos C tan C＝.
由C∈ C＝，
所以sin C＝sin ＝.
(2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝－3ab＝16，
所以ab＝＝3.
于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch，
所以h＝＝＝.
选择条件②：
(1)因为5c cos B＋4b＝5a，
由正弦定理得5sin C cos B＋4sin B＝5sin A，
即5sin C cos B＋4sin B＝5sin ＝5sin B cos C＋5cos B sin C，
于是sin B＝0.
在△ABC中，B∈(0，π)，sin B≠0，
所以cos C＝，
sin C＝＝.
(2)由正弦定理得c＝2×＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝－ab＝，
所以ab＝＝，
于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch，
所以h＝＝＝.
选择条件③：
(1)因为cos C＝c cos A，
所以由正弦定理得cos C＝sin C cos A，
所以2sin B cos C＝sin ＝sin B，
因为B∈，所以sin B≠0 cos C＝.
又C∈，所以C＝，
所以sin C＝.
(2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝－3ab＝16，
所以ab＝＝3.
于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch，
所以h＝＝＝.
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第四章
三角函数与解三角形
第8课时 三角形中的中线、高线、角平分线
[考试要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的中线、高线、角平分线的计算问题．
考点一 三角形的中线问题
[典例1] (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
典例精研·核心考点
[解] (1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝.
在△ABD中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝，
所以tanB＝＝.
(2)法一：因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理的推论，
得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理的推论，得
cos ∠BAC＝＝＝－，
所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝bc
＝bc＝＝，
解得bc＝4.
则由解得b＝c＝2.
法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，
则＝)，
所以＝(c2＋b2＋2bc cos A)，
又AD＝1，b2＋c2＝8，
则1＝(8＋2bc cos A)，
所以bc cos A＝－2①，
S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2②，
由①②解得tan A＝－，所以A＝，
所以bc＝4，又b2＋c2＝8，所以b＝c＝2.
法三：在△ABC中，由中线长公式可得
2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2，又BD＝BC，AD＝1，b2＋c2＝8，则(2AD)2＋BC2＝2(AB2＋AC2)，
即22＋a2＝2(b2＋c2)＝16，
所以a2＝12.
又S△ABC＝bc sin A＝，因而bc sin A＝2，
又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
得12＝8－2bc·cos A，所以bc cos A＝－2，
故tan A＝－ cos A＝－，
所以bc＝4，
又b2＋c2＋2bc＝8＋8＝16＝(b＋c)2，
b2＋c2－2bc＝8－8＝0＝(b－c)2，
故可得b＝c＝2.
名师点评 解答三角形的中线问题的三种思路
(1)应用中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了算“两次”的思想．
(2)借助向量：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A)．
(3)借助角的关系：在△ABC中，若AD是边BC上的中线，则cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
[跟进训练]
1．(1)(2025·江苏泰州模拟)△ABC的三边分别为a，b，c，则边BC上的中线长为_________________．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，a cos B－b cos A＋b＝c，则BC边上的中线AD长度的最大值为________．
(1) (2) [(1)设BC边上的中线为AD，由余弦定理的推论知cos ∠BAC＝，
则||2＝＝＝＝＝，
所以中线长为.
(2)因为a cos B－b cos A＋b＝c，
由正弦定理可知，sin A cos B－sin B cos A＋sin B＝sin C，
又因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
则2cos A sin B＝sin B，
又由于B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
设AD＝x，又DB＝DC＝1，
在△ADB，△ADC中分别有：
cos ∠ADB＝，cos ∠ADC＝，
又由于cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，
所以2x2＋2＝b2＋c2.
在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即4＝b2＋c2－bc，
因为b2＋c2≥2bc，所以4＝b2＋c2－bc≥，
从而b2＋c2≤8，所以2x2＋2≤8，解得x≤(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以BC边上的中线AD长度的最大值为.]
【教用·备选题】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2b cos B，C＝.
(1)求B；
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝b；②△ABC的周长为4＋2；
③S△ABC＝.
[解] (1)依题意c＝2b cos B，C＝，
由正弦定理得sin C＝2sin B cos B，sin 2B＝，
由于0(2)由(1)知，c＝2b cos ＝b，故不能选①.
如图所示，设D为BC的中点，则AD为BC边上的中线．
若选②，由(1)知∠BAC＝，
设BC＝AC＝2x，由C＝，
得cos ＝，则AB＝2x，
故周长为x＝4＋2，解得x＝1.
从而BC＝AC＝2，AB＝2，则BD＝1.
则在△ABD中，
由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝12＋1－2×2×1×＝7，∴AD＝，即BC边上的中线长为.
若选③，已知S△ABC＝，由(1)知a＝b，
得S△ABC＝ab sin C＝b2＝，即b＝，则CD＝，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝3＋－2×＝，
∴AD＝，∴BC边上的中线长为.
考点二 三角形的角平分线问题
[典例2] (2025·山东泰安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin ＋cos A＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积．
[解] (1)由已知可得
2cos C·－cos (B＋C)＝0，
sin B cos C＋cos B cos C－(cos B cos C－sin B sin C)＝0，
整理得sin B(cos C＋sin C)＝0.
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以cos C＋sin C＝0，即tan C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由题意得，＝＝，即＝，所以a＝2b.
法一：在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，
所以c＝b.
在△ACD中，AD＝，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD，
即＝b2＋22－2b×2×，
将c＝b代入整理得b2－9b＋18＝0，解得b＝3或b＝6.
若b＝6，则a＝12，c＝6，BD＝4，AD＝2，
所以在△BCD中，由余弦定理的推论得
cos ∠CDB＝＝＜0，同理可得cos ∠ADC＜0，即∠BDC和∠ADC都为钝角，不符合题意，排除．
所以b＝3，a＝6，
S△ABC＝ab sin 120°＝.
法二：因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，
所以×2b sin 60°＋×2a sin 60°＝ab sin 120°，
所以b＋a＝ab.
因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，
所以S△ABC＝ab sin 120°＝.
名师点评 解答三角形的角平分线问题一般有两种思路：一是内角平分线定理；二是等面积法．
已知AD是△ABC的角平分线，则
(1)＝；(2)S△ABD＋S△ACD＝S△ABC.
[跟进训练]
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，D为AC边上一点，BD＝2，且BD为∠ABC的平分线，求△ABC的面积．
[解] (1)因为＝，由正弦定理得＝，化简得ac＝a2＋c2－b2，
所以由余弦定理的推论得cos B＝＝，
又因为B∈，所以B＝.
(2)如图所示，
因为S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，即BA×BC×sin ∠ABC＝BA×BD×sin ∠ABD＋BC×BD×sin ∠CBD，
化简得BA＋BC＝BA×BC①，
又由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA×BC×cos ∠ABC，
即(BA＋BC)2－3BA×BC＝9②，
①②联立，解得BA×BC＝－2(舍去)或6，
所以S△ABC＝BA×BC×sin ∠ABC＝.
【教用·备选题】
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B＝
b sin .
(1)求角A的大小；
(2)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
[解] (1)因为a sin B＝b sin ，由正弦定理得sin Asin B＝sin B sin .因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin A＝sin ，所以sin A＝sin A＋cos A，即sin A＝cos A，所以tan A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)法一：因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以AB·AC·sin ∠BAC＝AB·AD·sin ∠BAD＋AD·AC·sin ∠DAC，所以×3×1×sin ＝×3×AD×sin ×AD×1×sin ，所以AD＝.
法二：在△ABD中，由正弦定理得＝，在△ADC中，由正弦定理得＝.因为sin ∠BAD＝sin∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以＝＝3，所以＝＝＝)＝，所以||2＝＝||2＋||2＋＝×9＋×1＋×3×1×＝，所以AD＝.
考点三 三角形的高线问题
[典例3] (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
[解] 法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2.
设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BC sin C，
即5h＝2×3，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A＞0，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，
所以cos A＝，
所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)
＝＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6.
名师点评 (1)求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度．
(2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶.
[跟进训练]
3．在①a sin C－c cos B cos C＝b cos2C；②5c cosB＋4b＝5a；③cos C＝c cos A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足________．
(1)求sin C；
(2)已知a＋b＝5，△ABC的外接圆半径为，求△ABC的边AB上的高h.
[解] 选择条件①：
(1)因为asin C－c cos B cos C＝b cos2C，
所以由正弦定理得sinA sin C＝sin C cos B cos C＋sin B cos2C，
即sinA sin C＝cos C，
故sin A sin C＝cos C sin A.
又A∈ sin A≠0，
所以sin C＝cos C tan C＝.
由C∈ C＝，
所以sin C＝sin ＝.
(2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝－3ab＝16，
所以ab＝＝3.
于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch，
所以h＝＝＝.
选择条件②：
(1)因为5c cos B＋4b＝5a，
由正弦定理得5sin C cos B＋4sin B＝5sin A，
即5sin C cos B＋4sin B＝5sin ＝5sin B cos C＋5cos B sin C，于是sin B＝0.
在△ABC中，B∈(0，π)，sin B≠0，
所以cos C＝，
sin C＝＝.
(2)由正弦定理得c＝2×＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝－ab＝，
所以ab＝＝，
于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch，
所以h＝＝＝.
选择条件③：
(1)因为cos C＝c cos A，
所以由正弦定理得cos C＝sin C cos A，
所以2sin B cos C＝sin ＝sin B，
因为B∈，所以sin B≠0 cos C＝.
又C∈，所以C＝，所以sin C＝.
(2)由正弦定理得c＝2×sin ＝4，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ＝－3ab＝16，所以ab＝＝3.
于是得△ABC的面积S＝ab sin C＝ch，
所以h＝＝＝.
【教用·备选题】
(2025·海南海口模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b sin 2A＝4sin B．
(1)若b＝1，证明：C＝A＋；
(2)若BC边上的高为，求△ABC的周长．
[解] (1)证明：由已知可得＝＝，
由正弦定理＝，可得＝＝，∴＝.
又sin A＞0，∴cos A＝，sin A＝＝.
又b＝1，∴sin B＝＝＝.
∵a＞b，∴cos B＝＝，
∴cosC＝－cos (A＋B)
＝－cos A cos B＋sin A sin B＝－，
∴cos C＝－sin A＝cos .
又C∈(0，π)，A＋∈，函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，则C＝A＋.
(2)由题意得S△ABC＝×6×＝8.
又S△ABC＝bc sin A＝bc，则bc＝24.
由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc(cos A＋1)，
得(b＋c)2＝2bc(1＋cos A)＋a2＝48＋62＝(6＋4)2，
∴b＋c＝6＋4.
∴△ABC的周长为12＋4.
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
一、单项选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则BC的长为( )
A．7 B．3 C． D．3
13
课后作业(二十七) 三角形中的中线、高线、角平分线
√
C [如图，＝)，
∴＝＋＋2)，
∴＝(c2＋9＋3c)，
∴c＝5(负值舍去)，
由余弦定理得，BC2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC
＝9＋25－2×3×5×＝19，
∴BC＝.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为( )
A． B．
C． D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
D [因为b＝3，c＝3，B＝30°，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得9＝a2＋27－2×a×3，
整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b，
所以a＝6.S△ABC＝ac sin B＝，
所以AC边上的高线的长为＝3.
故选D.]
3．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝( )
A．2 B．
C．3 D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B [因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×
sin 60°，
即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝2，AD＝，可得2×AC＝2×AC，
则×AC＝4，解得AC＝.故选B.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c＝( )
A． B．1
C．2 D．3
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
13
B [∵B＝，∴在△ABD中，由余弦定理得
c2＋－2c×cos ＝1，即a2＋4c2－2ac＝4，
又S△ABC＝ac sin B＝ac＝，
解得ac＝2①，
∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac，即4c2－4ac＋a2＝0，
∴(2c－a)2＝0，即a＝2c②，
将②代入①得2c2＝2，解得c＝1或c＝－1(不合题意，舍去)．故选B.]
题号
1
3
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6
8
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11
12
13
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
10
11
12
5．(2025·湖北鄂州模拟)在△ABC中，AB＝2，E是BC边的中点，线段AE的长为 ，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD＝( )
A． B．1
C．2 D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A [因为E是BC边的中点，所以＝)，
所以＝＋＋2)，
所以＝(||2＋||2＋2||·||·cos 120°)，
所以＝(4＋－2)，
即－2＋1＝0，得＝1，
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝60°，
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以AB·AC sin ∠BAC＝AB·AD sin ∠BAD＋AC·AD sin ∠CAD，
所以×2×1×＝×2AD××AD×，
所以2＝3AD，得AD＝.
故选A.]
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(教材改编)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APB的余弦值为( )
A． B．
C． D．
13
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D [法一：因为AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，由余弦定理可得
BC＝
＝＝，
因为＝)，所以
||＝＝＝，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
由余弦定理的推论可得
cos ∠ABC＝＝＝－，由＝)，可得
||＝
＝＝，
由重心的性质可得AP＝AM＝，
BP＝BN＝，
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
在△APB中，由余弦定理的推论可得cos ∠APB＝＝＝.故选D.
13
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
法二：以A为坐标原点，为x轴正方向，建立平
面直角坐标系，得A(0，0)，C(5，0)，B(1，)．
由题意P为△ABC的重心，故P，所以＝＝，所以cos ∠APB＝＝＝.故选D.]
13
题号
1
3
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4
6
8
7
9
10
11
12
二、多项选择题
7．(2024·辽宁葫芦岛期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝，D为边BC上一动点，则( )
A．BC＝
B．△ABC的外接圆半径为
C．当AD为∠BAC的角平分线时，AD＝
D．当D为BC中点时，AD＝
13
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
13
ABC [对于A，由题意及余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝22＋32－2×2×3×＝7，BC＝，故A正确；
对于B，由A结合正弦定理可知△ABC的外接圆半径为R＝＝＝，故B正确；
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
12
13
对于C，当AD为∠BAC的角平分线时，则由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
得AB×AC sin ∠BAC＝AB×AD sin ∠BAD＋AD×AC sin ∠CAD，所以×2×3sin ＝×2×AD sin AD×3sin ，
即＝AD＋AD，AD＝，故C正确；
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
对于D，当D为BC中点时，有＝，
所以＝＝＋＋＝×22＋×32＋×2×3cos ＝1＋＝，
所以AD2＝ AD＝，故D错误．
故选ABC.]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025·山东潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝，cos B＝，则下列说法正确的是( )
A．AC＝2 B．AB＝
C．＝ D．△ABD的面积为
13
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
AD [对于A，由余弦定理的推论得cos A＝＝，即b2＋a2＝c2，
所以C＝，又cos B＝，B为三角形内角，
所以sin B＝，cos ∠BAC＝＝2cos2∠CAD－1，
解得cos∠CAD＝(负舍)．
在Rt△ACD中，AC＝AD cos ∠CAD＝2，故A正确；
对于B，在Rt△ABC中，cos ∠BAC＝＝，代入AC＝2，解得AB＝，故B错误；
13
题号
1
3
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2
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6
8
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9
10
11
12
对于C，＝＝，解得＝＝，故C错误；
对于D，S△ABD＝AD·AB·sin ∠BAD＝＝，故D正确．故选AD.]
13
题号
1
3
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2
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11
12
三、填空题
9．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
13
2 [由余弦定理的推论得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋(舍负)．
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60°＝×2AD sin 30°＋AC·AD sin 30°，所以AD＝＝＝2.]
2
题号
1
3
5
2
4
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8
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11
12
10．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos ∠MAC＝________．
13
2 [在△ABM中，
AM2＝BA2＋BM2－2BA·BM cos 60°，
∴(2)2＝22＋BM2－2×2×BM×，
2
题号
1
3
5
2
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11
12
∴BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4或－2(舍去)．
∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中，AC2＝22＋82－2×2×8cos 60°＝52，∴AC＝2.
在△AMC中，cos ∠MAC＝
＝.]
13
题号
1
3
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2
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11
12
四、解答题
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求B；
(2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积．
13
题号
1
3
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2
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11
12
[解] (1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac，
又由余弦定理的推论得cos B＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
13
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
11
12
所以S△ABC＝BD·c sin BD·a sin ＝(a＋c)．
又因为S△ABC＝ac sin ＝ac，所以(a＋c)＝ac.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝(a＋c)2－3ac＝6，
联立方程组可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0，
解得ac＝2或ac＝－1(舍去)，
所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝.
13
题号
1
3
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4
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12
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2b cosB.
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为4＋2，求BC边上中线的长．
13
题号
1
3
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11
12
[解] (1)由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，
有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2b cosB，所以c2＝4b2cos2B，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理的推论，得
cosC＝＝＝－，
又C∈(0，π)，所以C＝，
13
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
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11
12
由c＝2b cos B及正弦定理，得
sin C＝2sin B cos B，
所以sin 2B＝，
由B∈，得2B∈，
所以2B＝，解得B＝.
13
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
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11
12
(2)由(1)可知B＝，C＝，
所以A＝π－＝，
所以a＝b，
由c＝2b cos B，得c＝a.
因为△ABC的周长为4＋2，
所以a＋a＋a＝4＋2，解得a＝2.
设BC的中点为D，
则CD＝BC＝1，
如图所示．
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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11
12
在△ACD中由余弦定理，得
AD＝
＝＝，
所以BC边上中线的长为.
13
题号
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3
5
2
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11
12
13．(2024·山东枣庄一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求.
13
题号
1
3
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2
4
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8
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11
12
[解] (1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系，
得＝，
由倍角公式得＝.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以A∈∈，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin＝，
则有＝，得C＝.
13
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
12
(2)法一：因为a＝8，b＝5，C＝，
所以＝b2＝25，＝a2＝64，
＝·cos ∠ACB
＝ba cos ∠ACB＝5×8×cos ＝20，
由题意知CH⊥AB，
所以＝0，
即＝(m－n)()－m＋n＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
13
题号
1
3
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11
12
法二：在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以c＝7.
又因为S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH，
所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝＝.
所以＝＝＝.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
13
谢 谢！课后作业(二十七) 三角形中的中线、高线、角平分线
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则BC的长为( )
A．7 B．3 C． D．3
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为( )
A． B．
C． D．3
3．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝( )
A．2 B．
C．3 D．2
4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c＝( )
A． B．1
C．2 D．3
5．(2025·湖北鄂州模拟)在△ABC中，AB＝2，E是BC边的中点，线段AE的长为 ，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD＝( )
A． B．1
C．2 D．
6．(教材改编)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APB的余弦值为( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·辽宁葫芦岛期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝，D为边BC上一动点，则( )
A．BC＝
B．△ABC的外接圆半径为
C．当AD为∠BAC的角平分线时，AD＝
D．当D为BC中点时，AD＝
8．(2025·山东潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝，cos B＝，则下列说法正确的是( )
A．AC＝2 B．AB＝
C．＝ D．△ABD的面积为
三、填空题
9．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．
10．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos ∠MAC＝________．
四、解答题
11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求B；
(2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2b cosB.
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为4＋2，求BC边上中线的长．
13．(2024·山东枣庄一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan .
(1)求C；
(2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求.
课后作业(二十七)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [如图，＝)，
∴＝＋＋2)，
∴＝(c2＋9＋3c)，
∴c＝5(负值舍去)，
由余弦定理得，BC2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC
＝9＋25－2×3×5×＝19，
∴BC＝.]
2．D [因为b＝3，c＝3，B＝30°，
所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
可得9＝a2＋27－2×a×3，
整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b，
所以a＝6.S△ABC＝ac sin B＝，
所以AC边上的高线的长为＝3.
故选D.]
3．B [因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°，
即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝2，AD＝，可得2×AC＝2×AC，
则×AC＝4，解得AC＝.故选B.]
4．B [∵B＝，∴在△ABD中，由余弦定理得
c2＋－2c×cos ＝1，即a2＋4c2－2ac＝4，
又S△ABC＝ac sin B＝ac＝，
解得ac＝2①，
∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac，即4c2－4ac＋a2＝0，
∴(2c－a)2＝0，即a＝2c②，
将②代入①得2c2＝2，解得c＝1或c＝－1(不合题意，舍去)．故选B.]
5．A [因为E是BC边的中点，所以＝)，
所以＝＋＋2)，
所以＝(||2＋||2＋2||·||·cos 120°)，
所以＝(4＋－2)，
即－2＋1＝0，得＝1，
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝60°，
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以AB·AC sin ∠BAC＝AB·AD sin ∠BAD＋AC·AD sin ∠CAD，
所以×2×1×＝×2AD××AD×，
所以2＝3AD，得AD＝.
故选A.]
6．D [法一：因为AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，由余弦定理可得
BC＝
＝＝，
因为＝)，所以
||＝＝＝，
由余弦定理的推论可得
cos ∠ABC＝＝＝－，由＝)，可得
||＝
＝＝，
由重心的性质可得AP＝AM＝，
BP＝BN＝，
在△APB中，由余弦定理的推论可得cos ∠APB＝＝＝.故选D.
法二：以A为坐标原点，为x轴正方向，建立平面直角坐标系，得A(0，0)，C(5，0)，B(1，)．
由题意P为△ABC的重心，故P，所以＝＝，所以cos ∠APB＝＝＝.故选D.]
7．ABC [对于A，由题意及余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝22＋32－2×2×3×＝7，BC＝，故A正确；
对于B，由A结合正弦定理可知△ABC的外接圆半径为R＝＝＝，故B正确；
对于C，当AD为∠BAC的角平分线时，则由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
得AB×AC sin ∠BAC＝AB×AD sin ∠BAD＋AD×AC sin ∠CAD，所以×2×3sin ＝×2×AD sin AD×3sin ，
即＝AD＋AD，AD＝，故C正确；
对于D，当D为BC中点时，有＝，
所以＝＝＋＋＝×22＋×32＋×2×3cos ＝1＋＝，
所以AD2＝ AD＝，故D错误．
故选ABC.]
8．AD [对于A，由余弦定理的推论得cos A＝＝，即b2＋a2＝c2，
所以C＝，又cos B＝，B为三角形内角，
所以sin B＝，cos ∠BAC＝＝2cos2∠CAD－1，解得cos∠CAD＝(负舍)．
在Rt△ACD中，AC＝AD cos ∠CAD＝2，故A正确；
对于B，在Rt△ABC中，cos ∠BAC＝＝，代入AC＝2，解得AB＝，故B错误；
对于C，＝
＝，解得＝＝，故C错误；
对于D，S△ABD＝AD·AB·sin ∠BAD＝＝，故D正确．故选AD.]
9．2 [由余弦定理的推论得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋(舍负)．
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60°＝×2AD sin 30°＋AC·AD sin 30°，所以AD＝＝＝2.]
10．2 [在△ABM中，
AM2＝BA2＋BM2－2BA·BM cos 60°，
∴(2)2＝22＋BM2－2×2×BM×，
∴BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4或－2(舍去)．
∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中，AC2＝22＋82－2×2×8cos 60°＝52，∴AC＝2.
在△AMC中，cos ∠MAC＝
＝.]
11．解：(1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac，
又由余弦定理的推论得cos B＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以S△ABC＝BD·c sin BD·a sin ＝(a＋c)．
又因为S△ABC＝ac sin ＝ac，所以(a＋c)＝ac.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝(a＋c)2－3ac＝6，
联立方程组可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0，
解得ac＝2或ac＝－1(舍去)，
所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝.
12．解：(1)由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，
有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，
又c＝2b cosB，所以c2＝4b2cos2B，
即a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理的推论，得
cosC＝＝＝－，
又C∈(0，π)，所以C＝，
由c＝2b cos B及正弦定理，得
sin C＝2sin B cos B，
所以sin 2B＝，
由B∈，得2B∈，
所以2B＝，解得B＝.
(2)由(1)可知B＝，C＝，
所以A＝π－＝，
所以a＝b，
由c＝2b cos B，得c＝a.
因为△ABC的周长为4＋2，
所以a＋a＋a＝4＋2，解得a＝2.
设BC的中点为D，
则CD＝BC＝1，
如图所示．
在△ACD中由余弦定理，得
AD＝
＝＝，
所以BC边上中线的长为.
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系，
得＝，
由倍角公式得＝.
又因为A，C为△ABC的内角，
所以A∈∈，
所以sin A≠0，cos ≠0.
所以sin2＝，sin＝，
则有＝，得C＝.
(2)法一：因为a＝8，b＝5，C＝，
所以＝b2＝25，＝a2＝64，
＝·cos ∠ACB
＝ba cos ∠ACB＝5×8×cos ＝20，
由题意知CH⊥AB，
所以＝0，
即＝(m－n)()－m＋n＝20(m－n)－25m＋64n＝0.
所以5m＝44n，所以＝.
法二：在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以c＝7.
又因为S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH，
所以CH＝＝＝.
所以AH＝＝＝.
所以＝＝＝.
由平面向量基本定理知，m＝，n＝，
所以＝.
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